江苏省淮安市届高三上学期期中联考数学理试题 含答案.docx
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江苏省淮安市届高三上学期期中联考数学理试题含答案
江苏省淮安市2020届高三（上）期中考试试卷
数学（理科）
一、填空题（本大题共14小题）
1.全集2，3，4，，集合3，，，则______．
2.已知向量，，且，则实数m的值是______．
3.函数的定义域为______．
4.已知单位向量的夹角为，则的值是______．
5.已知等比数列满足，，则该数列的前5项和为______．
6.“”是“”的______条件从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”选一
7.设函数为常数，且，，的部分图象如图所示，则的值为______．
8.在中，如果sinA：
sinB：
：
3：
4，那么______．
9.已知函数，则不等式的解集为______．
10.已知函数是定义在
上的偶函数，且对于任意的
都有，，则的值为______．
11.如图，在梯形ABCD中，，，，若，则______．
12.在中，，，则______．
13.已知正项等比数列的前n项和为若，则取得最小值时，的值为______．
14.已知函数，，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共10小题）
15.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足．
求角A的大小；
若，，求的面积．
16.
在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．
若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；
若，向量，，求的最小值及对应的x值．
17.
一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，米，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为设弧度，小球从A到F所需时间为T．
试将T表示为的函数，并写出定义域；
当满足什么条件时，时间T最短．
18.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：
在定义域内存在实数t，使得．
判断是否属于集合M，并说明理由；
若属于集合M，求实数a的取值范围；
若，求证：
对任意实数b，都有．
19.已知函数，
当时，求曲线在处的切线方程；
当时，求函数的最小值；
已知，且任意有，求实数a的取值范围
20.给定数列，若满足且，对于任意的n，，都有，则称数列为“指数型数列”．
Ⅰ已知数列，的通项公式分别为，，试判断，是不是“指数型数列”；
Ⅱ若数列满足：
，，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
Ⅲ若数列是“指数型数列”，且，证明：
数列中任意三项都不能构成等差数列．
21.已知矩阵，，求
22.已知矩阵，向量，计算．
23.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M是PB的中点．
求直线AC与PB所成角的余弦值；
求面AMC与面PMC所成锐二面角的大小的余弦值．
24.直三棱柱中，，，，，．
若，求直线与平面所成角的正弦值；
若二面角的大小为，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】2，4，
【解析】解：
3，，，
，
则2，4，，
故答案为：
2，4，
根据集合交集，并集定义进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键．
2.【答案】1
【解析】解：
；
；
．
故答案为：
1．
根据即可得出，从而求出m的值．
考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．
3.【答案】
【解析】解：
依题意，，解得，
所以的定义域为，
故答案为：
．
根据真数和分母及偶次根式被开方数的要求列不等式求解即可．
本题考查了函数的定义域的求法，注意考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：
单位向量的夹角为，
则．
故答案为：
．
直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可．
本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．
5.【答案】31
【解析】解：
设等比数列的公比为q，
，，
，，
联立解得，，
数列的前5项的和为
故答案为：
31．
由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．
本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．
6.【答案】充要
【解析】解：
由，利用指数函数的单调性可得，
反之，由，可得．
“”是“”的充要条件．
故答案为：
充要．
由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：
根据函数为常数，且，，的部分图象，
可得，．
再根据五点法作图可得，，
故答案为：
．
先由周期求出，再由五点法作图求出的值．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：
：
sinB：
：
3：
4，
由正弦定理可得：
a：
b：
：
3：
4，
不妨设，，，则，
．
故答案为：
．
由正弦定理可得a：
b：
：
3：
4，不妨设，，，则由余弦定理可求cosC，结合范围，利用同角三角函数关系式即可求值．
本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：
，
由得，，
，
或，解得，
的解集为．
故答案为：
．
可由得出，从而得到或，解不等式组即可得出原不等式的解集．
本题考查了绝对值不等式的解法：
去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了函数的奇偶性与周期性应用问题，是基础题．
由题意令求得，且的周期为4，再计算的值．
【解答】
解：
由，
令，得；
又为偶函数，，
；
，
的周期为4；
又，，
，
．
故答案为4．
11.【答案】12
【解析】解：
因为，所以，
因为，，，
所以上式化简得：
，即，
所以．
故答案为：
12．
因为，根据向量变换得到，代入求出即可．
考查向量的数量积，向量的加减法，向量的夹角公式的综合运算，中档题．
12.【答案】
【解析】解：
由，利用正弦定理可得，
由，可得，
由可得，，
由，两式平方相加可得，
所以或，
由，知应舍去，
所以，代入式可得，
由三角形内角和定理可得，可得，
所以．
故答案为：
．
由已知利用正弦定理可得，，进而可得，可求，从而求得B的值，进而可求A，C，的值，利用两角和的正切函数公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式等在解三角形中的综合应用，考查了化归和转化能力以及运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：
依题意，因为，所以，所以，
即，因为数列为正项数列，所以．
当取得最小值时，，即，所以，
所以．
