机械能守恒定律学生.docx

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机械能守恒定律学生

功和功率

一、功

1.功的概念

一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，这个力就对物体做了功。

2.功的两个不可缺少的要素

一是要有作用在物体上的力的作用，二是物体必须在力的方向上有位移。

重力、弹力与物体的位移都垂直，这两个力都不对物体做功。

3.功的定义公式

式中力F的单位是N；位移S的单位是m，定义的功的单位是焦耳（J）。

4.功的正负

功是标量，但是功有正负之分。

（1）当功的定义式中

时，

，W为正值，即力对物体做正功，力是物体运动的动力，使物体的能量增加。

（2）当功的定义式中

，

，W=0，表示力对物体不做功，力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用，力没有使物体的能量发生变化。

（3）当功的定义式中

时，

，W为负值，力对物体做负功（或者说物体克服阻力做功），力是物体运动的阻力，使物体的能量减少。

功的正负既不表示大小，也不表示方向，只表示动力做功还是阻力做功。

比较力对物体做功多少时，只看功的大小，不管功的符号。

5.合力功的求法

一个物体同时受到几个力的作用，发生位移时，合外力做的功可以由两种方法求得

（1）由于功是标量，可以分别求出物体受到的各个分离对物体做的功，然后取代数和，即W=W1+W2+W3+W4+……

（2）也可以根据平行四边形定则，先求物体受到的合外力，然后再求合外力对物体做的功。

6.需要说明的几个问题

（1）摩擦力对物体做功的特点

摩擦力的方向即可以与物体运动的方向相同，也可以相反，还可以垂直，即摩擦力对物体既可以做正功，也可以做负功，还可以做零功。

（2）什么情况下力对物体不做功？

判断作用在物体上的力对物体是否做功，应抓住两点：

一是这个物体是否发生了位移；二是位移是不是沿力的方向或在力的方向上有没有分量。

因此，力对物体不做功可能有两种情况：

一是位移等于零；二是位移（或速度）与力的方向垂直。

（3）如何比较力对物体做功的大小

功是标量，只有大小，没有方向，但是功有正负。

负功既不表示与正功的方向相反，也不表示它的大小比正功小。

那么，我们在比较物体做功的多少时，只需要比较功的数值大小，不考虑符号。

二、功率

1.功率

（1）定义：

功W跟完成这些功所用时间t的比值，叫做功率。

（2）公式：

（3）功率是一个标量，只有大小而无方向，其单位为瓦特（W），

。

（4）这个表达式是功的定义式，适用于任何情况下功率的计算。

但是，在中学阶段，我们应用该式分析问题时，一般解决一段时间内的平均功率。

2.瞬时功率和机车功率

把功的定义式

代入功率的定义式可得

，则功率的计算式

常用于计算物体的瞬时功率。

（1）在物体做匀速运动时，

计算得功率与

计算得的功率相同，即平均功率与瞬时功率相同。

（2）计算瞬时功率时，式

中的速度v应该物体的瞬时速度，若式中的速度v为平均功率，该式也可以计算平均功率。

（3）在利用公式

计算功率时，速度v应该是物体在力的方向上的分量，如果力F与速度v之间的夹角为α，则计算公式为

。

（4）机车功率的计算公式也为

，但是F指的是机车的牵引力而不是机车受到的合外力。

3.额定功率与实际功率

额定功率是发动机正常工作时的最大功率，通常都在铭牌上标明。

机器工作时，必须受额定功率的限制，这是基本原则。

发动机的输出功率（即实际功率），可以小于额定功率，在某些情况下，实际功率也可以大于额定功率，但不允许长时间超过额定功率。

4.机动车的起动问题

（1）机车以额定功率起动

机车以恒定功率起动后，若运动过程受到的阻力f不变，由于牵引力

，随着机车速度v增大，F不

断减小。

根据牛顿第二定律

知，当速度v增大时，加速度a减小，其运动情况是做加速度不断减小的加速运动。

直到

时，a减小到零，此后速度不再增大，机车将保持最大速度

做匀速直线运动，其v-t图像如图所示。

（2）机车以恒定的加速度起动

由牛顿第二定律

知，当机车的加速度a保持不变时，发动机牵引力F恒定，再由

知，F一定，发动机的实际输出功率P随v的增大而增大，直到输出功率达到额定功率P0。

