初中数学培优教材.docx
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初中数学培优教材
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第一讲一元二次方程
【学习目标】
1、学会根据具体问题列出一元二次方程,培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。
【知识要点】
1、一元二次方程的定义:
只含有一个未知数的整式方程,并且都可以化为ax2bxc0(a、b、
c、为常数,a0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程。
(1)定义解释:
①一元二次方程是一个整式方程;②只含有一个未知数;③并且未知数的最高次数
是2。
这三个条件必须同时满足,缺一不可。
2
(2)axbxc0(a、b、c、为常数,a0)叫一元二次方程的一般形式,也叫标准形式。
2
(3)在axbxc0(a0)中,a,b,c通常表示已知数。
2、一元二次方程的解:
当某一x的取值使得这个方程中的ax2
bx
c的值为0,x的值即是一元二
次方程ax2
bxc0的解。
3、一元二次方程解的估算:
当某一x的取值使得这个方程中的ax2
bxc的值无限接近0时,x
的值即可看做一元二次方程ax2
bxc
0的解。
【经典例题】
例1、下列方程中,是一元二次方程的是
①y2
y
0;②2x2
x30;
③12
3;④ax2
bx;⑤x2
2
3x;
4
x
⑥x3
x
40;⑦t2
2;⑧x2
3x
3
0;⑨x2
x2;⑩ax2
bx(a
0)
x
例2(、1)关于x的方程(m-4)x2+(m+4)x+2m+3=0,当m
时,是一元二次方程,当m__________
时,是一元一次方程.
(2)如果方程ax2+5=(x+2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a__________.
(3)关于x的方程(2m2
m3)xm1
5x
13是一元二次方程吗?
为什么?
例3、把下列方程先化为一般式,再指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
..
(1)2x2―x+1=0
(2)-5x2+1=6x(3)(x+1)2=2x(4)
3x2
4x
8
例4、
(1)某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元,设每年利润的平均增长率为x,可以列方
程得()
A.5(1+x)=9
B.5(1+x)
2=9
C.5(1+x)+5(1+x)2=9
D.5+5(1+x)+5(1+x)
2=9
(2)某商品成本价为300元,两次降价后现价为160元,若每次降价的百分率相同,设为x,则方程为_____________.
例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如下图所示,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?
(列出方程并估算解得值)
例6、如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?
..
【经典练习】
一、选择题
1、下列关于x的方程:
①1.5x2+1=0;②2.3x2+1+1=0;③3.4x2=ax(其中a为常数);④2x2+3x=0;
x
⑤3x2
1=2x;⑥(x2
x)2
=2x中,一元二次方程的个数是()
5
A、1
B、2
C、3
D、4
2、方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是
A.x2-5x+5=0B.x2+5x+5=0C.x2+5x-5=0D.x2+5=0
3、一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是
A.7x2,2x,0B.7x2,-2x,无常数项
C.7x2,0,2xD.7x2,-2x,0
4、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解,则
A.a+b+c=1B.a-b+c=0C.a+b+c=0D.a-b-c=0
二、填空题
1、将x(4x3)
3x1化为一般形式为
,此时它的二次项系数是.__________,一次项
系数是
,常数项是
。
2、如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程,那么a所满足的条件为___________.
3、已知两个数之和为6,乘积等于5,若设其中一个数为x,可得方程为_____________.
4、某高新技术产生生产总值,两年内由50万元增加到75万元,若每年产值的增长率设为x,则方程为___________.
5、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐月上升,第一季度共生产化
工原料60万吨,设一、二月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为_____________.
三、解答题
1、某商场销售商品收入款:
3月份为25万元,5月份为36万元,该商场4、5月份销售商品收入款
平均每月增长的百分率是多少?
..
【课后作业】
一、填空题
1、方程5(x2-2x+1)=-32x+2的一般形式是,其二次项是,一次项是
,常数项是__________.
2、若关于x的方程(a1)x23ax50是一元二次方程,这时a的取值范围是________
3、某地开展植树造林活动,两年内植树面积由30万亩增加到42万亩,若设植树面积年平均增长率
为x,根据题意列方程_________.
二、选择题
1、下列方程中,不是一元二次方程的是()
A.2x2+7=0B.2x2+23x+1=0C.5x2+1+4=0D.3x2+(1+x)2+1=0
x
2、方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是()
A.x2-5x+5=0B.x2+5x+5=0C.x2+5x-5=0D.x2+5=0
3、一元二次方程7x22x15的二次项、一次项、常数项依次是()
A.7x2,2x,1B.7x2,-2x,无常数项C.7x2,0,2xD.7x2,-2x,-4
4、方程x2-3=(3-2)x化为一般形式,它的各项系数之和可能是()
A.2B.-2C.23D.1223
5、若关于x的方程(ax+b)(d-cx)=m(ac≠0)的二次项系数是ac,则常数项为()
A.mB.-bdC.bd-mD.-(bd-m)
6、若关于x的方程a(x-1)2=2x2-2是一元二次方程,则a的值是()
A.2B.-2C.0D.不等于2
7、若x=-1是方程ax2+bx+c=0的解,则()
A.a+b+c=1B.a-b+c=0C.-a+b+c=0D.a-b-c=0
..
