第五章51平面向量的概念及线性运算.docx

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第五章51平面向量的概念及线性运算

§5.1　平面向量的概念及线性运算

最新考纲

考情考向分析

1.了解向量的实际背景．

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．

3.理解向量的几何表示．

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

主要考查平面向量的线性运算（加法、减法、数乘向量）及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.

1．向量的有关概念

（1）向量：

既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

（2）零向量：

长度为0的向量，其方向是任意的．

（3）单位向量：

长度等于1个单位的向量．

（4）平行向量：

方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：

0与任一向量平行．

（5）相等向量：

长度相等且方向相同的向量．

（6）相反向量：

长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

交换律：

a＋b＝b＋a；

结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ（μa）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；

λ（a＋b）＝λa＋λb

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

概念方法微思考

1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？

提示　不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.

2．如何理解数乘向量？

提示　λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：

当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．

3．如何理解共线向量定理？

提示　如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（　√　）

（2）|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．（　√　）

（3）若a∥b，b∥c，则a∥c.（　×　）

（4）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．（　×　）

（5）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（　√　）

（6）若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．（　×　）

题组二　教材改编

2．[P86例4]已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________.（用a，b表示）

答案　b－a　－a－b

解析　如图，＝＝－＝b－a，

＝－＝－－＝－a－b.

3．[P108B组T5]在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．

答案　矩形

解析　如图，因为＋＝，

－＝，

所以||＝||.

由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．

题组三　易错自纠

4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.

若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.

答案　

解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ（a＋2b）成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.

6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．

答案　

解析　＝＋＝＋

＝＋（＋）＝－＋，

∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.

题型一　平面向量的概念

1．给出下列命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；

③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中真命题的序号是________．

答案　③

解析　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；

②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；

③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；

④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；

⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．

故填③.

2．判断下列四个命题：

①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　A

解析　只有④正确．

思维升华向量有关概念的关键点

（1）向量定义的关键是方向和长度．

（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等．

（4）单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

（5）零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．

题型二　平面向量的线性运算

命题点1　向量加、减法的几何意义

例1（2017·全国Ⅱ）设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则（　　）

A．a⊥bB．|a|＝|b|

C．a∥bD．|a|>|b|

答案　A

解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，

∴|a＋b|2＝|a－b|2.

∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.

∴a·b＝0.∴a⊥b.

故选A.

方法二　利用向量加法的平行四边形法则．

在▱ABCD中，设＝a，＝b，

由|a＋b|＝|a－b|知，||＝||，

从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.

故选A.

命题点2　向量的线性运算

例2

（1）（2019·运城模拟）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量等于（　　）

A.a＋bB．－a－b

C．－a＋bD.a－b

答案　C

解析　＝＝（＋）

＝＝－a＋b，

故选C.

（2）（2018·全国Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于（　　）

A.－B.－

C.＋D.＋

答案　A

解析　作出示意图如图所示．

＝＋＝＋

＝×（＋）＋（－）

＝－.

故选A.

命题点3　根据向量线性运算求参数

例3在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．

答案　

解析　由题意可求得AD＝1，CD＝，

∴＝2.

∵点E在线段CD上，

∴＝λ（0≤λ≤1）．

∵＝＋＝＋λ，

又＝＋μ＝＋2μ，

∴2μ＝λ，即μ＝.

∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.

思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

（1）向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

（2）求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

（3）求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．

跟踪训练1

（1）在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则等于（　　）

A.a＋bB.a－b

C．－a－bD．－a＋b

答案　C

解析　＝＋＝＋

＝（－）－

＝－－＝－a－b，故选C.

（2）（2018·威海模拟）在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝x＋y（x，y∈R），则x－y＝________.

答案　2

解析　由题意得＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

因为＝x＋y，

所以＝＋，

所以解得

所以x－y＝2.

题型三　共线定理的应用

例4设两个非零向量a与b不共线．

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），

求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

（1）证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），

∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）

＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5，

∴，共线．

又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．

（2）解　假设ka＋b与a＋kb共线，

则存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），

即（k－λ）a＝（λk－1）b.

又a，b是两个不共线的非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0.

消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.

引申探究　

1．若将本例

（1）中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？

解　＋＝（a＋mb）＋3（a－b）＝4a＋（m－3）b，

即＝4a＋（m－3）b.

若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ.

即4a＋（m－3）b＝λ（a＋b）．

所以解得m＝7.

故当m＝7时，A，B，D三点共线．

2．若将本例

（2）中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？

解　因为ka＋b与a＋kb反向共线，

所以存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb）（λ<0）．

所以所以k＝±1.

又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.

故当k＝－1时两向量反向共线．

思维升华

（1）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

（2）向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．

跟踪训练2已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n（m，n∈R）．

（1）若m＋n＝1，求证：

A，P，B三点共线；

（2）若A，P，B三点共线，求证：

m＋n＝1.

