中考数学复习反比例函数.docx

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中考数学复习反比例函数

中考数学复习：

反比例函数

第十七反比例函数

本小结

小结1本概述

本的主要内容是反比例函数的概念和图象，确定反比例函数的解析式通过本的学习掌握相关的知识，同时养成数形结合的思考形式和思考方法，代数式、方程、函数、图形、直角坐标系结合起进行思考，互相解释、互相补充，对于整个中学数学的学习，愈往后，愈显出其重要性，通过本的学习，要为数形结合能力打下良好的基础培养学生的应用意识．

小结2本学习重难点

【本重点】本的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通

【本难点】本的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更多的精力．

知识网络结构图

专题总结及应用

专题1反比例函数的概念

【专题解读】函数（≠0）叫做反比例函数，也可以写成x=（≠0）或=x-1（≠0）,它的自变量的取值范围是x≠0的所有实数，因为反比例函数（≠0）只有一个常数，所以求反比例函数表达式也就是求，要注意两点：

（1）（≠0）；若写成=x-1是，x的指数是-1

例1判断下列各式是否表示是x的反比例函数，若是，指出比例系数的值；若不是，指出是什么函数

（1）

（2）

（3）（4）

（）

分析判断是否是x的反比例函数，关键是根据的比例函数的定义，观察两个变量x，之间能否写成（为常数，≠0）的形式

解：

（1）是反比例函数，=-8

（2）可写成是反比例函数，

（3）不是反比例函数，是一次函数

（4）不是反比例函数，是正比例函数

（）可写成是反比例函数

例2根据题意列出函数关系式，并判断是什么函数

（1）面积为常数的长方形的长与宽x之间的关系；

（2）一本00页的书，每天看1页，x天后尚未看完的页数与天数x之间的关系

解：

（1）（是常数，x＞0）,是反比例函数

（2）=00-1x，是一次函数

【解题策略】解答此题首先要熟练掌握一次函数与反比例函数的定义

专题2反比例函数图象的位置与系数的关系

【专题解读】反比例函数的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数的关系有如下两种情况：

（1）双曲线的两个分支在第一、三象限在第一象限内，随x的增大而减小

（2）双曲线的两个分支在第二、四象限在第一象限内，随x的增大而增大

例3函数与在同一坐标系中的图象可能是（如图17-36所示）

分析分两种情况考虑a的正负情况：

①当a＞0时，函数的图象在第一、二、四象限，函数的图象在第二、四象限，因此A项正确

②当a＜0时，函数的图象在第一、三、四象限，函数的图象在第一、三象限，四个选项中没有适合的

答案：

A

【解题策略】解答本题也可以从选项出发考虑a的情况例如A项，由函数的可判断a＞0，由函数的图象可判断a＞0，由此可判断A项正确,再例如B项，由函数的增减性质可判断-a＜0，即a＞0，但由函数的图象与轴的交点位置可判断a＜0，与前面得到的a＞0相矛盾，故B不正确，类似地，也可判断，D两个选项不正确

专题3反反函数的图象

【专题解读】如图17-37所示，若点A（x，）为反比例函数图象上的任意一点，过A作AB⊥x轴于B，作A⊥轴于，则S△AB=S△A=S矩形AB=

例4如图17-38所示，点P是x轴正半轴上的一个动点，过P作x轴的垂线交双曲线于点Q，连续Q，当点P沿x轴正方向运动时，Rt△QP的面积（）

A．逐渐增大B．逐渐减小

．保持不变D．无法确定

分析过Q作QA⊥轴，交轴于点A，则S△PQ=S矩形APQ=所以S△PQ是一个定值，即保持不变

答案：

【解题策略】掌握比例系数的几何意义，即||=S矩形APQ=2S△PQ是这类问题的解题关键

例如图17-39所示，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则

分析由题意及图象可知，三个长方形的长都为1，设

代入可求得答案：

专题4反比例函数与一次函数的综合应用

【专题解读】主要考查反比例函数与一次函数的概念、图象、性质，以及用待定系烽法求出函数解析式，已知函数图象确定比例系数或变化范围等知识

例6已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是（-3，4），且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为，分别确定反比例函数和一次函数的表达式

