高考数学一轮考点训练不等式带答案.docx
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高考数学一轮考点训练不等式带答案
2017高考数学一轮考点训练-不等式（带答案）
第七 不 等 式
考纲链接1不等关系
了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．
2．一元二次不等式
（1）会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．
（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
3．二元一次不等式组与简单线性规划问题
（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
4．基本不等式：
ab≤a＋b2（a≥0，b≥0）
（1）了解基本不等式的证明过程．
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．
§71 不等关系与不等式
1．两个实数大小的比较
（1）a＞b⇔a－b________；
（2）a＝b⇔a－b________；
（3）a＜b⇔a－b________
2．不等式的性质
（1）对称性：
a>b⇔__________；
（2）传递性：
a>b，b>ͤ__________；
（3）不等式加等量：
a>b⇔a＋______b＋；
（4）不等式乘正量：
a>b，>0ͤ__________，
不等式乘负量：
a>b，<0ͤ__________；
（）同向不等式相加：
a>b，>dͤ__________；
※（6）异向不等式相减：
a>b，<dͤa－＞b－d；
（7）同向不等式相乘：
a>b>0，>d>0ͤ__________；
※（8）异向不等式相除：
a>b>0，0<<dͤa＞bd；
※（9）不等式取倒数：
a>b，ab>0ͤ1a＜1b；
（10）不等式的乘方：
a>b>0ͤ______________；
（11）不等式的开方：
a>b>0ͤ______________．
※注：
1（）（6）说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；
2．（7）（8）说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．
自查自纠：
1．＞0 ＝0 ＜0
2．
（1）b<a
（2）a> （3）> （4）a>b a<b
（）a＋>b＋d （7）a>bd
（10）an>bn（n∈N且n≥2）
（11）na>nb（n∈N且n≥2）
（2014•东）已知实数x，满足ax＜a（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A1x2＋1＞12＋1B．ln（x2＋1）＞ln（2＋1）
．sinx＞sinD．x3＞3
解：
根据指数函数的性质得x＞，此时x2，2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．故选D
（201•烟台模拟）设a，b∈（－∞，0），则“a>b”是“a－1a>b－1b”成立的（ ）
A．充分不必要条
B．必要不充分条
．充要条
D．既不充分也不必要条
解：
∵a－1a－b－1b＝（a－b）1＋1ab，又1＋1ab>0，若a>b，则（a－b）1＋1ab>0，∴a－1a>b－1b成立；反之，若（a－b）1＋1ab>0，则a>b成立．故选
已知a＞0，b＞0，则aabb与abba的大小关系为（ ）
A．aabb≥abbaB．aabb＜abba
．aabb≤abbaD．与a，b的大小有关
解：
不妨设a≥b＞0，则ab≥1，a－b≥0aabbabba＝aba－b≥1，即aabb≥abba同理当b＞a＞0时，亦有aabb≥abba故选A
已知a＝27，b＝6＋22，则a，b的大小关系是ab
解：
由于a＝27，b＝6＋22，平方作差得a2－b2＝28－14－83＝14－83＝874－3＞0，从而a＞b故填＞
（201•济南模拟）若a＞0＞b＞－a，＜d＜0，则下列结论：
①ad＞b；②ad＋b＜0；③a－＞b－d；④a（d－）＞b（d－）中成立的是________（填序号）．
解：
∵a＞0＞b，＜d＜0，∴ad＜0，b＞0，
∴ad＜b，故①错误．
∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵＜d＜0，∴－＞－d＞0，∴a（－）＞（－b）（－d），
∴a＋bd＜0，∴ad＋b＝a＋bdd＜0，故②正确．
∵＜d，∴－＞－d，∵a＞b，
∴a＋（－）＞b＋（－d），a－＞b－d，故③正确．
∵a＞b，d－＞0，∴a（d－）＞b（d－），故④正确．
故填②③④
类型一 建立不等关系
（201•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是（ ）
A．3B．4．D．6
解：
因为[x]表示不超过x的最大整数．由[t]＝1得1≤t<2，由[t2]＝2得2≤t2<3，由[t4]＝4得4≤t4<，所以2≤t2<，由[t3]＝3得3≤t3<4，所以6≤t<4，由[t]＝得≤t<6，与6≤t<4矛盾，故正整数n的最大值是4故选B
点拨：
解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例[x]表示不超过x的最大整数，故由[x]＝，可得≤x<＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n的最大值．
用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1（∈N*），已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，试从中提炼出一个不等式组．（钉帽厚度不计）