证明　

（1）若m＋n＝1，

则＝m＋（1－m）＝＋m（－），

∴－＝m（－），

即＝m，∴与共线．

又∵与有公共点B，则A，P，B三点共线．

（2）若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，

∴－＝λ（－）．

又＝m＋n.

故有m＋（n－1）＝λ－λ，

即（m－λ）＋（n＋λ－1）＝0.

∵O，A，B不共线，∴，不共线，

∴∴m＋n＝1.

1．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.

若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，

故前者是后者的充分不必要条件．

2．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则（　　）

A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线

C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线

答案　B

解析　∵＝＋＝2a＋6b＝2，

∴与共线，由于与有公共点B，

因此A，B，D三点共线，故选B.

3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么等于（　　）

A.－B.＋

C.＋D.－

答案　D

解析　在△CEF中，有＝＋.

因为点E为DC的中点，所以＝.

因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，

所以＝.

所以＝＋＝＋

＝－，故选D.

4．（2018·唐山模拟）在△ABC中，点G满足＋＋＝0.若存在点O，使得＝，且＝m＋n，则m－n等于（　　）

A．2B．－2C．1D．－1

答案　D

解析　∵＋＋＝0，

∴－＋－＋－＝0，

∴＝＝＝，

可得＝－－，

∴m＝－，n＝－，m－n＝－1，故选D.

5.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则等于（　　）

A．a－bB.a－b

C．a＋bD.a＋b

答案　D

解析　连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以＝＋＝＋＝a＋b，故选D.

6.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　注意到N，P，B三点共线，

因此＝m＋＝m＋，

从而m＋＝1，所以m＝.

7．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.

答案　2

解析　因为||＝||＝|－|＝2，

所以△ABC是边长为2的正三角形，

所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，

所以|＋|＝2.

8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．

答案　直角三角形

解析　因为＋－2＝－＋－

＝＋，－＝＝－，

所以|＋|＝|－|，

即·＝0，

故⊥，△ABC为直角三角形．

9．若M是△ABC的边BC上的一点，且＝3，设＝λ＋μ，则λ的值为________．

答案　

解析　由题设知＝3，过M作MN∥AC交AB于N，

则＝＝＝，

从而＝，

又＝λ＋μ＝＋＝＋，

所以λ＝.

10．（2019·钦州质检）已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，＝2e1－3e2，＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________.

答案　－4

解析　因为M，N，P三点共线，

所以存在实数k使得＝k，

所以2e1－3e2＝k（λe1＋6e2），

又e1，e2为平面内两个不共线的向量，

可得解得λ＝－4.

11．如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，求△ABC与△AOC的面积之比．

解　取AC的中点D，连接OD，

则＋＝2，

∴＝－，

∴O是AC边上的中线BD的中点，

∴S△ABC＝2S△OAC，

∴△ABC与△AOC面积之比为2∶1.

12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，试用a，b表示向量.

解　方法一　由D，O，C三点共线，

可设＝k1＝k1（－）＝k1

＝－k1a＋k1b（k1为实数），

同理，可设＝k2＝k2（－）

＝k2＝－k2a＋k2b（k2为实数），①

又＝＋＝－a＋

＝－（1＋k1）a＋k1b，②

所以由①②，得－k2a＋k2b＝－（1＋k1）a＋k1b，

即（1＋k1－2k2）a＋b＝0.

又a，b不共线，

所以　解得

所以＝－a＋b.

所以＝＋

＝a＋＝（a＋b）．

方法二　延长AO交BC于点E，O为△ABC的重心，则E为BC的中点，

所以＝＝×（＋）＝（a＋b）．

13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ（λ，μ为实数），则λ2＋μ2等于（　　）

A.B.C．1D.

答案　A

解析　＝＋＝＋

＝＋（＋）＝－，

所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.

14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D（点O与点D不重合），若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ的取值范围是（　　）

A．（0,1）B．（1，＋∞）

C．（1，]D．（－1,0）

答案　B

解析　设＝m，则m>1，

因为＝λ＋μ，

所以m＝λ＋μ，

即＝＋，

又知A，B，D三点共线，

所以＋＝1，即λ＋μ＝m，

所以λ＋μ>1，故选B.

15．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为△ABC的（　　）

A．BC边中线的中点

B．BC边中线的三等分点（非重心）

C．重心

D．BC边的中点

答案　B

解析　设BC的中点为M，

则＋＝，

∴＝（＋2）＝＋，

即3＝＋2，也就是＝2，

∴P，M，A三点共线，

且P是AM上靠近A点的一个三等分点．

16．设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若a∈W，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模．则称a是W的极大向量．有下列命题：

①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；

②给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量c＝－a－b，使得W＝{a，b，c}中的每个元素都是极大向量；

③若W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．

其中真命题的序号是________．

答案　②③

解析　①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a，b，c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．