分析因为点（-3，4）是反比例函数和一次函数的图象的一个交点，所以把（-3，4）代入中即可求出反比例函数的表达式欲求一次函数的表达式，有两个待定未知数，n，书籍一个眯（-3，4），只需再求一个一次函数图象上的点即可由2由一次函数图象与x轴的交点到的点的距离是，则这个交点坐标为（-，0）或（，0）分类讨论即可求得一次函数的解析式

解：

因为函数的图象经过点（-3，4），

所以所以=-12

所以反比例函数的表达式是

由题意可知，一次函数的图象与x轴的交点坐标为（，0）或（-，0），则分两种尾部讨论：

当直线经过点（-3，4）和（，0）时，

有解得

所以

当直线经过点（-3，4）和（-，0）时，

有解得

所以

所以所求反比例函数的表达式为一次函数的表达式为或

例7已知反比例函数的图象经过点A（-2，3）

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）经过点A的正比例函数的图象与反比例函数的图象还有其他交点吗？

若有，求出交点坐标；若没有，说明理由

分析

（1）利用点A（-2，3）求出反比例函数的表达式

（2）利用点A（-2，3）求出正比例函数的表达式，由两个函数关系式组成方程组，即可求出两图象的交点坐标，从而得到两个函数图象的另一个交点坐标

解：

（1）因为点A（-2，3）在反比例函数上

所以所以=-6,

所以反比例函数的表达式为

（2）有，理由如下：

因为正比例函数的图象经过点A（-2，3），

所以，所以

所以正比例函数的表达式为

则解得或

所以正比例函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点坐标为（2，-3）

例8已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标是3，点B的纵坐标是-3

（1）求一次函数的表达式；

（2）当一次函数值小于0时，求x的取值范围

分析

（1）首先由A，B两点在反比例函数图象上可求出A，B两点坐标，再用待定系数法求出，b，进而得到一次函数的解析式

（2）令的值＜0，求出x的取值范围

解：

因为A，B两点为两函数图象的交点，

所以点A，B在反比例函数的图象上

当x=3时，当=-3时，所以x=-2

所以A（3，2），B（-2，-3）

把A（3，2），B（-2，-3）代入中，

得解得

所以一次函数的表达式是=x-1

（2）令＜0得x=1＜0，所以x＜1

所以当函数值小于0时，x的取值范围是x＜1

专题反比例函数的实际应用

例9由物理学知识知道，在力F（N）的作用下，物体会在力F的方向发生位移s（），力F所做的功（）满足当为定值时，F与s之间的函数图象如图17-42所示

（1）力F所做的功是多少？

（2）试确定F与s之间的函数表达式；

（3）当F=4N时，s是多少？

解：

（1）因为

把（2，7）代入得=72×=1（）

（2）

（3）当F=4N时，

【解题策略】利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用的一种，在解决有关函数问题时起着重要的作用

2011中考真题精选

一、选择题

1如果反比例函数（是常数，≠0）的图象经过点（-1，2），那么这个函数的解析式是=-．

考点：

待定系数法求反比例函数解析式．

专题：

待定系数法．

分析：

根据图象过（-1，2）可知，此点满足关系式，能使关系时左右两边相等．

解答：

解：

把（-1，2）代入反比例函数关系式得：

=-2，

∴=-，

故答案为：

=-，

点评：

此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．

2（2011江苏扬州，6，3分）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（）

A（-3,2）B（3,2）（2，3）D（6,1）

考点：

反比例函数图象上点的坐标特征。

专题：

函数思想。

分析：

只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是（﹣1）×6=﹣6的，就在此函数图象上．

解答：

解：

∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，

∴此函数的比例系数是：

（﹣1）×6=﹣6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是﹣6的，就是符合题意的选项；A、（﹣3）×2=6，故本选项正确；B、3×2=6，故本选项错误；、2×3=6，故本选项错误；D、6×1=6，故本选项错误；

