点在圆外
d>r.
“数”
“形”
二、 例题分析,变式练习
练习:
已知⊙O的半径为5cm,A为线段OP的中点,当OP=6cm时,点A在⊙O________;当OP=10cm时,点A在⊙O________;当OP=18cm时,点A在⊙O___________.
例1 求证:
矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.
已知(略)
求证(略)
分析:
四边形ABCD是矩形
A=OC,OB=OD;AC=BD
OA=OC=OB=OD
要证A、B、C、D4个点在以O为圆心的圆上
证明:
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC,OB=OD;AC=BD
∴OA=OC=OB=OD
∴A、B、C、D4个点在以O为圆心,OA为半径的圆上.
符号“
”的应用(要求学生了解)
证明:
四边形ABCD是矩形
OA=OC=OB=OD
A、B、C、D4个点在以O为圆心,OA为半径的圆上.
小结:
要证几个点在同一个圆上,可以证明这几个点与一个定点的距离相等.
问题拓展研究:
我们所研究过的基本图形中(平行四边形,菱形,,正方形,等腰梯形)哪些图形的顶点在同一个圆上.(让学生探讨)
练习1 求证:
菱形各边的中点在同一个圆上.
(目的:
培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.A层自主完成)
练习2 设AB=3cm,画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.
(1)和点A的距离等于2cm的点的集合;
(2)和点B的距离等于2cm的点的集合;
(3)和点A,B的距离都等于2cm的点的集合;
(4)和点A,B的距离都小于2cm的点的集合;(A层自主完成)
三、 课堂小结
问:
这节课学习的主要内容是什么?
在学习时应注意哪些问题?
在学生回答的基础上,强调:
(1)主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系;
(2)在用点的集合定义圆时,必须注意应具备两个条件,二者缺一不可;
(3)注重对数学能力的培养
四、作业82页2、3、4.
第二课时:
圆
(二)
教学目标
1、使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等孤的概念;初步会运用这些概念判断真假命题。
2、逐步培养学生阅读教材、亲自动手实践,总结出新概念的能力;进一步指导学
生观察、比较、分析、概括知识的能力。
3、通过动手、动脑的全过程,调动学生主动学习的积极性,使学生从积极主动获得知识。
教学重点、难点和疑点
1、重点:
理解圆的有关概念.
2、难点:
对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解.
3、疑点:
学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧。
让学生阅读教材、理解、交流和与教师对话交流中排除疑难。
教学过程设计:
(一)阅读、理解
重点概念:
1、弦:
连结圆上任意两点的线段叫做弦.
2、直径:
经过圆心的弦是直径.
3、圆弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧.
半圆弧:
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆;
优弧:
大于半圆的弧叫优弧;
劣弧:
小于半圆的弧叫做劣弧.
4、弓形:
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
5、同心圆:
即圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆.
6、等圆:
能够重合的两个圆叫做等圆.
7、等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
(二)小组交流、师生对话
问题:
1、一个圆有多少条弦?
最长的弦是什么?
2、弧分为哪几种?
怎样表示?
3、弓形与弦有什么区别?
在一个圆中一条弦能得到几个弓形?
4、在等圆、等弧中,“互相重合”是什么含义?
(通过问题,使学生与学生,学生与老师进行交流、学习,加深对概念的理解,排除疑难)
(三)概念辨析:
判断题目:
(1)直径是弦()
(2)弦是直径()
(3)半圆是弧() (4)弧是半圆()
(5)长度相等的两段弧是等弧() (6)等弧的长度相等()
(7)两个劣弧之和等于半圆() (8)半径相等的两个半圆是等弧()
(主要理解以下概念:
(1)弦与直径;
(2)弧与半圆;(3)同心圆、等圆指两个图形;(4)等圆、等弧是互相重合得到,等弧的条件作用.)
(四)应用、练习
例1、已知:
如图,AB、CB为⊙O的两条弦,试写出图中的所有弧.
解:
一共有6条弧.
、
、
、
、
、
.
(目的:
让学生会表示弧,并加深理解优弧和劣弧的概念)
例2、已知:
如图,在⊙O中,AB、CD为直径.求证:
AD∥BC.
(由学生分析,学生写出证明过程,学生纠正存在问题.锻炼学生动口、动脑、动手实践能力,调动学生主动学习的积极性,使学生从积极主动获得知识.)
巩固练习:
教材P66练习中2题(学生自己完成).
(五)小结
教师引导学生自己做出总结:
1、本节所学似的知识点;
2、概念理解:
①弦与直径;②弧与半圆;③同心圆、等圆指两个图形;④等圆和等弧.
3、弧的表示方法.
(六)作业
教材P66练习中3题,P82习题l(3)、(4).