解：
假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是47；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为47，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47，有47＋47＜1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为472，此时应有47＋47＋472，有47＋47＋472≥1
所以可从中提炼出一个不等式组：
47＋47＜1，47＋47＋472≥1
类型二 不等式的性质
已知下列三个不等式①ab＞0；②a＞db；③b>ad以其中两个作为条，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？
解：
（1）对②变形a＞db⇔b－adab＞0，由ab＞0，b＞ad得②成立，∴①③ͤ②
（2）若ab＞0，b－adab＞0，则b＞ad，∴①②ͤ③
（3）若b＞ad，b－adab＞0，则ab＞0，∴②③ͤ①
综上所述可组成3个正确命题．
点拨：
运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条，如比较a与b的大小关系应注意从＞0，＝0，＜0三个方面讨论．
（2014•四川）若a＞b＞0，＜d＜0，则一定有（ ）
Aa＞bdBa＜bd
ad＞bDad＜b
解：
由＜d＜0ͤ－1d＞－1＞0，又a＞b＞0，故由不等式性质，得－ad＞－b＞0，所以ad＜b故选D
类型三 不等式性质的应用
（1）若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是________．
解：
由1＜α＜3得12＜α2＜32，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以α2－β的取值范围是－32，112故填－32，112
点拨：
①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32和－4＜β＜2两式相减得到α2－β的范围．②此类题目用线性规划也可解．
（2）已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，则2a＋3b的取值范围是________．
解：
设2a＋3b＝x（a＋b）＋（a－b），
∴x＋＝2，x－＝3解得x＝2，＝－12
∴－2＜2（a＋b）＜12，－2＜－12（a－b）＜－1
∴－92＜2（a＋b）－12（a－b）＜132，
即－92＜2a＋3b＜132故填－92，132
点拨：
由于a＋b，a－b的范围已知，所以要求2a＋3b的取值范围，只需将2a＋3b用已知量a＋b，a－b表示出，可设2a＋3b＝x（a＋b）＋（a－b），用待定系数法求出x，，再利用同向不等式的可加性求解．
（1）若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．
解：
∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，－π2＜－β＜π2，而α＜β，∴－π＜α－β＜0，∴2α－β＝（α－β）＋α∈－3π2，π2故填－3π2，π2
（2）设f（x）＝ax2＋bx，且1≤f（－1）≤2，2≤f
（1）≤4，则f（－2）的取值范围为________．
解法一：
由已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4①②
f（－2）＝4a－2b
设4a－2b＝（a－b）＋n（a＋b）（，n为待定系数），
即4a－2b＝（＋n）a－（－n）b，
于是得＋n＝4，－n＝2解得＝3，n＝1
由①×3＋②×1得≤4a－2b≤10，即≤f（－2）≤10
解法二：
由a－b＝f（－1），a＋b＝f
（1）得
a＝12[f
（1）＋f（－1）]，b＝12[f
（1）－f（－1）]
∴f（－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f
（1），后面同解法一．
故填[，10]．
类型四 比较大小
实数b＞a＞0，实数＞0，比较a＋b＋与ab的大小，则a＋b＋________ab
解法一：
（作差比较）：
a＋b＋－ab＝b（a＋）－a（b＋）b（b＋）＝（b－a）b（b＋），
∵b＞a＞0，＞0，∴（b－a）b（b＋）＞0，∴a＋b＋＞ab
解法二（作商比较）：
∵b＞a＞0，＞0，
∴b＞aͤab＋b＞ab＋a＞0，
∴ab＋bab＋a＞1，即a＋b＋•ba＞1ͤa＋b＋＞ab故填＞
点拨：
本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差（商）比较法的步骤是：
①作差（商）；②变形：
配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；③判断符号（判断商和“1”的大小关系）；④作出结论．
（201•福建月考）已知a，b，∈R＋，且a2＋b2＝2，当n∈N，n>2时，比较n与an＋bn的大小，则an＋bn________n
解：
∵a，b，∈R＋，∴an，bn，n>0，而an＋bnn＝an＋bn∵a2＋b2＝2，∴a2＋b2＝1，∴0<a<1，0<b<1当n∈N，n>2时，an<a2，bn<b2，∴an＋bnn＝an＋bn<a2＋b22＝1，∴an＋bn<n故填＜
1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．
2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条．
3．不等式性质包括“充分条（或者是必要条）”和“充要条”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
