几何图形初步 基础知识详解+基本典型例题解析全.docx
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几何图形初步基础知识详解+基本典型例题解析全
几何图形初步
一、几何图形
二、直线、射线、线段
三、角
四、《几何图形初步》全章复习与巩固
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一、几何图形基础知识讲解
【学习目标】
1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；
2.掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间想象能力；
3.理解点线面体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程.
【要点梳理】
要点一、几何图形
1．定义：
把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．
要点诠释：
几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.
2．分类：
几何图形包括立体图形和平面图形
（1）立体图形：
图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等.
（2）平面图形：
有些几何图形（如线段、角、三角形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．
要点诠释：
（1）常见的立体图形有两种分类方法：
（2）常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等．
（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系．
要点二、从不同方向看
从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：
（1）从正面看；
（2）从左面看；（3）从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图（也称主视图）、左视图、俯视图．
要点三、简单立体图形的展开图
有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
要点诠释：
（1）不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．
（2）不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．
要点四、点、线、面、体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系.此外，从运动的观点看：
点动成线，线动成面，面动成体.
【典型例题1】
类型一、几何图形
1．如图所示，请写出下列立体图形的名称．
【思路点拨】可以联系生活中常见的图形及基本空间想象能力，描述各种几何体的名称．
【答案与解析】
解：
（1）五棱柱；
（2）圆锥；（3）四棱柱或长方体；（4）圆柱；（5）四棱锥．
【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱（锥）还是棱柱（锥）．
举一反三：
【变式】如图所示，下列各标志图形主要由哪些简单的几何图形组成?
【答案】
（1）由圆组成；
（2）长方形和正方形；（3）菱形（或四边形）；（4）由圆和圆弧组成（或由一个圆和两个小半圆组成）．
类型二、从不同方向看
2．如图所示的是一个三棱柱，试着把从正面、左面、上面观察所得到的图形画出来．
【思路点拨】注意观察的角度和方向.
【答案与解析】
解：
从正面观察这个三棱柱，看到的图形是长方形；从左面观察它，看到的图形是长方形；从上面观察，看到的图形是三角形．因此，从三个方向看，得到的图形如图所示．
【总结升华】若要画出从不同方向观察物体所得的图形，方向、角度一定要选准．因为从不同方向观察得到的图形往往不同．
举一反三：
【变式1】画出下列几何体的主视图、左视图与俯视图.
【答案】
主视图左视图俯视图
【变式2】如图所示的工件的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．
3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）
A．棱柱B．圆柱C．圆锥D．球
【答案】B
【解析】此题可采用排除法．棱柱的三视图中不存在圆，故A不对；圆锥的主视图、左视图是三角形，故C不对；球的三视图都是圆，故D不对，因此应选B．
【总结升华】平面展开图中，含有三角形，一般考虑棱锥或棱柱；如果只有两个三角形，必是三棱柱；如果含长方形，一般考虑棱柱；如果含有圆和长方形，一般考虑圆柱；如果含有扇形和圆，一般考虑圆锥．
举一反三：
【变式】右图是某个几何体的三视图，该几何体是（）
A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱
【答案】D
类型三、展开图
4．（2016•徐州）下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可．
【答案】C
【解析】正方体沿着不同棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况：
故选：
C．
【总结升华】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．
举一反三：
【变式】（2015•宜昌）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
类型四、点、线、面、体
5．分别指出下列几何体各有多少个面?
面与面相交形成的线各有多少条?
线与线相交形成的点各有多少个?
如图所示．
【答案与解析】
解：
（1）4个面，6条线，4个顶点；
（2）6个面，12条线，8个顶点；（3）9个面，16条线，9个顶点．
【总结升华】
（1）数几何体中的点、线、面数时，要按一定顺序数，做到不重不漏．
（2）一般地，n棱柱有（n+2）个面（其中2为两个底面），n棱锥有（n+1）个面（其中1为一个底面）．
6．如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立方图形，请你把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．
【答案与解析】
连线如下：
【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．
举一反三：
【变式】将如图所示的Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，所得几何体从正面看到的图形是（）．
【答案】A
【典型例题2】
类型一、几何图形
1．将图中的几何体进行分类，并说明理由．
【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面是平面或曲面来划分，也可以按柱、锥、球来划分.