需要注意的是，当发动机的功率达到额定功率的瞬间，机车的加速度仍为a，此时的牵引力仍为

。

此后，机车的输出功率不再变化，所以机车将做加速度逐渐减小的加速运动，直到加速度减为零，速度达到

为止。

所以，机车以恒定的加速度a起动时，其匀加速能够达到最大速度为

，保持加速度不变的时间为

，其v-t图像如图所示.

题型讲解

1.功

【例1】小物块位于光滑斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，如图所示，从地面上看，在小物体沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力：

A.垂直于接触面，做功为零B.垂直于接触面，做功不为零。

C.不垂直于接触面，做功为零D.不垂直于接触面，做功不为零。

【例2】如图所示，质量为m的物体沿倾角为

的粗糙斜面

下滑了一段距离S，物体与斜面间的动摩擦因数为

，试求

物体所受各力在下滑过程中对物体所做的功，及这些力所做

的总功。

【例3】如图所示，在恒力F的作用下，物体通过的位移为S，则力F做的功为

【例4】如图所示，质量为m的物体，静止在倾角为α的粗糙的斜面体上，当两者一起向右匀速直线运动，位移为S时，斜面对物体m的弹力做的功是多少？

物体m所受重力做的功是多少？

摩擦力做功多少？

斜面对物体m做功多少？

【例5】如图所示，把A、B两球由图示位置同时由静止释放（绳开始时拉直），则在两球向左下摆动时．下列说法正确的是

A、绳子OA对A球做正功

B、绳子AB对B球不做功

C、绳子AB对A球做负功

D、绳子AB对B球做正功

2.功率

【例1】人的心脏每跳一次大约输送

的血液，正常人血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值约为

，心跳约每分钟70次，据此估测心脏工作的平均功率。

【例2】如图所示，在自动扶梯以恒定的速度v运转时，第一次有一个人

站在扶梯上相对扶梯静止不动，扶梯载他上楼的过程中对他做功W1，电机带动扶梯做功的功率为P1，第二次这个人在运动的扶梯上又以相对扶梯的速度

同时匀速向上走，则这次扶梯对该人做功为W2，电机带动扶梯做功的功率为P2，以下说法中正确的是：

A.W1>W2，P1>P2B.W1>W2，P1=P2

C.W1=W2，P1>P2D.W1=W2，P1=P2

【例3】如图所示，质量为m的物体沿高为h的光滑斜面滑下到达底端时重力的即时功率为多少？

【例4】一个小孩站在船头，按应当为图5—15两种情况用同样大小力拉绳，经过相同的时间t（船未碰撞），小孩所做的功W1、W2及在时间t内小孩拉绳的功率P1、P2的关系为（）

A．W1＞W2，P1=P2B．W1＝W2，P1＝P2

C．W1＜W2，P1＜P2D．W1＜W2，P1=P2

两种功率

【例5】长为L的细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，开始时，细线被拉直，并处于水平位置，球处在0点等高的A位置，如图所示，现将球由静止释放，它由A运动到最低点B的过程中，重力的瞬时功率变化的情况是（）

A.一直在增大B.一直在减小C.先增大后减小D.先减小后增大

3.机车问题

【例1】电动机通过一绳子吊起质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90m（已知此物体在被吊高接近90m时，已开始以最大速度匀速上升）所需时间为多少？

【例2】质量为lkg的机械与平面间摩擦力f=2N，其额定功率为12W，要使它以a＝lm／s2的加速度做匀加速直线运动，问做这种运动的最长时间为多少？

【例3】一辆汽车在平直的公路上以速度v0开始加速行驶，经过一段时间t，前进了距离s，此时恰好达到其最大速度Vm.设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽车所受的阻力恒定为F，则在这段时间里，发动机所做的功为（）

A、Fvmt；B、Pt；C、½mvm2＋Fs－½mv02；D、

；

【例4】质量为m=4000kg的卡车，额定输出功率为P=60kW。

当它从静止出发沿坡路前进时，每行驶100m，升高5m，所受阻力大小为车重的0.1倍，取g=10m/s2.

