秋季学期新版新人教版九年级数学上学期2213二次函数yaxh2+k的图象和性质导学案15.docx
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秋季学期新版新人教版九年级数学上学期2213二次函数yaxh2+k的图象和性质导学案15
y=ax2+bx+c的图象和性质
一、学习目标
1．描点法画出y=ax²+bx+c的图像；
2．探索抛物线y=ax²+bx+c的性质．
二、知识回顾
1．一般地，抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2的形状相同，位置不同.抛物线y=ax2向右平移h个单位，向上平移k个单位得到抛物线y=a（x-h）2+k（h>0,k>0）.
2.抛物线y=a（x-h）2+k有如下特点：
（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.
（2）对称轴是直线x=h.
（3）顶点坐标是（h,k）.
3.填表
三、新知讲解
1．函数y=ax2+bx+c图象和性质
四、典例探究
扫一扫，有惊喜哦！
1．二次函数y=ax²+bx+c化的图象和性质
【例1】（2014秋•江都市期末）画出二次函数y=﹣x2+4x+5的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）对称轴为直线______，顶点坐标为_________，最____值是_______；
（2）与x轴、y轴的交点坐标分别为___________；
（3）当x取______时，y随x的增大而增大；当x取_______时，y随x的增大而减小；
（4）当0≤x＜3时，函数y的值为_______；
（5）当0＜y＜5时，自变量x的取值范围为_____________．
总结：
1.二次函数y=ax2+bx+c图象的画法：
（1）“化”：
化成顶点式；
（2）“定”：
确定开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）“画”：
列表、描点、连线.
2.利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式后，可求出二次函数的顶点坐标和最值，顶点坐标是（
，
），并在顶点处取到最值.当a＜0时，最大值是
；当a＞0时，最小值是
．
3.在二次函数y=ax2+bx+c中，
（1）当a>0时，在对称轴x=
的左侧，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；
（2）当a＜0时，在对称轴x=
的左侧，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小．
练1（2015•峨眉山市一模）对二次函数y=3x2﹣6x的图象性质，下列说法不正确的是（）
A．开口向上B．对称轴为x=1
C．顶点坐标为（1，﹣3）D．最小值为3
练2（2014•黄陂区模拟）二次函数y=2x2﹣4x+5，当x=____时，y有最小值为______；若y随x的增大而减小，则x的范围为____________．
2．已知二次函数y=ax²+bx+c的顶点、对称轴求参数或解析式
【例2】（2013秋•青羊区校级期中）若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上，则c等于（）
A．﹣1B．1C．
D．2
总结：
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（
，
），根据顶点坐标结合已知条件
列方程求参数的值即可．
练3（2015•虹口区一模）若抛物线y=2x2-mx-m的对称轴是直线x=2，则m=_________.
练4（2015•奉贤区一模）若抛物线y=x2+mx-1的顶点横坐标为1，那么m的值为______________.
五、课后小测
一、选择题
1．（2015•开县模拟）将抛物线
+2x+1的顶点坐标为（）
A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣3）
2．（2014秋•新疆期中）已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）
A．4B．8C．﹣4D．16
3．（2015•黔南州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）
A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
B．顶点坐标是（1，﹣3）
C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
4．（2013秋•绍兴期末）关于二次函数y=x2﹣4x+3，下列说法错误的是（）
A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．它的图象与x轴有交点
C．当1＜x＜3时，y＞0D．顶点坐标为（2，﹣1）
5.（2015•大庆模拟）若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
6.（2015•巴中模拟）若直线y=ax+b（a≠0）在第二、四象限都无图象，则抛物线y=ax2+bx+c（）
A．开口向上，对称轴是y轴B．开口向下，对称轴平行于y轴
C．开口向上，对称轴平行于y轴D．开口向下，对称轴是y轴
二、填空题
7．（2011秋•平江区校级月考）抛物线
化成顶点式是__________．
8.（2015•长宁区一模）已知二次函数y=ax2﹣（a+1）x﹣2，当x＞1时，y的值随x的值增大而增大，当x＜1时，y的值随x的值增大而减小，则实数a的值为___________．
9．（2015•黄冈中学自主招生）二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为______．
三、解答题
10.（2014秋•上城区期末）已知二次函数y=-2x2+4x+6.
（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致图象.
（2）自变量x在什么范围内，y随x的增大而增大？
何时y随x的增大而减小？
并求出函数的最大值或最小值.