4．利用几个不等式确定某个代数式的范围时要注意：
“同向（异向）不等式的两边可相加（相减）”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：
先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．
．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．
6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．
1．（201•厦门模拟）“a＋>b＋d”是“a>b且>d”的（ ）
A．充分不必要条
B．既不充分也不必要条
．充分必要条
D．必要不充分条
解：
由“a＋>b＋d”不能得知“a>b且>d”，反过，由“a>b且>d”可得知“a＋>b＋d”，因此“a＋>b＋d”是“a>b且>d”的必要不充分条．故选D
2．已知a，b为正数，a≠b，n为正整数，则anb＋abn－an＋1－bn＋1的正负情况为（ ）
A．恒为正
B．恒为负
．与n的奇偶性有关
D．与a，b的大小有关
解：
anb＋abn－an＋1－bn＋1＝an（b－a）＋bn（a－b）
＝－（a－b）（an－bn），
因为（a－b）与（an－bn）同号，所以anb＋abn－an＋1－bn＋1<0恒成立．故选B
3．（201•云南模拟）若a，b，∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＋≥b－
B．（a－b）2≥0
．a>b
D2a－b>0
解：
A项：
当<0时，不等式a＋<b－可能成立；B项：
a>bͤa－b>0，2≥0，故（a－b）2≥0；项：
当＝0时，a＝b；D项：
当＝0时，2a－b＝0故选B
4．（2014•湖南）已知命题p：
若x＞，则－x＜－；命题q：
若x＞，则x2＞2在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（綈q）；④（綈p）∨q中，真命题是（ ）
A．①③B．①④．②③D．②④
解：
当x＞时，两边乘以－1可得－x＜－，∴命题p为真命题；当x＝1，＝－2时，显然x2＜2，∴命题q为假命题，∴②③为真命题．故选
．（2014•浙江）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋，且0＜f（－1）＝f（－2）＝f（－3）≤3，则（ ）
A．≤3B．3＜≤6
．6＜≤9D．＞9
解：
由f（－1）＝f（－2）＝f（－3）得，－1＋a－b＋＝－8＋4a－2b＋＝－27＋9a－3b＋，消去得3a－b＝7，a－b＝19，解得a＝6，b＝11，于是0＜－6≤3，即6＜≤9故选
6．如果0＜＜b＜a，则（ ）
A．sb＋a＋＜sba＜sb－a－
B．sba＜sb－a－＜sb＋a＋
．sb－a－＜sba＜sb＋a＋
D．sb＋a＋＜sb－a－＜sba
解：
作商比较：
b＋a＋÷ba＝ab＋aab＋b＞1，所以1＞b＋a＋＞ba＞0，同理，0＜b－a－＜ba＜1，∴1＞b＋a＋＞ba＞b－a－＞0而＝sx在0，π2上单调递减，所以sb＋a＋＜sba＜sb－a－（也可取特殊值判断）．故选A
7．（201•江西模拟）设a＝lge，b＝（lge）2，＝lge，则a，b，的大小关系为________．
解：
∵e＜10，∴lge＜lg10＝12，∴（lge）2＜12•lge＝lge，即b＜又∵e＜e，∴lge＜lge，即＜a故填b＜＜a
8．（201•安徽模拟）定义a*b＝a，a＜b，b，a≥b已知a＝303，b＝033，＝lg303，则（a*b）*＝________．（结果用a，b，表示）
解：
∵lg303<0<033<1<303，∴<b<a，∴（a*b）*＝b*＝故填
9．设实数a，b，满足
①b＋＝6－4a＋3a2，
②－b＝4－4a＋a2
试确定a，b，的大小关系．
解：
∵－b＝（a－2）2≥0，∴≥b，
又2b＝2＋2a2，∴b＝1＋a2，
∴b－a＝a2－a＋1＝a－122＋34＞0，
∴b＞a，从而≥b＞a
10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a人．
（1）若a＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1万元？
（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
解：
（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为万元．
则＝1000＋30x800＋ax（a∈N*，1≤x≤10）．
假设会超过1万元，则当a＝10时有1000＋30x800＋10x＞1，解得x＞403＞10
所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1万元．
（2）设1≤x1＜x2≤10，＝f（x）＝1000＋30x800＋ax，
则f（x2）－f（x1）＝1000＋30x2800＋ax2－1000＋30x1800＋ax1
＝（30×800－1000a）（x2－x1）（800＋ax2）（800＋ax1）＞0，
所以30×800－1000a＞0，得a＜24
所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．
11．（201•云南模拟改编）已知a＋b＋＝0，且a>b>，求a的取值范围．
解：
∵a＋b＋＝0，∴b＝－（a＋）．又a>b>，
∴a>－（a＋）>，且3a＞a＋b＋＝0＞3，
则a>0，<0，∴1>－a＋a＞a，
即1＞－1－a＞a，∴2a＜－1，a＞－2，解得－2＜a＜－12
故a的取值范围是－2，－12
设a>b>1，<0，给出下列三个结论：