试求：

（1）卡车能否保持牵引力为8000N不变在坡路上行驶？

（2）卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多大？

这时牵引力为多大？

（3）如果卡车用4000N牵引力以12m/s的初速度上坡，到达坡顶时，速度为4m/s,那么卡车在这一段路程中的最大功率为多少？

平均功率是多少？

动能定理

一、动能定理

1.动能定理的内容：

合外力对物体做的总功等于物体动能的改变量。

2.动能定理的物理意义：

定理提出了做功与物体动能改变量之间的定量关系。

3.动能定理的表达式：

4.应用动能定理解题步骤：

（1）确定研究对象和研究过程。

（2）分析物理过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，画受力示意图，及过程状态草图，明确各力做功情况，即是否做功，是正功还是负功。

（3）找出研究过程中物体的初、末状态的动能（或动能的变化量）

（4）根据动能定理建立方程，代入数据求解，对结果进行分析、说明或讨论。

5.应用解题注意的问题：

（1）我们学习的是质点的动能定理，研究对象一般是单个物体。

（2）公式的左边W表示研究过程中合外力对物体做的功，或研究过程中物体所受各外力做功的代数和；W>0表示合外力是动力对物体做正功，物体的动能是增加的;W<0表示合外力为阻力对物体做负功，物体的动能是减少的。

公式的右边是物体在研究过程中动能的增量，即末态动能与初态动能的差。

公式是标量式。

（3）动能定理虽然是在恒力作用、物体做匀加速直线运动下推导出来的，但对外力是变力，物体做曲线运动时，动能定理同样适用，此时式中的W为变力所做的功。

（4）变力功无法从功的定义式求得，可由动能定理求出。

就象由冲量的定义式无法求出变力的冲量只能由动量定理求出一样。

（5）若物体运动的过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以将全过程视为下一个整体来处理。

（6）动能定理对应的是下一个过程，并且它只涉及到物体的初、末状态的动能的整个过程中合外力做的功，它不涉及物体运动过程中的加速度、时间以及中间状态的速度和动能，因此用它处理问题时比较方便。

题型讲解

1.恒力作用下的动能定理

【例1】物体从高出地面H处由静止开始自由下落，不考虑空气阻力，落至地面的沙坑h深处停止，如图所示.求物体在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？

2.变力做功情况下动能定理的应用

【例2】如图所示，质量为m的小物体静止于长为l的木板边缘.现使板由水平放置绕其另一端O沿逆时针方向缓缓转过α角，转动过程中，小物体相对板始终静止，求板对物体的支持力对物体做的功.

3.多物体多过程情况下动能定理的应用

【例3】质量为M的机车，牵引着质量为m的车厢在水平轨道上匀速直线前进，某时刻两者脱钩，机车行驶L的路程后，司机发现车厢脱钩，便立刻关闭发动机让机车自然滑行，已知机车和车厢在运动中受阻力都是其重力的k倍，机车的牵引力始终保持不变.试求机车、车厢都停止时，两者之间距离是多大？