11．（2015•建邺区一模）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1．
（1）m为何值时，y有最小值0；
（2）求证：
不论m取何值，函数图象的顶点都在同一直线上．
典例探究答案：
【例1】【解析】根据五点画出二次函数y=﹣x2+4x+5的图象，根据图象即可回答
（1）
（2）（3）（4）（5）的问题．
解：
列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
5
8
9
8
5
…
描点、连线可得如图所示抛物线．
（1）由y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9可知，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，9），取到最大值，为9；
故答案为：
x=2，（2，9），大，9；
（2）由图象可知：
与x轴、y轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（5，0）和（0，5）；
故答案为：
（﹣1，0）（5，0）和（0，5）；
（3）当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小；
故答案为：
x＜2，x＞2．
（4）当0≤x＜3时，函数y的值为5≤x≤9．
故答案为：
5≤x≤9
（5）当0＜y＜5时，自变量x的值为﹣1＜x＜0或4＜x＜5．
故答案为：
﹣1＜x＜0或4＜x＜5．
点评：
本题考查了二次函数的图象的作法以及二次函数的性质，正确理解函数图象的作法及函数的性质是关键．
练1．【解析】首先根据二次项系数判断开口方向，然后把y=3x2﹣6x转化为y=3（x﹣1）2﹣3，进而得到对称轴、顶点坐标以及最值．
解：
∵二次函数y=3x2﹣6x二次项系数为a=3，
∴开口向上，A选项正确；
∵y=3x2﹣6x=3（x﹣1）2﹣3，
∴对称轴为x=1，顶点坐标为（1，﹣3），B、C正确；
∴当x=1时有最小值为﹣3，D选项错误；
故选：
D．
点评：
本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象的顶点坐标，对称轴以及开口方向等.
练2．【解析】把此二次函数化为顶点式或直接用公式法求其最值即可．根据抛物线的增减性填空．
解：
∵二次函数y=2x2﹣4x+5可化为y=2（x﹣1）2+3，
∴当x=1时，二次函数y=2x2﹣4x+5的最小值是3，
∵抛物线的对称轴是x=1，抛物线的开口方向向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
故答案是：
1；3；x＜1．
点评：
本题考查了二次函数的性质．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
【例2】【解析】抛物线的顶点在x轴上，那么抛物线顶点坐标中的纵坐标为0，即
=0；然后将已知的a、b的值代入上式中，即可求得c的值．
解：
根据题意，得
=0，将a=1，b=﹣2代入得
=0，所以c=1．
故本题选B．
点评：
此题考查了顶点坐标的表示方法，解题的关键是理解题意．
练3．【解析】根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可.
解：
由题意得，
，解得m=8.
故答案为：
8.
点评：
本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴的求法是解题的关键.
练4【解析】根据抛物线的顶点公式求解即可.
解：
由题意得，
，解得m=-2.
故答案为：
-2.
点评：
本题考查了二次函数的性质，熟记顶点坐标公式是解题的关键.
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
解：
∵
+2x+1=﹣
（x2﹣4x）+1=﹣
（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）．
故选A．
点评：
此题主要考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．
2．【解析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．
解：
根据题意，得
，
解得c=16．
故选：
D．
点评：
本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．
3.解：
A、∵y=x2﹣2x﹣3，
∴x=0时，y=﹣3，
∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），故本选项说法正确；
B、∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标是（1，﹣4），故本选项说法错误；
C、∵y=x2﹣2x﹣3，
∴y=0时，x2﹣2x﹣3=0，
解得x=3或﹣1，
∴函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0），故本选项说法正确；
D、∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x=1，
又∵a=1＞0，开口向上，
∴x＜1时，y随x的增大而减小，
∴x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确；
故选：
B．
点评：
本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
4．【解析】根据二次函数的性质解题．
解：
在函数y=x2﹣4x+3中a=1＞0，
∴此函数图象开口向上；
又∵a=1，b=﹣4，c=3，
∴﹣
=2，
=﹣1．
∴顶点坐标是（2，﹣1），且对称轴是x=2，
∴故D正确；
∴令x2﹣4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
∴此函数图象和x轴有交点，求交点坐标是（1，0）；（3，0）．
故B正确；
当x＜1时，即说明x的取值范围在对称轴的左边，
∴y随x的增大而减小，故A正确；
当1＜x＜3时，y的值在x轴下方，∴y＜0，故C错误．
故选：
C．
点评：
考查二次函数图象开口方向、顶点坐标、对称轴与增减性．