第二讲一元二次方程(配方法)
【学习目标】
1、会用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程。
2、理解配方法,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、经历列解方程解决实际问题的过程,体会转化的数学思想,增强数学应用意识和能力。
【知识要点】
1、直接开平方法解一元二次方程:
(1)把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式,另一边是非负数的形式,即化成
(xb)2a(a0)的形式
(2)直接开平方,解得x1ba,x2ba
2、配方法的定义:
通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方
法称为配方法。
3、用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)利用配方法解一元二次方程时,如果ax2bxc0中a不等于1,必须两边同时除以a,使得二次项系数为1.
(2)移项,方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项。
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
(4)用直接开平方法求出方程的根。
【经典例题】
例1、解下列方程:
2
2
(1)x=4
(2)(x+3)=9
例2、配方:
填上适当的数,使下列等式成立:
(1)x2+12x+=(x+6)2
(2)x2+8x+=(x+
)
2(3)x2―12x+=(x―)
2
例3、用配方法解方程
(1)3x2+8x―3=0
(2)6x2
x12
0
..
(3)1x2
5x
5
0
(4)x2
x20
2
2
4
例4、请你尝试证明关于x的方程(m28m20)x22mx10,不论m取何值,该方程都是一元
二次方程。
例5、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=15t―5t2,小球何时能达到10m高?
【经典练习】
一、填空题
2
1、若x=225,则x=__________,x=__________.
1
2
2、若
2
1
2
9x-25=0,则x=__________,x=__________.
3、填写适当的数使下式成立.
2
2
2
2
2
2
①x+6x+______=(x+3)
②x-______x+1=(x-1)
③x+4x+______=(x+______)
4、为了利用配方法解方程x2-6x-6=0,我们可移项得
,方程两边都加上
,
得
,化为___________解.此方程得x1=
,x2=_________.
5、将长为5,宽为4的矩形,沿四个边剪去宽为x的4个小矩形,剩余部分的面积为12,则剪去小
矩形的宽x为_________.
6、如图1,在正方形ABCD中,AB是4cm,△BCE的面积是△DEF面积的4倍,则DE的长为_________.
7、如图2,梯形的上底AD=3cm,下底BC=6cm,对角线AC=9cm,设OA=x,则x=_________cm.
..
图1
图2
二、选择题
1、方程5x2+75=0的根是(
)
A.5
B.
-5
C.
±5
D.无实根
2、方程3x2-1=0的解是
(
)
A.x=±1
B.x=±3
C.x=
±3
D.x=±3
3
3
3、一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程,配方后的方程为()
A.(x-1)
2
2
2
=m+1
B.(x-1)=m-1
C.(x-1)2=1-m
D.(x-1)2=m+1
4、用配方法解方程x2+x=2,应把方程的两边同时(
)
A.加1
B.加1
C.减1
D.减1
4
2
4
2
5、已知xy=9,x-y=-3,则x2+3xy+y2的值为(
)
A.27
B.9
C.54
D.18
三、计算题(用配方法解下列方程)
(1)
2
16
()
2
x
2(x
2)4
(3)x2+5x-1=0(4)2x2-4x-1=0
(5)1x2-6x+3=0
(6)x
2-x+6=0
4
..
(7)x24x30(8)x212x250
(9)
3x2
16x
()
2
10
2x22x10
四、解答题
两个正方形,小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm,大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米,求大小两个正方形的边长.
【课后作业】
1、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数,然后再写成(x+m)2=n的形式
(1)2x2+3x-2=0
(2)
1x2+x-2=0
4
2、用配方法解下列方程
(1)x2+5x-5=0
(2)2x2-4x-3=0
(3)x2-3x-3=0
(4)2x2
7x140
第三讲一元二次方程(公式法)
【学习目标】
1、学会一元二次方程求根公式的推导。
2、理解公式法,会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程,体会公式法和配方法的内在联系。
..