第三、四课时 圆(三)——点的轨迹
教学目标
1、在了解用集合的观点定义圆的基础上,进一步使学生了解轨迹的有关概念以及熟悉五种常用的点的轨迹;
2、培养学生从形象思维向抽象思维的过渡;
3、提高学生数学来源于实践,反过来又作用于实践的辩证唯物主义观点的认识。
重点、难点
1、重点:
对圆点的轨迹的认识。
2、难点:
对点的轨迹概念的认识,因为这个概念比较抽象。
教学活动设计(在老师与学生的交流对话中完成教学目标)
(一)创设学习情境
1、对“圆”的形成观察——理解——引出轨迹的概念
(使学生在老师的引导下从感性知识到理性知识)
观察:
圆是到定点的距离等于定长的的点的集合;(电脑动画)
理解:
圆上的点具有两个性质:
(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r);
(2)到定点距离等于定长的的点都在圆上;(结合下图)
引出轨迹的概念:
我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思:
(1)图形是由符合条件的那些点组成的,就是说,图形上的任何一点都符合条件;
(2)图形包含了符合条件的所有的点,就是说,符合条件的任何一点都在图形上.(轨迹的概念非常抽象,是教学的难点,这里教师要精讲,细讲)
上面左图符合
(1)但不符合
(2);中图不符合
(1)但符合
(2);只有右图
(1)
(2)都符合.因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是圆.
轨迹1:
“到定点距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆”。
(研究圆是轨迹概念的切入口、基础和关键)
(二)类比、研究1
(在老师指导下,通过电脑动画,学生归纳、整理、概括、迁移,获得新知识)
轨迹2:
和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线;
轨迹3:
到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线;
(三)巩固概念
练习:
画图说明满足下列条件的点的轨迹:
(1)到定点A的距离等于3cm的点的轨迹;
(2)到∠AOC的两边距离相等的点的轨迹;
(3)经过已知点A、B的圆O,圆心O的轨迹.
(A层学生独立画图,回答满足这个条件的轨迹是什么?
归纳出每一个题的点的轨迹属于哪一个基本轨迹;B、C层学生在老师的指导或带领下完成)
(四)类比、研究2
(这是第二次“类比”,目的:
使学生的知识和能力螺旋上升.这次通过电脑动画,使A层学生自己做,进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力)
轨迹4:
到直线l的距离等于定长d的点的轨迹,是平行于这条直线,并且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
轨迹5:
到两条平行线的距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线.
(五)巩固训练
练习题1:
画图说明满足下面条件的点的轨迹:
1.到直线l的距离等于2cm的点的轨迹;
2.已知直线AB∥CD,到AB、CD距离相等的点的轨迹.
(A层学生独立画图探索;然后回答出点的轨迹是什么,对B、C层学生回答有一定的困难,这时教师要从规律上和方法上指导学生)
练习题2:
判断题
1、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹,是平行于这条直线到这条直线的距离等于定长的直线.( )
2、和点B的距离等于5cm的点的轨迹,是到点B的距离等于5cm的圆.( )
3、到两条平行线的距离等于8cm的点的轨迹,是和这两条平行线的平行且距离等于8cm的一条直线.( )
4、底边为a的等腰三角形的顶点轨迹,是底边a的垂直平分线.( )
(这组练习题的目的,训练学生思维的准确性和语言表达的正确性.题目由学生自主完成、交流、反思)
(教材的练习题、习题即可,因为这部分知识属于选学内容,而轨迹概念又比较抽象,不要对学生要求太高,了解就行、理解就高要求)
(六)理解、小结
(1)轨迹的定义两层意思;
(2)常见的五种轨迹。
(七)作业
教材P82习题2、6.
探究活动
爱尔特希问题
在平面上有四个点,任意三点都可以构成等腰三角形,你能找到这样的四点吗?
分析与解:
开始自然是尝试、探索,主要应以如何构造出这样的点来考虑.最容易想到的是,使一个点到另三个点等距离,换句话说,以一个点为圆心,作一个圆,其他三个点在此圆上寻找,只要使这圆上的三点构成等腰三角形即可,于是得到如图中的上面两种形式.
其次,取边长都相等的四边形,即为菱形的四个顶点(见图中第3个图).
最后,取梯形ABCD,其中AB=BC=CD,且AD=BD=AC,但是这样苛刻条件的梯形存在吗?
实际上,只要将任一圆周5等分,取其中任意四点即可(见图中的第4个图).
综上所述,符合题意的四点有且仅有三种构形:
①任意等腰三角形的三个顶点及其外接圆圆心(即外心);②任意菱形的4个顶点;③任意正五边形的其中4个顶点.
上述问题是大数学家爱尔特希(P.Erdos)提出的:
“在平面内有n个点,其中任意三点都能构成等腰三角形”中n=4的情形.
当n=3、4、5、6时,爱尔特希问题都有解.已经证明,
时,问题无解.