【答案与解析】
解：
若按形状划分：
（1）
（2）（6）（7）是一类，组成它的各面全是平面；（3）（4）（5）是一类，组成它的面至少有一个是曲面．
若按构成划分：
（1）
（2）（4）（7）是一类，是柱体；（5）（6）是一类，即锥体；（3）是球体．
【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱（锥）还是棱柱（锥）．
类型二、从不同方向看
2．（2016春•潮南区月考）如图所示的是某个几何体的三视图．
（1）说出这个立体图形的名称；
（2）根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．
【思路点拨】
（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个直三棱柱；
（2）根据直三棱柱的表面积公式计算即可．
【答案与解析】
解：
（1）这个立体图形是直三棱柱；
（2）表面积为：
×3×4×2+15×3+15×4+15×5=192．
【总结升华】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．
举一反三：
【变式】如图所示的几何体中，主视图与左视图不相同的几何体是（）．
【答案】D
提示：
圆锥的主视图与左视图为相同的三角形；圆柱的主视图与左视图为相同的矩形；球的主视图与左视图为相同的圆，正三棱柱的主视图和左视图为不相同的两个矩形，故选D．
3.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右分别是1，2，3个正方形．
【总结升华】本题考查了对几何体三种视图的空间想象能力,注意找到该几何体的主视图中每列小正方体最多的个数．
举一反三：
【变式1】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？
它最少需要多少个小立方块？
最多需要多少个小立方块？
俯视图
主视图
【答案】几何体的形状不唯一，
最少需要小方块的个数：
，
最多需要小方块的个数：
．
【变式2】下图是从正面、左面、上面看由若干个小积木搭成的几何体得到的图，那么这个几何体中小积木共有多少个?
【答案】这个几何体中小积木共有6个．
类型三、展开图
4．右下图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是（）
【答案】D
【解析】最直接的方法是做一个如图所示的正方体的表面展开图，然后再折叠后进行对照即可．也可用排除法，观察正方体的表面展开图，可发现分成4块的面中的4个小正方形中有3块的颜色是阴影，这就可排除A，再想象折叠的图形，可知正方体被分成4块的面的对面应是阴影，这就可排除B、C，所以选D．
【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进行确定．正方体沿着棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况．
举一反三：
【变式】宜黄素有“华南虎之乡”的美誉．将“华南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“虎”相对的字是________．
【答案】“美”．
类型四、点、线、面、体
5．如图，一个正五棱柱的底面边长为2cm，高为4cm．
（1）这个棱柱共有多少个面？
计算它的侧面积；
（2）这个棱柱共有多少个顶点？
有多少条棱？
（3）试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数、面数与棱的条数．
【思路点拨】
（1）根据图形可得侧面的个数，再加上上下底面即可；
（2）顶点共有10个，棱有5×3条；
（3）根据五棱柱顶点数、面数与棱的条数进行总结即可．
【答案与解析】
解：
（1）侧面有5个，底面有2个，共有5+2=7个面；
侧面积：
2×5×4=40（cm2）．
（2）顶点共10个，棱共有15条；
（3）n棱柱的顶点数2n；面数n+2；棱的条数3n．
【总结升华】此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握常见的立体图形的形状．
6.将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确的是（ ）
A．主视图相同B．左视图相同C．俯视图相同D．三种视图都不相同
【答案】D
【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状，然后再根据两种几何体的三视图做出判断．
【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．
举一反三：
【变式】（2015春•海安县校级期中）将如图所示放置的一个直角三角形ABC，（∠C=90°），绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
二、直线、射线、线段基础知识讲解
【学习目标】
1．理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系；
2.利用直线、线段的性质解决相关实际问题；
3．利用线段的和差倍分解决相关计算问题．
【要点梳理】
要点一、直线
1．概念：
直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．
2.表示方法：
（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB（或直线BA）．
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线
．
3.基本性质：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：
两点确定一条直线．
要点诠释：
直线的特征：
（1）直线没有长短，向两方无限延伸．
（2）直线没有粗细．
（3）两点确定一条直线．
（4）两条直线相交有唯一一个交点．
4.点与直线的位置关系：
（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：
直线m经过点A．
（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：
直线n不经过点B．
要点二、线段
1.概念：
直线上两点和它们之间的部分叫做线段．
2.表示方法：
（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：
线段AB或线段BA．
（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：
线段a．
3.“作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：
用圆规作一条线段等于已知线段．例如：
下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：
用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：
可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
4.基本性质：
两点的所有连线中，线段最短．简记为：
两点之间，线段最短．
如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．
图6
要点诠释：
（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．
（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（3）线段的比较：
①度量法：
用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．
②叠合法：
利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．
5.线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则
，或AB＝2AC＝2BC．
图7
要点诠释：
若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
要点三、射线
1.概念：
直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．
如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．
图8
2.特征：
是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．
3.表示方法：
（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．
要点诠释：
（1）端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是不同的射线．
图9
（2）端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．
图10
要点四、直线、射线、线段的区别与联系
1.直线、射线、线段之间的联系
（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．
（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．
2．三者的区别如下表
要点诠释：
（1）联系与区别可表示如下：
（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．
【典型例题】
类型一、相关概念
1.下列说法中，正确的是（）
A．射线OA与射线AO是同一条射线
B．线段AB与线段BA是同一条线段
C．过一点只能画一条直线
D．三条直线两两相交，必有三个交点
【答案】B
【解析】射线OA的端点是O，射线AO的端点是A，所以射线OA与射线AO不是同一条射线，故A错误；过一点能画无数条直线，所以C错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交点（三条直线相交于一点时），所以D错误；线段AB与线段BA是同一条线段，所以B正确．
【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．
举一反三：
【变式1】以下说法中正确的是 （）
A．延长线段AB到CB．延长射线AB
C．直线AB的端点之一是AD．延长射线OA到C
【答案】A
【变式2】如图所示，请分别指出图中的线段、射线和直线的条数，并把它们分别表示出来.
