通常，动能定理数学表达式中的W有两种表述：
一是每个力单独对物体做功的代数和，二是合力对物
体所做的功。
这样，动能定理亦相应地有两种不同的表述：
1外力对物体所做功的代数和等于物体动能的变化。
2合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
（三）应用动能定理
1、动能定理应用的基本步骤
应用动能定理涉及一个过程，两个状态•所谓一个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功；两个状态是指初末两个状态的动能.
动能定理应用的基本步骤是：
1选取研究对象，明确并分析运动过程.
2分析受力及各力做功的情况，受哪些力？
每个力是否做功？
在哪段位移过程中做功？
正功？
负功？
做多少功？
求出代数和.
3明确过程始末状态的动能Eki及Ek2
4列方程W=Ek2一Eki，必要时注意分析题目的潜在条件，补充方程进行求解.
2、应用动能定理的优越性
（1）由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制.
⑵一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解简捷•可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解•可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识.
⑶用动能定理可求变力所做的功.在某些问题中，由于力F的大小、方向的变化，不能直接用W=FsC0Sa求
出变力做功的值，但可由动能定理求解.
二、重力势能
（1）定义：
物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能.
（2）表达式：
Epmgh，其中h是物体的重心到参考平面（即高度取为零，零势能面）的高度.在参考面以上，h0;在参考面以下，h0.
重力势能是状态量，是标量，可正可负.
单位：
同功的单位相同，国际单位制中为焦耳，符号为J.
（3）重力势能的特点
1重力势能的相对性：
重力势能Epmgh是相对的，为了确定物体的重力势能，预先规定一个水平面的高度为零，处于此平面的物体重力势能为零，此平面叫做参考平面，也叫做零势面•选择哪个水平面为参考平面，可视研究问题的方便而定，通常选择地面作为参考平面.参考平面不同，重力势能值不同，因而重力势能具有相对性.
2重力势能的变化量是绝对的，具有绝对性：
我们所关心的往往不是物体具有多少重力势能，而是重力势能的变化量，虽然重力势能具有相对性，但重力势能的变化Epmgh却是绝对的，与参考平面的选取无关.
3系统性：
重力势能是地球与物体共同具有的，是由地球和地面上物体的相对位置决定的，即EpmghGM2mh.没有地球，物体的重力势能就不存在.
（4）重力做功的特点
1由功能关系WGEp可知重力所做的功只跟初位置的高度h和末位置的高度h2有关，跟物体运动的路
径无关•只要起点和终点的位置相同，不论是沿着直线路径由起点到终点，或是沿着曲线路径由起点到终
点，做功结果均相同.
2重力做功只与物体初、末位置的高度差有关，与路径无关.
3重力做功可以使物体的重力势能发生变化.
（5）重力势能的变化与重力做功的关系
重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少，重力对物体做多少负功，物体的重力势能就增加多
少.即WgEp.
三、弹性势能
（1）定义：
物体由于发生弹性形变，各部分之间存在着弹性力的相互作用而具有的势能叫做“弹性势能”.
（2）理解：
1弹性势能是状态量，标量，单位是焦耳.
2确定弹性势能的大小需选取零势能的状态，一般选取弹簧未发生任何形变而处于自由状态的情况下其弹
性势能为零，被压缩或伸长的弹簧具有的弹性势能等于弹簧的劲度系数与弹簧长度改变量x的平方乘积的一
半，即Ep-kx2.
p2
3弹力对物体做功等于弹性势能增量的负值，即弹力所做的功只与弹簧在初状态和末状态的伸长量有关，而与弹簧形变过程无关.
4弹性势能是以弹力的存在为前提，所以弹性势能是在发生弹性形变时，各部分之间有弹性作用的物体所具有的.如果两物体相互作用都发生形变，那么每一物体都有弹性势能，总弹性势能为二者之和.
5动能、重力势能和弹性势能之间可以相互转化.
【例1】图中ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为9的斜面，CD段是水平的，BC是与AB和CD都
相切的一小段圆弧，其长度可以略去不计•一质量为m的小滑块在A点从静止状态释放，沿轨道
滑下，最后停在D点，A点和D点的位置如图所示，现用一沿轨道方向的力推滑块，使它缓缓地
由D点推回到A点，设滑块与轨道间的动摩擦系数为仏则推力
对滑块做的功等于（）
A.mgh
C.mg（s—）sin
圆弧的半径为R.一个质量为m的物体（可以看做质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨
道间做往返运动.已知P点与圆弧的圆心0等高，物体与直轨道AB间的动摩擦因数为，求:
（1）物体做往返运动的整个过程中，在AB轨道上通过的总路程.
（2）最终当物体通过圆弧最低点E时，对圆弧轨道的压力.
【例2】如图长为I的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，已知链条与水平面间静摩擦系数为W,滑动摩擦系数为仏求：
（1）满足什么条件时，链条将开始滑动？
（2）若下垂部分长度为b时，链条自静止开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少?
变式：
2、如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时其一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间的速度多大？
变式3、如图所示，一粗细均匀的U型管内装有同种液体且竖直放置，右管口用盖板A封闭一部分气体,
左管口开口，两液面高度差为h，U型管中液柱总长度为4h•现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液柱刚
好相齐时右侧液面下降的速度大小为多少?