机械能守恒定律、能量守恒

一、机械能守恒

1.机械能

动能和势能统称机械能，即E=EK＋EP。

2.机械能守恒定律

（1）机械能能守恒定律的内容：

在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变，这就是机械能守恒定律的内容。

（2）机械能守恒定律的表达式

如果物体除受重力和弹力作用外，不受其他外力的作用，若用

和

分别表示物体的初动能和末动能，

表示重力所做的功，由动能定理有

根据重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，则有

故有

移项得

等号左侧为物体在初位的机械能，等号右侧为末位置的机械能，上式就是机械能守恒定律的表达式。

在实际应用中上式一般写为

，列式时要选择势能零势面，并且速度

应该是物体得对地速度。

（3）机械能守恒定律的条件

选定的物体系内，只有重力（或弹力）做功，其他力对物体不做功。

除重力、弹力以外的其它力对物体做功，但是做的总功为零。

3.机械能守恒定律与动能定理的比较

机械能守恒定律和动能定理是力学中的两条重要的规律

机械能守恒定律是有条件的，就是只允许重力和弹力做功，而动能定理的成立是没有条件限制的，它不但允许重力做功，还允许其他力做功，这是它们的不同点之一。

在守恒条件得到满足时，机械能守恒定律适用的场合，动能定理也照样适用。

6.应用机械能守恒定律解题的步骤

（1）根据题意选取研究对象（物体或物体系）

（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。

（3）恰当的选取零势面，确定研究对象在研究过程的初末态的机械能。

（4）根据机械能守恒定律列方程

（5）求解验证

二、能量守恒

能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式的能转化为另一种形式的能，或者从一个物体转移到另一个物体，能的总量保持不变。

1.应用能量守恒定律的两条思路：

（1）某种形式的能的减少量，一定等于其他形式能的增加量．

（2）某物体能量的减少量，一定等于其他物体能量的增加量．

2.摩擦力做功的过程能量转化的情况

（1）静摩擦力做功的特点

①静摩擦力可以做正功，也可以做负功还可能不做功．

②在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体（静摩擦力起着传送机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能量．

③相互摩擦的系统，一对静摩擦力所做功的代数和总等于零．

（2）滑动摩擦力做功的特点：

①滑动摩擦力可以做正功，也可以对物体做负功，还可以不做功（如相对运动的两物体之一对地面静止，则滑动摩擦力对该物不做功）．

②在相互摩擦的物体系统中，一对相互作用的滑动摩擦力，对物体系统所做总功的多少与路径有关，其值是负值，等于摩擦力与相对路程的积，即Wf=f滑·S相对

表示物体系统损失机械能克服了摩擦力做功，ΔE损=f滑·S相对=Q（摩擦生热）．

③一对滑动摩擦力做功的过程，能量的转化和转移的情况：

一是相互摩擦的物体通过摩擦力做功将部分机械能转移另一个物体上，二是部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量．

3.用能量守恒定律解题的步骤

（1）确定研究的对象和范围，分析在研究的过程中有多少种不同形式的能（包括动能、势能、内能、电能等）发生变化．

（2）找出减少的能并求总的减少量ΔE减，找出增加的能并求总的增加量ΔE增

（3）由能量守恒列式，ΔE减=ΔE增。

（4）代入已知条件求解．

题型讲解

1.重力势能与弹性势能

【例】如图所示，劲度系数为

的轻质弹簧分别与质量为

、

的物块1、2拴接，劲度系数为

的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上，整个系统处于平衡，试计算此时弹簧

、

中储存的弹性势能分别为多大？

2.机械能守恒

【例1】对一个系统，下面说法正确的是（）

A．受到合外力为零时，系统机械能守恒

B．系统受到除重力弹力以外的力做功为零时，系统的机械能守恒

C．只有系统内部的重力弹力做功时，系统的机械能守恒

D．除重力弹力以外的力只要对系统作用，则系统的机械能就不守恒

【例2】如图所示，一个光滑的水平轨道AB与光滑的圆轨道BCD连接，其中图轨道在竖直平面内，半径为R，B为最低点，D为最高点．一个质量为m的小球以初速度v0沿AB运动，刚好能通过最高点D，则（）