【答案】
解：
如下图所示，在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.
图中有6条射线：
射线AX、射线AY、射线BX、射线BY、射线CX、射线CY.
有3条线段：
线段AB（或BA）、线段BC（或CB）、线段AC（或CA）
有1条直线：
直线AC（或AB，BC）.
类型二、有关作图
2．如图所示，线段a，b，且a＞b．
用圆规和直尺画线段：
（1）a+b；
（2）a-b．
【答案与解析】
解：
（1）画法如图
（1），画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在AB的延长线上画线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b．
（2）画法如图
（2），画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在线段AB上画线段BD＝b，线段AD就是a与b的差，记作AD＝a-b．
【总结升华】在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度．
举一反三：
【变式1】如图，C是线段AB外一点，按要求画图：
（1）画射线CB；
（2）反向延长线段AB；
（3）连接AC，并延长AC至点D，使CD=AC．
【答案】
解：
【变式2】用直尺作图：
P是直线a外一点，过点P有一条线段b与直线a不相交.
【答案】
解：
类型三、有关条数及长度的计算
3.如图，A、B、C、D为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点，可画出条直线.
【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数．
【答案】6条直线
【解析】由两点确定一条直线知，点A与B,C,D三点各确定一条直线，同理点B与C、D各确定一条直线，C与D确定一条直线，综上：
共有直线：
3+2+1=6（条）.
【总结升华】平面上有
个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：
．
举一反三：
【变式1】如图所示，已知线段AB上有三个定点C、D、E．
（1）图中共有几条线段？
（2）如果在线段CD上增加一点，则增加了几条线段？
你能从中发现什么规律吗？
【答案】
解：
（1）线段的条数：
4＋3＋2＋1＝10（条）；
（2）如果在线段CD上增加一点P，则P与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了5条线段.
（注解：
若在线段AB上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB上增加到n个点（即增加n－2个点）时，线段的总条数为1＋2＋……＋（n－1）＝
n（n－1）.）
【变式2】）如图直线m上有4个点A、B、C、D，则图中共有________条射线．
【答案】8
4.（2016春•启东市月考）已知点C在线段AB上，线段AC=7cm，BC=5cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度．
【思路点拨】根据M、N分别为AC、BC的中点，根据AC、BC的长求出MC与CN的长，由MC+CN求出MN的长即可．
【答案与解析】
解：
∵AC=7cm，BC=5cm，点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=
AC=3.5cm，CN=
BC=2.5cm，
则MN=MC+CN=3.5+2.5=6（cm）．
【总结升华】此题考查了线段的和差，熟练掌握线段中点定义是解本题的关键．
举一反三：
【变式】在直线l上按指定方向依次取点A、B、C、D，且使AB：
BC：
CD=2：
3：
4，如图所示，若AB的中点M与CD的中点N的距离是15cm，求AB的长.
【答案】
解：
依题意，设AB＝2xcm，那么BC＝3xcm，CD＝4xcm．则有：
MN=BM+BC+CN=x+3x+2x=15
解得：
所以AB=2x=
cm.
类型四、最短问题
5.（2015•新疆）如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ）
A．A→C→D→BB．A→C→F→BC．A→C→E→F→BD．A→C→M→B
【答案】B．
【解析】
根据两点之间的线段最短，
可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，
所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：
A→C→F→B．
【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．
举一反三：
【变式】
（1）如图1所示，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化?
（2）如图2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?
与修一座直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?
说出上述问题中的道理．
【答案】
解：
（1）河道的长度变小了．
（2）由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用．
【典型例题】
类型一、有关概念
1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．
【思路点拨】从图上看，A、D、F分别是线段CB、B
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