r＝
gt2③
水平方向上有r＝vxt④
又由机械能守恒定律有mgh＝
mv
⑤
由③④⑤联立可解得h＝
＝0.1m.
答案
（1）0.2m
（2）0.1m
1.（多选）如图6所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，O点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m的物体从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B后向上运动，则以下说法准确的是（）
图6
A．物体落到O点后，立即做减速运动
B．物体从O点运动到B点，动能先增大后减小
C．物体在B点时加速度为零
D．若不计空气阻力，在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒
答案BD
2.某游乐场过山车模型简化为如图7所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．
图7
（1）若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？
（2）考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过多少？
答案
（1）2.5R
（2）3R
解析
（1）设过山车总质量为M，从高度h1处开始下滑，恰能以v1过圆形轨道最高点．
在圆形轨道最高点有：
Mg＝M
①
运动过程机械能守恒：
Mgh1＝2MgR＋
Mv
②
由①②式得：
h1＝2.5R
高度h至少为2.5R.
（2）设从高度h2处开始下滑，过圆周最低点时速度为v2，游客受到的支持力最大是FN＝7mg.
最低点：
FN－mg＝m
③
运动过程机械能守恒：
mgh2＝
mv
④
由③④式得：
h2＝3R
高度h不得超过3R.
3.如图8所示，半径为R的光滑圆柱体被固定在水平台上，圆柱体中心离台边水平距离为0.5R，质量为m1的小球用轻绳跨过圆柱体与质量为m2的小球相连，开始时将m1控制住放在平台上，两边轻绳竖直．现在释放m1，让m1和m2分别由静止开始运动，当m1上升到圆柱体的最高点时，绳子突然断了，m1恰能做平抛运动，重力加速度为g.
图8
（1）m1做平抛运动时的速度v多大？
（2）m2应为m1的多少倍？
（3）m1做平抛运动的过程中，恰能经过与台面等高的B点，求B点离台边的距离sAB，
答案
（1）
（2）
（3）1.5R
解析
（1）由牛顿第二定律，若m1恰能做平抛运动，又因为绳子断的时刻圆柱体对小球无弹力，则m1g＝
，得v＝
.
（2）当m1上升2R到圆柱体最高点时，m2下降（R＋
R），由m1、m2组成的系统机械能守恒得m2gR（1＋
）－m1g·2R＝
（m1＋m2）v2，解得
＝
.
（3）m1开始做平抛运动到到达B点的时间t＝
＝2
，
水平距离x＝vt＝2R，
离台边sAB＝x－0.5R＝1.5R.
一、选择题（1～8为单项选择题，9为多项选择题）
1.如图1所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一充足大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中（）
图1
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．轻绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
答案C
解析斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，因为除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错，C对；小球动能的变化等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的和，D错．
2．北京残奥会的开幕式上，三届残奥会冠军侯斌依靠双手牵引使自己和轮椅升至高空，点燃了残奥会主火炬，其超越极限、克服万难的形象震撼了大家的心灵．假设侯斌和轮椅是匀速上升的，则在上升过程中侯斌和轮椅的（）
A．动能增加B．重力势能增加
C．机械能减少D．机械能不变
答案B
解析匀速上升过程中动能不变，重力势能增加，机械能增加，所以只有B项准确．
3.如图2所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过细杆中心的水平轴无摩擦转动，现让细杆水平放置，静止释放小球后，小球b向下转动，小球a向上转动，在转动90°的过程中，以下说法准确的是（）
图2
A．b球的重力势能减少，动能增加
B．a球的重力势能增大，动能减少
C．a球和b球各自的机械能保持不变
D．a球和b球的机械能总和持续减小
答案A
解析在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，使两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，a、b两球的总机械能守恒，杆对a和b都做功，故a、b各自的机械能不守恒，选项A准确．
4.如图3所示，mA＝2mB，不计摩擦阻力，物体A自H高处由静止开始下落，且物体B始终在水平台面上．若以地面为零势能面，则当物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是（）
图3
A.
B.
C.
D.
答案B
解析物体A、B组成的系统机械能守恒．设物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是h，速度为v.则有mAgh＝
mAv2，即v2＝2gh.从开始到物体A距地面的高度为h的过程中，物体A减少的重力势能为ΔEp＝mAg（H－h）＝2mBg（H－h）．系统增加的动能为ΔEk＝
（mA＋mB）v2＝
×3mB×2gh＝3mBgh.由ΔEp＝ΔEk，得h＝
H.
