全国高考重庆卷数理试题.docx

全国高考重庆卷数理试题.docx

《全国高考重庆卷数理试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高考重庆卷数理试题.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

全国高考重庆卷数理试题

2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）

本试卷满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷

考生注意：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．

参考公式：

如果事件互斥，那么

如果事件相互独立，那么

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率

以为半径的球体积：

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线与圆的位置关系为（）

A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离

2．已知复数的实部为，虚部为2，则=（）

A．B．C．D．

3．的展开式中的系数是（）

A．16B．70C．560D．1120

4．已知，则向量与向量的夹角是（）

A．B．C．D．

5．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。

从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）

A．B．C．D．

7．设的三个内角，向量，，若，则=（）

A．B．C．D．

8．已知，其中，则的值为（）

A．6B．C．D．

9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（）

A．2B．3C．4D．5

10．已知以为周期的函数，其中。

若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．

11．若，，则．

12．若是奇函数，则

13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．

14．设，，，，则数列的通项公式=.

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是．

三、解答题：

本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）

设函数．

（Ⅰ）求的最小正周期．

（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．

17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：

（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；

（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．

18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）

设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：

（Ⅰ）点到平面的距离；

（Ⅱ）二面角的大小．

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．

（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；

（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：

，．求线段的中点的轨迹方程；

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．

（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：

，求通项；

（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：

；

参考答案

1、选择题：

每小题5分，满分50分

（1）B

（2）A（3）D（4）C（5）A（6）C

（7）C（8）D（9）B（10）B

二．填空题：

每小题5分，满分25分

（11）（0,3）（12）（13）36（14）（15）（1,）

三．解答题：

满分75分

（16）（本小题13分）

解：

（Ⅰ）=

=

=

故的最小正周期为T==8

（Ⅱ）解法一：

在的图象上任取一点，它关于的对称点.

　　由题设条件，点在的图象上，从而

　　　　　　　　　=

=

当时，，因此在区间上的最大值为

　　解法二：

因区间关于x=1的对称区间为，

且与的图象关于x=1对称，

故在上的最大值为在上的最大值

由（Ⅰ）知＝

当时，

因此在上的最大值为

（17）（本小题13分）

解：

设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2

　　表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2

　　则，独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有

.

据此算得

　　,,.

,.

（Ⅰ）所求概率为

　　　　　.

（Ⅱ）解法一：

　　　　的所有可能值为0，1，2，3，4，且

=,

.

.

综上知有分布列

0

1

2

3

4

P

1/36

1/6

13/36

1/3

1/9

从而，的期望为

（株）

解法二：

分布列的求法同上

令分别表示甲乙两种树成活的株数，则

故有

从而知

18、（本小题13分）

解：

（Ⅰ）因

又在x=0处取得极限值，故从而

由曲线y=在（1，f

（1））处的切线与直线相互垂直可知

该切线斜率为2，即

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

令，有

（1）当，即当时，在R上恒成立，故函数在R上位增函数

（2）当，即当时，有，从而当时，在R上为增函数

（3）当，即当时，方程有两个不相等实根

当时，，故在上为增函数；

当时，故上为减函数；

当时，故上为增函数

（19）（本小题12分）

解法一：

（Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。

因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中，

（Ⅱ）如答（19）图1，过点作交于点，又过点作,交于，故为二面角的平面角，记为，过点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故

.

由于E为BS边中点，故,在中，

因，又，故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得因此，而在中，

故

在中，，可得，故所求二面角的大小为

解法二：

（Ⅰ）如答（19）图2，以S（O）为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面，故，即点A在平面上，因此

又解得

从而

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即平面BCS与平面重合，从而点A到平面BCS的距离为.

（Ⅱ）易知C（0,2,0），D（,0,0）.因E为BS的中点.

ΔBCS为直角三角形,

知

设，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1）

在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD.

由故

①　

又点G在直线CD上，即，由=（），则有　②

联立①、②，解得G＝,

故=.

又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为.

因为=，,

所以

故所求的二面角的大小为.

（20）（本小题12分）

解：

（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b＞0）.

设，由准线方程得，由得，

解得，从而b=1，椭圆的方程为

又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,

从而，当且仅当，即点M的坐标为　时上式取等号，的最大值为4　.

（

II）如图（20）图，设

.因为，故

①

因为

所以.②

记P点的坐标为，因为P是BQ的中点

所以

由因为，结合①，②得

故动点P的轨迹方程为

（21）（本小题12分）

解：

（I）因是公比为d的等比数列，从而由，故

，即

解得或（舍去）。

因此

又，解得

从而当时，

当时，由是公比为d的等比数列得

因此

（II）由题意得

由①得④

由①，②，③得，

故.⑤

又，故有

.⑥

下面反证法证明：

若不然，设

若取即，则由⑥得，而由③得

得由②得而

④及⑥可推得（）与题设矛盾

同理若P=2，3，4，5均可推得（）与题设矛盾,

因此为6的倍数

由均值不等式得

由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而

又，由④和⑥得

因此由⑤得