故选A．

点评：

本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．

3（2011重庆江津区，6，4分）已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△AB的面积是3，则的值是（　　）A、3B、﹣3、6D、﹣6

考点：

反比例函数系数的几何意义。

分析：

过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝||．

解答：

解：

根据题意可知：

S△AB＝||＝3，

又反比例函数的图象位于第一象限，＞0，

则＝6．

故选．

点评：

本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、轴垂线，所得三角形面积为||，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．

4（2010•吉林）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（　　）A、﹣1B、

、1D、2

考点：

反比例函数的图象。

分析：

根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断．

解答：

解：

∵反比例函数在第一象限，

∴＞0，

∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，

∴＜1，

故选B．

点评：

用到的知识点为：

反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．

（2011辽宁阜新,6,3分）反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接A、B，则△AB的面积为（　　）AB23D1

考点：

反比例函数系数的几何意义。

专题：

探究型。

分析：

分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作B⊥轴，点为垂足，再根据反比例函数系数的几何意义分别求出四边形EA、△AE、△B的面积，进而可得出结论．

解答：

解：

分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作B⊥轴，点为垂足，

∵由反比例函数系数的几何意义可知，S四边形EA=6，S△AE=3，S△B=，

∴S△AB=S四边形EA﹣S△AE﹣S△B=6﹣3﹣=．

故选A．点评：

本题考查的是反比例函数系数的几何意义，即在反比例函数=图象中任取一点，过这一个点向x轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值||；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．

6（2011福建省漳州市，9,3分）如图，P（x，）是反比例函数=的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥轴于点B，随着自变量x的增大，矩形APB的面积（　　）A、不变B、增大

、减小D、无法确定

考点：

反比例函数系数的几何意义。

专题：

计算题。

分析：

因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=||，所以随着x的逐渐增大，矩形APB的面积将不变．

解答：

解：

依题意有矩形APB的面积=2×||=3，所以随着x的逐渐增大，矩形APB的面积将不变．

故选A．

点评：

本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、轴垂线，所得矩形面积为||，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=||．

7（2011•玉林，11，3分）如图，是反比例函数=和=（1＜2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AB=2，则2﹣1的值是（　　）A、1B、2、4D、8

考点：

反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积。

专题：

计算题。

分析：

设A（a，b），B（，d），代入双曲线得到1=ab，2=d，根据三角形的面积公式求出d﹣ab=4，即可得出答案．

解答：

解：

设A（a，b），B（，d），

代入得：

1=ab，2=d，

∵S△AB=2，

∴d﹣ab=2，

∴d﹣ab=4，

∴2﹣1=4，

故选．

点评：

本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出d﹣ab=4是解此题的关键．

8（2011•铜仁地区8,3分）反比例函数=（＜0）的大致图象是（　　）

A、B、、D、

考点：

反比例函数的图象。

专题：

图表型。

分析：

根据反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．

解答：

解：

当＜0时，反比例函数=的图象在二、四象限．

故选B．

点评：

本题主要考查了反比例函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．

9（2011广西防城港11，3分）如图，是反比例函数＝和＝（1＜2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AB＝2，则2－1的值是（　　）A．1B．2．4D．8

考点：

反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积

专题：

反比例函数

分析：

设A（a，b），B（，d），代入双曲线得到1＝ab，2＝d，根据三角形的面积公式求出d－ab＝4，即可得出答案，也就是d－ab＝2，从而2－1＝4，故选．

解答：

点评：

本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出d－ab＝4是解此题的关键．

二、填空题

1（2011•湖南张家界，13，3）如图，点P是反比例函数图象上的一点，则矩形PEF的面积是　．考点：

反比例函数系数的几何意义。

专题：

计算题。

分析：

因为过双曲线上任意一点引x轴、轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=||，再根据反比例函数的图象所在的象限确定的值