5.【解析】先求出二次函数y=x2﹣4x﹣m的图象的对称轴，然后判断出A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）在抛物线上的位置，再根据二次函数的增减性求解．
解：
∵二次函数y=x2﹣4x﹣m中a=1＞0，
∴开口向上，对称轴为x=﹣
=2，
∵A（2，y1）中x=2，∴y1最小，
又∵B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）都在对称轴的左侧，
而在对称轴的左侧，y随x得增大而减小，故y2＞y3．
∴y2＞y3＞y1．
故选：
C．
点评：
本题考查了二次函数的性质．关键是
（1）找到二次函数的对称轴；
（2）掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．
6.【解析】先由直线y=ax+b（a≠0）在第二、四象限，得出a＞0，b=0，再判断抛物线的开口方向和对称轴．
解：
∵直线y=ax+b（a≠0）在第二、四象限，
∴a＞0，b=0，
则抛物线y=ax2+bx+c开口方向向上，
对称轴x=0，即y轴．
故选A．
点评：
本题考查了一次函数和二次函数的图象与其系数的关系，先由一次函数的图象判断出a、b的正负，再根据二次函数的性质进行判断．
二、填空题
7．【解析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
解：
由原抛物线方程，得
y=
（x2+2x）+
，
即y=
（x2+2x+1）+
﹣
，
∴y=
（x+1）2+3；
故答案是：
y=
（x+1）2+3．
点评：
本题考查了二次函数的解析式的三种形式：
（1）一般式：
y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：
y=a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：
y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
8.【解析】根据二次函数的增减性，结合条件可求得抛物线的对称轴方程，可得到关于a的方程，可求得答案．
解：
∵y=ax2﹣（a+1）x﹣2，
∴其对称轴方程为x=
，
又当x＞1时，y的值随x的值增大而增大，当x＜1时，y的值随x的值增大而减小，
∴其对称轴为x=1，
∴
=1，解得a=1，
故答案为：
1．
点评：
本题主要考查抛物线的对称轴及增减性，掌握在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键．
9．【解析】分三种情况考虑：
对称轴在x=﹣1的左边，对称轴在﹣1到2的之间，对称轴在x=2的右边，当对称轴在x=﹣1的左边和对称轴在x=2的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时x的值，然后把此时的x的值与y=﹣4代入二次函数解析式即可求出a的值；当对称轴在﹣1到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于﹣4，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到满足题意a的值．
解：
分三种情况：
当﹣a＜﹣1即a＞1时，二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，
所以当x=﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y=x2+2ax+a中解得：
a=5；
当﹣a＞2即a＜﹣2时，二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，
所以当x=2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y=x2+2ax+a中解得：
a=﹣
＞﹣2，舍去；
当﹣1≤﹣a≤2即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为
=﹣4，解得：
a=
或a=
＞1，舍去．
综上，a的值为5或
．
故答案为：
5或
点评：
此题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法，是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到．
三、解答题
10.分析：
（1）根据函数解析式可求出顶点坐标、对称轴及与坐标轴的交点；根据二次函数的顶点、对称轴及与y轴的交点可画出图象；
（2）根据确定的对称轴及顶点坐标确定其增减性即可.
解：
（1）∵y=-2x2+4x+6=-2（x2-2x+1-1）+6=-2（x-1）2+8，
∴顶点坐标为（1，8），对称轴为x=1；
令y=-2x2+4x+6=0，
解得x=-1或x=3，
∴抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0）；
令x=0,则y=6，
∴抛物线与y轴的交点为（6，0），
大致图象为：
（2）∵开口向下且对称轴为x=1,
∴当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小；
函数值有最大值，为8.
点评：
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够确定函数的对称轴及顶点坐标以及抛物线与坐标轴的交点坐标.
11．【解析】
（1）直接将y=0代入
求出即可；
（2）首先求出函数顶点坐标，设顶点在直线y1=kx+b上，代入函数解析式求出k，b的值即可．
（1）解：
当y=0时，
，
解得：
m=﹣
；
（2）证明：
函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1的顶点坐标为：
（
，
）
设顶点在直线y1=kx+b上，则
k+b=
，
故﹣mk=﹣m，解得：
k=1，b=
，
不论m取何值，该函数图象的顶点都在直线y1=x﹣
上．
点评：
此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值求法，得出k的值是解题关键．
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