河北省衡水中学届高三上学期第十九周周测数学.docx

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河北省衡水中学届高三上学期第十九周周测数学

河北省衡水中学2015届高三上学期第十九周周测数学

附加：

已知函数f（x）=ax+x2-xlna-b（a,b∈R,a>1）,e是自然对数的底数.

（1）试判断函数f（x）在区间（0,+∞）上的单调性;

（2）当a=e,b=4时,求整数k的值,使得函数f（x）在区间（k,k+1）上存在零点;

（3）若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1,试求a的取值范围.

附加.解:

（1）f′（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna,由于a>1,故当x∈（0,+∞）时,

lna>0,ax-1>0,所以f′（x）>0,故函数f（x）在（0,+∞）上单调递增.………（3分）

（2）f（x）=ex+x2-x-4,∴f′（x）=ex+2x-1,∴f′（0）=0,当x>0时,ex>1,

∴f′（x）>0,故f（x）是（0,+∞）上的增函数;同理,f（x）是（-∞,0）上的减函数.

f（0）=-3<0,f

（1）=e-4<0,f

（2）=e2-2>0,当x>2,f（x）>0,

故当x>0时,函数f（x）的零点在（1,2）内,∴k=1满足条件;

f（0）=-3<0,f（-1）=

-2<0,f（-2）=

+2>0,当x<-2,f（x）>0,

故当x<0时,函数f（x）的零点在（-2,-1）内,∴k=-2满足条件.

综上所述,k=1或-2.……………………………………（8分）

（3）f（x）=ax+x2-xlna-b,因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1

所以当x∈[-1,1]时,|f（x）max-f（x）min|=f（x）max-f（x）min≥e-1,

f′（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna

①当x>0时,由a>1,可知ax-1>0,lna>0,∴f′（x）>0;

②当x<0时,由a>1,可知ax-1<0,lna>0,∴f′（x）<0;

③当x=0时,f′（x）=0.

∴f（x）在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增,

∴当x∈[-1,1]时,f（x）min=f（0）=1-b,f（x）max=max{f（-1）,f

（1）},

而f

（1）-f（-1）=（a+1-lna-b）-（

+1+lna-b）=a-

-2lna,

设g（t）=t-

-2lnt（t>0）,因为g′（t）=1+

-

≥0（当t=1时取等号）

∴g（t）=t-

-2lnt在t∈（0,+∞）上单调递增,而g

（1）=0,

∴当t>1时,g（t）>0,∴当a>1时a-

-2lna,,∴f

（1）>f（-1）,

∴f

（1）-f（0）≥e-1,∴a-lna≥e-1,即a-lna≥e-lne,

设h（a）=a-lna（a>1）,则h′（a）=1-

>0.

∴函数h（a）=a-lna（a>1）在（1,+∞）上为增函数,∴a≥e.

即a的取值范围是[e,+∞）……………………………（12分）