解答：

解：

∵点P是反比例函数图象上的一点，

∴S=||=6．

故答案为：

6．

点评：

本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、轴垂线，所得矩形面积为||，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．

2已知反比例函数=的图象经过点（3，-4），则这个函数的解析式为

=-．

考点：

待定系数法求反比例函数解析式．

分析：

根据待定系数法，把点（3，-4）代入=中，即可得到的值，也就得到了答案．

解答：

解：

∵图象经过点（3，-4），

∴=x=3×（-4）=-12，

∴这个函数的解析式为：

=-．

故答案为：

=-．

点评：

此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点，此题比较简单，1（2011云南保，14，3分）如图，已知A=6，∠AB=30°，则经过点A的反比例函数的解析式为（）

A．B．．D．

分析：

首先根据直角三角形的性质求出A=3，再根据勾股定理求出的长，从而得到A点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式．

解答：

解：

∵∠AB=30°，

∴，

∵A=6，

∴A=3，

在Rt△A中，

2=A2﹣A2，

∴，

∴A点坐标是：

，

设反比例函数解析式为，

∵反比例函数的图象经过点A，

∴，

∴反比例函数解析式为．

故选B．

点评：

此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，以及待定系数法求反比例函数解析式，做题的关键是根据勾股定理求出A点的坐标．

一、选择题

1（2011江苏淮安，8，3分）如图，反比例函数的图象经过点A（-1,-2）则当x＞1时，函数值的取值范围是（）

A＞1B0＜＜1＞2D0＜＜2考点：

反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征。

专题：

数形结合。

分析：

先根据反比例函数的图象过点A（﹣1，﹣2），利用数形结合求出x＜﹣1时的取值范围，再由反比例函数的图象关于原点对称的特点即可求出答案．

解答：

解：

∵反比例函数的图象过点A（﹣1，﹣2），

∴由函数图象可知，x＜﹣1时，﹣2＜＜0，

∴当x＞1时，0＜＜2．

故选D．

点评：

本题考查的是反比例函数的性质及其图象，能利用数形结合求出x＜﹣1时的取值范围是解答此题的关键．

2（2011江苏连云港，4，3分）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（）

A．必经过点（1，1）B．两个分支分布在第二、四象限

．两个分支关于x轴成轴对称D．两个分支关于原点成中心对称

考点：

反比例函数的性质；轴对称图形；中心对称图形。

专题：

推理填空题。

分析：

把（1，1）代入得到左边≠右边；=4＞0，图象在第一、三象限；根据轴对称的定义沿X轴对折不重合；根据中心对称的定义得到两曲线关于原点对称；根据以上结论判断即可．

解答：

解：

A、把（1，1）代入得：

左边≠右边，故本选项错误；B、=4＞0，图象在第一、三象限，故本选项错误；、沿X轴对折不重合，故本选项错误；D、两曲线关于原点对称，故本选项正确；

故选D．

点评：

本题主要考查对反比例函数的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和掌握，能根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．

3（2011盐城，6，3分）对于反比例函数=，下列说法正确的是（　　）

A图象经过点（1，﹣1）B图象位于第二、四象限

图象是中心对称图形D当x＜0时，随x的增大而增大

考点：

反比例函数的性质

专题：

探究型

分析：

根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．

解答：

解：

A、∵1×（﹣1）=﹣1≠1，∴点（1，﹣1）不在反比例函数=的图象上，故本选项错误；B、∵=1＞0，∴反比例函数=的图象在一、三象限，故本选项错误；、∵函数=是反比例函数，∴此函数的图象是中心对称图形，故本选项正确；D、∵=1＞0，∴此函数在每一象限内随x的增大而减小，故本选项错误．故选．

