最新冀教版八年级数学上册《角的平分线》教案优质课一等奖教学设计.docx

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最新冀教版八年级数学上册《角的平分线》教案优质课一等奖教学设计

《角的平分线》教案

教学目标

（一）教学知识点

1．角平分线的性质定理的证明．

2．角平分线的逆定理的证明．

3.定理的应用.

（二）能力训练要求

1．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．

2．体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．

（三）情感与价值观要求

1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学重点

角平分线的定理的证明．

教学难点

1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题．

2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．

教学方法

探索——引导法

教学过程

一、设置情境问题，搭建探究平台

问题：

同学们知道角平分线上的点有什么性质吗？

你是怎样得到的？

下面我们用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：

（1）在一张纸上任意画一个角∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合

（2）在折痕（即角平分线）上任意取一点C

（3）过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA边的交点，即垂足

（4）将纸打开，新的折痕与OB边的交点为E

从折纸过程中，我们可以得出CD＝CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．

[师]你能证明它吗？

二、展示思维空间，构建活动空间

[师]我们从折纸过程中得到了角平分线上的点的性质，我们还需运用所学的公理和已证的定理证明它．请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．

[生]已知：

如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

求证：

PD＝PE．

证明：

∵∠1＝∠2，OP＝OP，

∠PDO＝∠PEO＝90°，

∴△PDO≌△PEO（AAS）．

∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）．

（教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导）

[师]我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：

（用多媒体演示）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗？

我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．

[生]如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．

[生]我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．

[师]这位同学思考问题很仔细．事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．如上图所示，到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC（即在∠AOB内部的射线）才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．

谁再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题呢？

[生]在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

[师]它是真命题吗？

[生]没有加“在角的内部”时，是假命题．但根据题意我觉得应加上“在角的内部”这一条件，因此角平分线性质定理的逆命题是真命题．

[师]你能证明它吗？

（由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导）

[生]证明如下：

已知：

在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD＝PE，

求证：

点P在∠AOB的角平分线上．

证明：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO＝∠PEO＝90°．

在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP＝OP，PD＝PE，

∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL定理）．

∴∠1＝∠2（全等三角形对应角相等）．

[师]逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．给它起个名字吗？

[生]我们就把它叫做角平分线的判定定理吧，因为满足条件的点在角平分线上，连接角的顶点与此点就得到了这个角的角平线了．

[师]很好！

我们就把它叫做角平分线的判定定理吧！

我们一起再来陈述一下它的内容：

在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

三、例题解析

例：

已知：

△ABC中，∠B的角平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.

求证：

AP平分∠BAC.

证明：

过点P作PM⊥BC，PNAB，垂足分别为M，N，Q.

∵BE是∠B的平分线，点P在BE上，

∴PQ=PM.（角平分线上的点到角两边的距离相等）

同理，PN=PM.

∴PN=PQ（等量代换）

∴AP平分∠BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上）

四、随堂训练

如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？

解：

∵AD平分∠CAB，

∴∠1＝∠2＝

∠CAB．

又∵AE平分∠CAF，

∴∠3＝∠4＝

∠CAF．

∵∠CAB＋∠CAF＝180°，

∴∠1＋∠3＝

（∠CAB＋∠CAF）＝

×180°＝90°，即AD⊥AE．

四、课时小结

这节课我们在折纸的基础上，证明了线段的垂直平分线的性质定理和应用，进一步发展学生的推理证明意识和能力．

五、课后作业

1．P122练习、P122-P123习题．

2．习题15.4.

六、活动与探究

如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ＝OP，OT＝OS，PT和QS相交于点C．

求证：

OC平分∠AOB．

证明：

在△OPT和△OQS中，

OP＝OQ，OT＝OS，∠POT＝∠QOS，

∴△OPT≌△OQS（SAS）．

∴∠OTC＝∠OSC（全等三角形的对应角相等）．

在△CQT和△CPS中，

∵OT＝OS，OP＝OQ，∴OT－OQ＝OS－OP即QT＝SP，

又∵∠PCS＝∠QCT，∠OTC＝∠QSC，

∴△CQT≌△CPS（AAS）．

∴CT＝CS（全等三角形的对应边相等）．

在△OCT和△OCS中，OC＝OC，OT＝OS，CT＝CS．

∴△OCT≌△OCS（SSS）．

∴∠TOC＝∠SOC（全等三角形的对应角相等），即OC平分∠AOB．