故填：
．
因为，所以，所以，即，因为数列为正项数列，所以当取得最小值时，，即，所以，即可得到．
本题考查了等比数列的前n项和，通项公式和前n项和公式的灵活运用，基本不等式等．属于中档题．
14.【答案】
【解析】【分析】
推导出，在上单调递减，上单调递增，且，的函数图象开口向下，对称轴为，利用数形结合法求出不等式的解集中恰有两个整数是2，3，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
【解答】
解：
，故当时，，当时，，
在上单调递减，上单调递增，且
又的函数图象开口向下，对称轴为，
要使不等式的解集中恰有两个整数，其图象如下：
不等式的解集中恰有两个整数是1，2，
，无解，
不等式的解集中恰有两个整数是2，3，
，解得．
实数a的取值范围是，
故答案为：
，
15.【答案】本题满分为12分
解：
，可得：
，
由余弦定理可得：
，
又，
由及正弦定理可得：
，
，，
由余弦定理可得：
，
解得：
，，
【解析】由已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得A的值．
由及正弦定理可得，又，，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.【答案】
解：
设，由题易知，
所以
所以
，
所以当时，最小，为．
由题意，得 x，sin ，
，sin ，
则 xcos ，
因为，所以，
所以当，即时，
取得最大值1，
所以的最小值为，此时．
【解析】设，利用二次函数的性质求得它的最小值．
由题意得，再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
17.【答案】
解：
连接CO并延长交半圆于M，则，故，
同理可得，
过O作于G，则，，
，又，
，
，
令可得，解得或舍．
设，，
则当时，，当时，，
当，取得最小值．
故时，时间T最短．
【解析】求出小球的运动路程，得出的解析式；
利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值对应的的值即可．
本题考查了函数解析式，函数单调性与最值的计算，属于中档题．
18.【答案】解：
当时，方程分
此方程无解，所以不存在实数t，使得，
故不属于集合 分
由属于集合M，可得
方程有实解有实解有实解，分
若时，上述方程有实解；
若时，有，解得，
故所求a的取值范围是 分
当时，方程，分
令，则在R上的图象是连续的，
当时，，，故在内至少有一个零点；
当时，，，故在内至少有一个零点；
故对任意的实数b，在R上都有零点，即方程总有解，
所以对任意实数b，都有 分
【解析】利用，通过推出方程无解，说明不属于集合由属于集合M，推出有实解，即有实解，若时，若时，利用判断式求解即可．
当时，方程，令，则在R上的图象是连续的，当时，当时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有．
本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．
19.【答案】解：
当时，，由
，得
．
所以在处的切线方程为即．
当时，得，因为
0'/>，
所以在单调递增，所以．
当时，得，因为
，
所以在单调递减，所以．
当时，
由知：
函数在单调递减，单调递增，
所以．
综上，当，；
当时，；
当时，．
当，且任意有，
即对任意有．
设，
则，
．
设
，
因为，，所以
0'/>，
所以在单调递增，
所以，即
，
1当
即时，所以
恒成立，
所以在单调递增，此时，满足题意．
2当
即时，
因为
0'/>，且
在单调递增，
所以存在唯一的，使得
，
因此当时
；当时
0'/>；
所以在单调递减，单调递增．
所以，不满足题意．
综上，．
【解析】当时，，由
，得
由此利用导数的几何意义能求出在处的切线方程．
当时，得，由
0'/>，得到当时，得，由
，得到当时，，由此能求出函数的最小值．
当，且任意有，即对任意有设，则，
设
，则
0'/>，由此利用导数性质能求出结果．
本题考查切线方程、函数的最小值、实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义、导数性质、函数最值、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】Ⅰ解：
对于数列，，所以不是指数型数列．
对于数列，对任意n，，因为，
所以是指数型数列．
Ⅱ证明：
由题意，，是“指数型数列”，
，，
所以数列是等比数列，，
，数列是“指数型数列”．
Ⅲ证明：
因为数列是指数数列，故对于任意的n，，
有，，
假设数列中存在三项，，构成等差数列，不妨设，
则由，得，
所以，
当t为偶数时，是偶数，而是偶数，是奇数，
故不能成立；
当t为奇数时，是偶数，而是奇数，是偶数，
故也不能成立．
所以，对任意，不能成立，
即数列的任意三项都不成构成等差数列．
【解析】Ⅰ利用指数数列的定义，判断即可；
Ⅱ利用，，说明数列是等比数列，然后证明数列为“指数型数列”；
Ⅲ利用反证法，结合n为偶数以及奇数进行证明即可．
本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．
21.【答案】解：
设，，
，即，
，
．
【解析】根据矩阵乘法法则计算．
本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题．
22.【答案】解：
，
由，解得或3．
当时，对应的一个特征向量为；
当时，对应的一个特征向量为．
设，解得．
．
【解析】令，解得或分别对应的一个特征向量为；设解得m，n，即可得出．
本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23.【答案】解：
因为，，，以A为坐标原点AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则各点坐标为0，，2，，1，，0，，0，，1，
因，
，
所以．
由题得：
平面PMC的法向量为，
所以
解得：
同理设平面AMC的法向量为，
所以
解得：
故，
即所求锐二面角的余弦值为．
【解析】分别求出两条直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．
根据题意分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角的余弦值，然后再转化为二面角的平面角的余弦值．
解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，有利于建立空间直角坐标系，利用向量的有关运算解决空间角与空间距离等问题．
24.【答案】解：
分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则0，，0，，4，，0，，0，，4，，分
当时，D为BC的中点，2，，
，4，，2，，
设平面的法向量为y，，
则，取，
得0，，
又，
直线与平面所成角的正弦值为分
，，
4，，，
设平面的法向量为y，，
则，取，得0，分
又平面的一个法向量为0，，
二面角的大小为，
，
解得或不合题意，舍去，
实数的值为分
【解析】分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出实数的值．
本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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