【知识要点】
1、复习用配方法接一元二次方程的步骤,推导出一元二次方程的求根公式:
对于一元二次方程
ax2
bxc
0其中a0,由配方法有(x
b)2
b2
4ac
。
2a
4a2
(1)当b2
4ac0时,得x
bb2
4ac;
2a
(2)当b24ac0时,一元二次方程无实数解。
2、公式法的定义:
利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。
3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤:
(1)必须把一元二次方程化成一般式ax2bxc0,以明确a、b、c的值;
(2)再计算b24ac的值:
①当b2
4ac0时,方程有实数解,其解为:
x
bb2
4ac;
2a
②当b24ac0时,方程无实数解。
【经典例题】
例1、推导求根公式:
ax2bxc0(a0)
例2、利用公式解方程:
(1)x22x20
(2)2x27x4
(3)x24x10(4)x243x100
例3、已知a,b,c均为实数,且a22a1+|b+1|+(c+3)2=0,解方程ax2bxc0
..
2
2
相等吗?
例4、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x+2x-1
与B=3x-2
2
2
2
=0
有一根为零,求m的值及另一根.
例5、一元二次方程(m-1)x+3mx+(m+3m-4)
【经典练习】
1、用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是()
A.x、=
12
122
3
4
B.x
1
、=
12
122
3
4
1
2
2
2
2
C.x1、2=12
122
3
4
D.x
1、2=(12)
(
12)2
434
2
2
3
2、方程x2+3x=14的解是()
A.x=365
B.x=
365
C.x=
323
D.x=
3
23
2
2
2
2
3、下列各数中,是方程x2-(1+
5)x+
5=0的解的有()
①1+5②1-5③1④-5
A.0个B.1个C.2个D.3个
5、若代数式x2-6x+5的值等于12,那么x的值为()
A.1或5B.7或-1C.-1或-5D.-7或1
6、关于x的方程3x2-2(3m-1)x+2m=15有一个根为-2,则m的值等于()
A.2
B.-1
C.-2
D.1
2
2
7、当x为何值时,代数式2x2+7x-1与4x+1的值相等?
9、用公式法解下列各方程
(1)x2+6x+9=7
(2)12x27x10
..
(3)x242x80(4)2x23x50
(5)x2x10(6)3x25x10
(7)(2x1)(x3)4(8)4y2(28)y20
(9)
2
x
2
3
x
2
0
(
)
10y2y1yy10
(11)5x28x1(12)x22mx3nx3m2mn2n20
【课后作业】
1、方程(x-5)2=6的两个根是()
A.x=x=5+
6
B.x=x=-5+
6
1
2
1
2
C.x=-5+
6
,x=-5-
6
D.x=5+
6
,x=5-
6
1
2
1
2
2、利用求根公式解一元二次方程时,首先要把方程化为,确定的值,当
时,把a,b,c的值代入公式,x1,2=求得方程的解.
3、当x为何值时,代数式2x2+7x-1与x2-19的值互为相反数?
4、用公式法解下列方程:
(1)
2
7
1
0
()
x
x
2x(x8)0
..
(3)x2x2(4)0.8x2x0.3
(5)3x212(6)x27x
第四讲一元二次方程(分解因式法)
【学习目标】
1、能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法。
体会解决问题方法的多样性。
2、会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程。
3、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。
【知识要点】
1、分解因式法解一元二次方程:
当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的
积时,可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解,这种解一元二次方程的方法称为
分解因式法。
2、分解因式法的理论依据是:
若ab0,则a0或b0
3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤:
①将方程的右边化为零;
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;
④解这两个一元一次方程,他们的解就是一元一次方程的解。
【典型例题】
例1、
(1)方程(x
1)(x
2)2(x
2)
的根是__________
(2)方程(x
1)(x
2)(x3)
0
的根是__________
例2、用分解因式法解下列方程
(1)
3
x
2
6
x
0
()
2
2
3(x5)2(5x)
..
(3)x22x10(4)4x28x4
(5)(3x2)2(x3)20(6)49(x3)216(x6)2
(7)1x2
5x60
(8)(x-1)2-4(x-1)-21=0.
4
2
例3、2-3
是方程x2+bx-1=0的一个根,则b=
,另一个根是_________.
2
2
b等于
(
)
例4、已知a
-5ab+6b=0,则a
b
a
A.21
B.31
C.21或31
D.21或31
2
3
2
3
3
2
2
2
2
2
2
例5、解关于x的方程:
(a-b)x+4abx=a-b
.
例6、x为何值时,等式2
2
2
2
3
2
0
x
x
x
x
【经典练习】
一、填空题.
1、用因式分解法解方程9=x2-2x+1
(1)移项得;
(2)方程左边化为两个数的平方差,右边为0得;
(3)将方程左边分解成两个一次因式之积得;
(4)分别解这两个一次方程得x1=,x2=。
2、
(1)方程t(t+3)=28的解为_______.
(2)方程(2x+1)2+3(2x+1)=0的解为.
3(、1)用因式分解法解方程(5x+3)-2x(x+3)=0,可把其化为两个一元一次方程和
求解。
(2)方程x2-16=0,可将方程左边因式分解得方程,则有两个一元一次方程______