5.如图4所示，小物体A和B通过轻质弹簧和轻绳跨过光滑定滑轮连接，初状态在外力控制下系统保持静止，轻弹簧处于原长，且轻弹簧上端离滑轮充足远，A离地面充足高，物体A和B同时从静止释放，释放后短时间内B能保持静止，A下落h高度时，B开始沿斜面上滑，则下列说法中准确的是（）
图4
A．B滑动之前，A机械能守恒
B．B滑动之前，A机械能减小
C．B滑动之前，A、B组成的系统机械能守恒
D．B滑动之后，A、B组成的系统机械能守恒
答案B
解析B滑动之前，A下落时，绳子的拉力对A做负功，A的机械能不守恒，由功能关系知，A的机械能减小，故A错误，B准确；B滑动之前，A的机械能减小，B的机械能不变，则A、B组成的系统机械能减小，故C错误；B滑动之后，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，则A、B组成的系统机械能不守恒．故D错误．
6.如图5所示，物体从某一高度自由下落到竖直立于地面的轻质弹簧上．在a点时物体开始与弹簧接触，到b点时物体速度为零．则从a到b的过程中，物体（）
图5
A．动能一直减小
B．弹性势能先减小后增大
C．所受合外力先增大后减小
D．动能和重力势能之和一直减小
答案D
解析物体刚接触弹簧一段时间内，物体受到竖直向下的重力和竖直向上的弹力，且弹力小于重力，所以物体的合外力向下，物体做加速运动，在向下运动的过程中弹簧的弹力越来越大，所以合力越来越小，即物体做加速度减小的加速运动，当弹力等于重力时，物体的速度最大，之后弹力大于重力，合力向上，物体做减速运动，因为物体速度仍旧向下，所以弹簧的弹力仍旧增大，所以合力在增大，故物体做加速度增大的减速运动，到b点时物体的速度减小为零，所以从a到b的过程中物体的速度先增大再减小，即动能先增大后减小，A错误；从a点到b点弹力做负功，所以弹簧的弹性势能在增大，B错误；所受合外力先减小后增大，C错误；从a到b的过程中物体的机械能转化为弹簧的弹性势能，所以D准确．
7.如图6所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法准确的是（）
图6
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
答案C
8.如图7所示，A的质量为M，B和C的质量都是m，有2m＞M＞m，用劲度系数为k的轻弹簧连接A与地面，A与B、B与C用不可伸长的细绳通过光滑定滑轮相连，C距离地面充足高，A、B物块距定滑轮充足远，不计一切阻力，下列说法准确的是（）
图7
A．若剪断B与C之间的细绳，B的机械能先减少后增加
B．若剪断B与C之间的细绳，A的动能持续增加
C．若剪断轻弹簧，B与C的机械能减少量等于A的动能增加量
D．若剪断轻弹簧，A、B、C系统的重力势能减少量等于系统动能增加量
答案D
解析剪断B与C之间的细绳，开始一段时间内B上升，绳的拉力对B做正功，故B的机械能先增加，A项错误．剪断B与C之间的细绳，当A、B的加速度为零时A的动能最大，再压缩弹簧，A的动能又随之减小，B项错误．剪断轻弹簧，A、B、C及弹簧组成的系统机械能守恒，故B与C的机械能减少量等于A的机械能增加量，系统的重力势能减少量等于系统动能增加量，C项错误，D项准确．
9.如图8所示，小滑块从一个固定的光滑斜槽轨道顶端由静止开始下滑，用v、t和h分别表示小滑块沿轨道下滑的速率、时间和距轨道顶端的高度．如图所示的v－t图象和v2－h图象中可能准确的是（）
图8
答案BD
解析小滑块下滑过程中，小滑块的重力沿斜槽轨道切向的分力逐渐变小，故小滑块的加速度逐渐变小，故A错误，B准确；由机械能守恒得：
mgh＝
mv2，故v2＝2gh，所以v2与h成正比，C错误，D准确．
二、非选择题
10．如图9所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：
图9
（1）a球离开弹簧时的速度大小va；
（2）b球离开弹簧时的速度大小vb；
（3）释放小球前弹簧的弹性势能Ep.
答案
（1）
（2）
（3）（
m1＋10m2）gR
解析
（1）由a球恰好能到达A点知：
m1g＝m1
由机械能守恒定律得：
m1v
－
m1v
＝m1g·2R
解得va＝
.
（2）对于b球由机械能守恒定律得：
m2v
＝m2g·10R
解得vb＝
.
（3）由机械能守恒定律得：
Ep＝
m1v
＋
m2v
解得Ep＝（
m1＋10m2）gR.
11．如图10所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R＝0.4m的半圆形轨道CD，竖直放置，其内径略大于小球的直径，水平轨道与半圆形轨道在C处连接完好．置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B处为弹簧原长状态的右端．将一个质量为m＝0.8kg的小球放在弹簧的右侧后，用力水平向左推小球压缩弹簧至A处，然后将小球由静止释放，小球运动到C处时对轨道的压力大小为F1＝58N．水平轨道以B处为界，左侧AB段长为x＝0.3m，与小球间的动摩擦因数为μ＝0.5，右侧BC段光滑．g＝10m/s2，求：
图10
（1）弹簧在压缩时所储存的弹性势能；
（2）小球运动到轨道最高处D点时对轨道的压力．
答案
（1）11.2J
（2）10N，方向竖直向上
解析
（1）对小球在C处，由牛顿第二定律及向心力公式得
F1－mg＝m
，
vC＝
＝
m/s＝5m/s.
从A到B由动能定理得Ep－μmgx＝
mv
，
Ep＝
mv
＋μmgx＝
×0.8×52J＋0.5×0.8×10×0.3J＝11.2J.
（2）从C到D，由机械能守恒定律得：
mv
＝2mgR＋
mv
，
vD＝
＝
m/s＝3m/s，
因为vD＞
＝2m/s，
所以小球在D点对轨道外壁有压力．
小球在D点，由牛顿第二定律及向心力公式得F2＋mg＝m
，F2＝m
＝0.8×
N＝10N.
由牛顿第三定律可知，小球在D点对轨道的压力大小为10N，方向竖直向上．
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