如图所示，然后静止释放,
小球.AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动.现将杆置于水平位置,不计各处摩擦与空气阻力，试求：
（1）AB杆转到竖直位置瞬时，角速度多大？
（2）AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能增量多大？
变式4、如图所示，轻杆两端各系一质量均为m的小球A、B,轻杆可绕0的光滑水平轴在竖直面内转动，A
球到0的距离为Li,B球到0的距离为L2,且Li>L2,轻杆水平时无初速释放小球，不计空气阻力，求杆竖直时两球的角速度为•
I
I
I
I
I
右
例4、如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。
一质量为m的小物块（视为质点）从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。
（g为重力加速度）
（1）要使物块能恰好通过圆轨道最高点，求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h多大；
（2）要求物块能通过圆轨道最高点，且在最高点与轨道间的压力不能超过5mg。
求物块初始位置相对于圆
形轨道底部的高度h的取值范围。
变式5、如图所示，一个半径R=1.0m的圆弧形光滑轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心0的
连线与竖直方向夹角B=60°,C为轨道最低点，D为轨道最高点.一个质量m=0.50kg的小球（视为质点）从空中A点以vo=4.Om/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道.重力加速度g取10m/sI试求：
（1）小球抛出点A距圆弧轨道B端的高度h.
（2）小球经过轨道最低点C时对轨道的压力Fc.
（3）
小球能否到达轨道最高点D?
若能到达，试求对D点的压力Fd.若不能到达，试说明理由.
【例4】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以方向不变、
大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升•若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为WW，滑块经B、C两点时的动能分别为EkB、E«,图中ABBC，则一定有（）
B.
WW2
【例5】如图所示，一物体从高为H的斜面顶端由静止开始下滑，滑上与该斜面相连的一光滑曲面后又返
1
回斜面，在斜面上能上升到的最大高度为2h•若不考虑物体经过斜面底端转折处的能量损失,
则当物体再一次滑回斜面时上升的最大高度为（）
i
A.0B•—H
4
加速度为g,则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为（
2
VoJ
C.
D.oM2f和VoJ―mg—2g（1——）\mgf
mg
【例8】如图所示，物体以iooj的初动能从斜面底端沿斜面向上运动，当它向上通过斜面上某一点M时,
其动能减少了8oJ，克服摩擦力做功32J，则物体返回到斜面底端时的动能为（）
A.
2oj
B.
48J
C.
6oJ
D
68J
面移动的距离为X，则木块获得的动能和子弹损失的动能之比为（
2
【例10】
运动员从悬停在空中的直升机上跳伞，伞打开前可看作是自由落体运动，开伞后减速下降，最后
匀速下落.如果用h表示下落高度、t表示下落的时间、F表示人受到的合外力、E表示人的机械
能、Ep表示人的重力势能、v表示人下落的速度.在整个过程中，下列图象可能符合事实的是（）
【例13】如图所示，竖直平面内放一直角杆，杆的水平部分粗糙，竖直部分光滑，两部分各套有质量分别
为mA2.0kg和mB1.0kg的小球A和B,A球与水平杆间的动摩擦因数0.20,AB间用不
可伸长的轻绳相连，图示位置处OA1.5m,BO2.0m.重力加速度g取10m/s2.
（1）若用水平力F1沿杆向右拉A，使A由图示位置向右缓慢地移动0.5m，则该过程中拉力F1做
了多少功？
（2）
若用水平力F2沿杆向右拉A，使B以1m/s的速度匀速上升，则在B由图示位置上升0.5m的
过程中，拉力F2做了多少功?
【例14】在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为
的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中.设滑道的水平距离为L,B点的高度h可由运动员自由调节（取g10m/s2）.求：
（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；
（2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？
对应的最大水平距离Smax为多少？
（3）若图中H=4m,L=5m,动摩擦因数0.2，则水平运动距离要达到7m,h值应为多少？
（4）
课堂检测
终留在木块中与木块一起以速度v运动.已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L,子弹进入木
F2,使小球在半径为R2的轨道上运动，求此过程中拉力对小球所做
的功。
5.下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的两个圆形
轨道组成，B、C分别是两个圆形轨道的最低点，半径Ri=2.0m、R2=1.4m。
一个质量为m=1.0kg的质点小球，
从轨道的左侧A点以Vo=l2.Om/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距Li=6.0m。
小球与水平轨道间的动摩
擦因数尸0.2。
两个圆形轨道是光滑的，重力加速度g=10m/s2。
（计算结果小数点后保留一位数字）试求：
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小;
（2）
如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L2是多少；
（3）
课后作业
1、质点在恒力作用下，由静止开始作直线运动，关于质点动能的大小有以下说法：
①动能与它通过的位
移成正比；①动能与它通过的位移的平方成正比；①动能与它运动的时间成正比；①动能与它运动的时
间的平方成正比•其中正确的是（）
A•只有①①B.只有①①C.①①只有D.只有①①
2、质量为m的物体从地面上方H高处无初速释放，落在地面后出现一个深度为h的坑，如图所示，在此
过程中（）
5、如图为质量相等的两个质点AB在同一直线上运动的vt图像，由图可知（）
A.在t时刻两个质点在同一位置
B.在t时刻两个质点速度相等
C.在0t时间内质点B比质点A位移大
D.在0t时间内合外力对两个质点做功相等
6、
一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t=0时起，第1秒内
受到2N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1N的外力作用.下列判断正确的是（）
95
A.0〜2s内外力的平均功率是WB•第2秒内外力所做的功是J
44
4
C.第2秒末外力的瞬时功率最大D.第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是-
5
7、如图所示，用恒力F使一个质量为m的物体由静止开始沿水平地面移动了位移x,力F跟物体前进的
方向的夹角为a,物体与地面间的动摩擦因数为
（1）拉力F对物体做功W的大小；
（2）地面对物体的摩擦力f的大小；
（3）物体获得的动能Ek.
&物体从高出地面H处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面进入沙坑h停止，如图所示.求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍.
9、总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车
已行驶L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力.设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的.当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？
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