点评：

本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键，即反比例函数的性质：

（1）反比例函数=（≠0）的图象是双曲线；

（2）当＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随x的增大而减小；

（3）当＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随x的增大而增大．

4（2011x疆建设兵团，7，分）如图，l1是反比例函数＝x在第一象限内的图象，且经过点A（1，2）．l1关于x轴对称的图象为l2，那么l2的函数表达式为（　　）A、＝2x（x＜0）B、＝2x（x＞0）、＝﹣2x（x＜0）D、＝﹣2x（x＞0）

考点：

反比例函数的性质．

分析：

因为l1关于x轴对称的图象为l2，因此可知道A关于x轴的对称点A′在l2的函数图象上，从而可求出解析式．

解答：

解：

A（1，2）关于x轴的对称点为（1，﹣2）．

所以l2的解析式为：

＝﹣2x，

因为l1是反比例函数＝x在第一象限内的图象，

所以x＞0．

故选D．

点评：

本题考查反比例函数的性质，知道一点可以确定函数式，因此根据对称找到反比例函数上的点，从而求出解．

（2011湖北咸宁，，3分）直角三角形两直角边的长分别为x，，它的面积为3，则与x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）

A、B、、D、

考点：

反比例函数的应用；反比例函数的图象。

专题：

图表型。

分析：

根据题意有：

x=3；故与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x实际意义x、应大于0，其图象在第一象限；故可判断答案为．

解答：

解：

∵x=3，

∴=（x＞0，＞0）．

故选．

点评：

本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．

6（2010•吉林）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（　　）A、﹣1B、

、1D、2

考点：

反比例函数的图象。

分析：

根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断．

解答：

解：

∵反比例函数在第一象限，

∴＞0，

∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，

∴＜1，

故选B．

点评：

用到的知识点为：

反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．

7（2011江苏淮安，8，3分）如图，反比例函数的图象经过点A（-1,-2）则当x＞1时，函数值的取值范围是（）

A＞1B0＜＜1＞2D0＜＜2考点：

反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征。

专题：

数形结合。

分析：

先根据反比例函数的图象过点A（﹣1，﹣2），利用数形结合求出x＜﹣1时的取值范围，再由反比例函数的图象关于原点对称的特点即可求出答案．

解答：

解：

∵反比例函数的图象过点A（﹣1，﹣2），

∴由函数图象可知，x＜﹣1时，﹣2＜＜0，

∴当x＞1时，0＜＜2．

故选D．

点评：

本题考查的是反比例函数的性质及其图象，能利用数形结合求出x＜﹣1时的取值范围是解答此题的关键．

8（2011年东省威海市，，3分）下列各点中，在函数图象上的是（　　）

A、（–2，–4）B、（2，3）、（–6，1）D、（–，3）

考点：

反比例函数图象上点的坐标特征．

专题：

计算题．

分析：

根据函数，得到–6=x，只要把点的坐标代入上式成立即可．

解答：

解：

∵函数，

∴–6=x，

只要把点的坐标代入上式成立即可，

把答案A、B、D的坐标代入都不成立，只有成立．

故选．

点评：

本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键．

9（2011•南充，7，3分，）小明乘车从南充到成都，行车的平均速度v（/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（　　）

A、B、

、D、

考点：

反比例函数的应用；反比例函数的图象。

专题：

数形结合。

分析：

根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条下，得v=，则v是t的反比例函数，且t＞0．

解答：

解：

∵v=（t＞0），

∴v是t的反比例函数，

故选B．

点评：

本题是一道反比例函数的实际应用题，注：

在路程不变的条下，v是t的反比例函数．

10（2011辽宁沈阳，4，3）下列各点中，在反比例函数图象上的是（　　）

A、（－1，8）B、（－2，4）、（1，7）D、（2，4）

考点：

反比例函数图象上点的坐标特征。

专题：

计算题。

分析：

由于反比例函数＝中，＝x，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案．

解答：

解：

A、∵－1×8＝－8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；

B