A．小球质量越大，所需初速度v0越大

B．圆轨道半径越大，所需初速度v0越大

C．初速度v0与小球质量m、轨道半径R无关

D。

小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度v0

【例3】如图所示，在光滑的水平面上放一质量为M＝96．4kg的木箱，用细绳跨过定滑轮O与一质量为m=10kg的重物相连，已知木箱到定滑轮的绳长AO＝8m，OA绳与水平方向成300角，重物距地面高度h=3m，开始时让它们处于静止状态．不计绳的质量及一切摩擦，g取10m／s2，将重物无初速度释放，当它落地的瞬间木箱的速度多大？

【例4】如图5—69所示，长为l不可伸长的细绳一端系于O点，一端系一质量为m的物体，物体自与水平夹角300（绳拉直）由静止释放，问物体到达O点正下方处的动能是多少？

5.能量守恒

【例1】如图所示装置，木块B与水平面的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在子弹射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中（）

A．动量守恒、机械能守恒B．动量不守恒，机械能不守恒

C．动量守恒、机械能不守恒D．动量不守恒、机械能守恒

【例2】两个完全相同的质量均为m的沿块A和B，放在光滑水平面上，滑块A与轻弹簧相连，弹簧另一端固定在墙上，当滑块B以v0的初速度向滑块A运动时，如图所示，碰A后不再分开，下述正确的是（）

A．弹簧最大弹性势能为½mv02B．弹簧最大弹性势能为¼mv02

C．两滑块相碰以及以后一起运动系统机械能守恒

D．两滑块相碰以及以后一起运动中，系统动量守恒

【例3】如图所示，一个光滑的水平轨道AB与光滑的圆轨道BCD连接，其中图轨道在竖直平面内，半径为R，B为最低点，D为最高点．一个质量为m的小球以初速度v0沿AB运动，刚好能通过最高点D，则（）

A．小球质量越大，所需初速度v0越大

B．圆轨道半径越大，所需初速度v0越大

C．初速度v0与小球质量m、轨道半径R无关

D。

小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度v0

【例4】图中，容器A、B各有一个可自由移动的轻活塞，活塞下面是水，上面是大气．大气压恒定，A、B的底部由带有阀门K的管道相连，整个装置与外界绝热，原先，A中水面比B中高，打开阀门，使A中的水逐渐向B中流，最后达到平衡，在这个过程中．（）

A．大气压力对水做功，水的内能增加

B．水克服大气压力做功，水的内能减少

C．大气压力对水做功，水的内能不变

D．大气压力对水不做功，水的内能增加

【例5】如图,斜面与半径R=2.5m的竖直半圆组成光滑轨道,一个小球从A点斜向上抛,并在半圆最高点D水平进入轨道,然后沿斜面向上,最大高度达到h=10m,求小球抛出的速度和位置.

【例6】如图1所示．一根长L的细绳，固定在O点，绳另一端系一条质量为m的小球．起初将小球拉至水平于A点．求

（1）小球从A点由静止释放后到达最低点C时的速度．

（2）小球摆到最低点时细绳的拉力。

【例7】在上例中，将小球自水平向下移，使细绳与水平方向成θ=300角，如图2所示．求小球从A点由静止释放后到达最低点C时细绳的拉力．

【例8】如图，长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，另一端固定在O点，在O点的正下方某处P点有一钉子，把线拉成水平，由静止释放小球，使线碰到钉子后恰能在竖直面内做圆周运动，求P点的位置

【例9】如图5—69所示，长为l不可伸长的细绳一端系于O点，一端系一质量为m的物体，物体自与水平夹角300（绳拉直）由静止释放，问物体到达O点正下方处的动能是多少？

【例10】如图所示，在一根长为L的轻杆上的B点和末端C各固定一个质量为m的小球，杆可以在竖直面上绕定点A转动，BC=L/3,现将杆拉到水平位置从静止释放，求末端小球C摆到最低点时速度的大小和这一过程中BC端对C球所做的功。

（杆的质量和摩擦不计）