①a>b；②a<b；③lgba－>lgab－
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①②．②③D．①②③
解：
①∵a>b>1，∴0<1a<1b<1，又<0，∴a>b，①正确；②由于a>b>1，可设f（x）＝ax，g（x）＝bx，当x＝＜0时，根据指数函数的性质，得a<b，②正确；③∵a＞b＞1，＜0，即a－＞b－＞1，∴lga（a－）＞lga（b－），又由对数函数的性质知lgb（a－）＞lga（a－），∴lgb（a－）＞lga（b－），③正确．故选D
§72 一元二次不等式及其解法
1．解不等式的有关理论
（1）若两个不等式的解集相同，则称它们是；
（2）一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；
（3）解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．
2．一元一次不等式解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b（a≠0）的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条是．
3．一元二次不等式及其解法
（1）我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．
（2）使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．
（3）若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋＞0（或ax2＋bx＋＜0）（其中a＞0）的形式，其对应的方程ax2＋bx＋＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2（此时Δ＝b2－4a＞0），则可根据“大于号取，小于号取”求解集．
（4）一元二次不等式的解：
函数与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0
二次函数
＝ax2＋bx＋
（a＞0）的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋＝0
（a＞0）的根有两相异实根
x1，x2（x1＜x2）有两相等实根
x1＝x2＝－b2a
无实根
ax2＋bx＋＞0
（a＞0）的解集① ② R
ax2＋bx＋＜0
（a＞0）的解集{x|x1＜x＜x2}∅③
4分式不等式解法
（1）化分式不等式为标准型．方法：
移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．
（2）将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
f（x）g（x）＞0⇔f（x）g（x）＞0；
f（x）g（x）＜0⇔f（x）g（x）＜0；
f（x）g（x）≥0⇔f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；
f（x）g（x）≤0⇔f（x）g（x）≤0，g（x）≠0
自查自纠：
1．
（1）同解不等式
（2）同解变形
2x|x＞ba x|x＜ba a＝0，b＜0
3．
（1）一元二次
（2）解集 （3）两边 中间
（4）①xx＜x1或x＞x2 ②xx≠－b2a ③∅
（2014•标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．[－2，－1] B．[－1，2）
．[－1，1] D．[1，2）
解：
∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，
∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．故选A
设f（x）＝x2＋bx＋1且f（－1）＝f（3），则f（x）>0的解集为（ ）
A．{x|x∈R}B．{x|x≠1，x∈R}
．{x|x≥1}D．{x|x≤1}
解：
f（－1）＝1－b＋1＝2－b，f（3）＝9＋3b＋1＝10＋3b，
由f（－1）＝f（3），得2－b＝10＋3b，
解出b＝－2，代入原函数，f（x）>0即x2－2x＋1>0，
x的取值范围是x≠1故选B
已知－12<1x<2，则x的取值范围是（ ）
A．（－2，0）∪0，12
B－12，2
－∞，－12∪（2，＋∞）
D．（－∞，－2）∪12，＋∞
解：
当x>0时，x>12；当x<0时，x<－2
所以x的取值范围是x<－2或x>12，故选D
不等式2x2－x<4的解集为____________．
解：
由2x2－x<4得x2－x<2，解得－1<x<2，即不等式2x2－x<4的解集为{x|－1<x<2}．
故填{x|－1<x<2}．
（2014•武汉调研）若一元二次不等式2x2＋x－38＜0对一切实数x都成立，则的取值范围为________．
解：
显然≠0则2＜0，Δ＜0，解得∈（－3，0）．故填（－3，0）．
类型一 一元一次不等式的解法
已知关于x的不等式（a＋b）x＋2a－3b＜0的解集为－∞，－13，则关于x的不等式（a－3b）x＋b－2a＞0的解集为________．
解：
由（a＋b）x＜3b－2a的解集为－∞，－13，
得a＋b＞0，且3b－2aa＋b＝－13，
从而a＝2b，则a＋b＝3b＞0，即b＞0，
将a＝2b代入（a－3b）x＋b－2a＞0，
得－bx－3b＞0，x＜－3，故填{x|x＜－3}．
点拨：
一般地，一元一次不等式都可以化为ax＞b（a≠0）的形式．挖掘隐含条a＋b＞0且3b－2aa＋b＝－13是解本题的关键．
解关于x的不等式：
（2－4）x＜＋2
解：
（1）当2－4＝0即＝－2或＝2时，
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