实际生活中的反比例函数.docx
《实际生活中的反比例函数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实际生活中的反比例函数.docx（35页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
实际生活中的反比例函数
1.3实际生活中的反比例函数
（一）
三维目标
一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
教学重点
掌握从实际问题中建构反比例函数模型．
教学难点
从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
教具准备
1．教师准备：
课件（课本有关市煤气公司在地下修建煤气储存室等）．
2．学生准备：
（1）复习已学过的反比例函数的图象和性质，
（2）预习本节课的内容，尝试收集有关本节课的情境资料．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问题：
某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境．
（1）请你解释他们这样做的道理．
（2）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化?
（3）如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么?
①用含S的代数式表示p，P是S的反比例函数吗?
为什么?
②当木板面积为0.2m2时，压强是多少?
③如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大?
④在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
⑤请利用图象对
（2）（3）作出直观解释，并与同伴交流．
设计意图：
展示反比例函数在实际生活中的应用情况，激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣．
师生行为：
学生分四个小组进行探讨、交流．领会实际问题的数学煮义，体会数与形的统一．
教师可以引导、启发学生解决实际问题．
在此活动中，教师应重点关注学生：
①能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题；
②能积极地与小组成员合作交流；
③是否有强烈的求知欲．
生：
在物理中，我们曾学过，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S的增大，人和木板对地面的压强p将减小．
生：
在（3）中，①p＝
（S＞0）p是S的反比例函数；②当S＝0.2m2时．p＝3000Pa；③如果要求压强不超过6000Pa，根据反比例函数的性质，木板面积至少0.1m2；那么，为什么作图象在第一象限作呢?
因为在物理学中，S＞O，p＞0．
师：
从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的现实．从这节课开始我们就来学习“实际生活中的反比例函数”，你会发现有了反比例函数，很多实际问题解决起来会很方便．
二、讲授新课
活动2
[例1]市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．
（1）储存室的底面积S（单位：
m2）与其深度d（单位：
m）有怎样的函数关系?
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深?
（3）当施工队按
（2）中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要（保留两位小数）。
设计意图：
让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系．而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题．
师生行为：
先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合作完成此活动．
在此活动中，教师有重点关注：
①能否从实际问题中抽象出函数模型；
②能否利用函数模型解释实际问题中的现象；
③能否积极主动的阐述自己的见解．
生：
我们知道圆柱的容积是底面积×深度，而现在容积一定为104m3，所以S·d＝104．
变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系，即S＝
．
所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数．
生：
根据函数S＝
，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，知道S的一个值，也可求出d的值．
题中告诉我们“公司决定把储存室的底面积5定为500m2，即S＝500m2，”施工队施工时应该向下挖进多深，实际就是求当S＝500m2时，d＝?
m．根据S＝
得500＝
，解得d＝20．
即施工队施工时应该向下挖进20米．
生：
当施工队按
（2）中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石．为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m，即d＝15m，相应的储存室的底面积应改为多少才能满足需要；即当d＝15m，S＝?
m2呢?
根据S＝
，把d＝15代入此式子，得
S＝
≈666.67．
当储存室的探为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要．
师：
大家完成的很好．当我们把这个“煤气公司修建地下煤气储存室”的问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题变得迎刃而解，
三、巩固提高
活动3
练习：
如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1升（1升＝1立方分米）的圆锥形漏斗．
（1）漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?
（2）如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少?
设计意图：
让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步激励学生学习数学的欲望．
师生行为：
由两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助，此活动中，教师应重点关注：
①学生能否顺利建立实际问题的数学模型；
②学生能否积极主动地参与数学活动，体验用数学模型解决实际问题的乐趣；
③学生能否注意到单位问题．
生：
解：
（1）根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm，，漏斗的深为dcm，则容积为1升＝l立方分米＝1000立方厘米．
所以，
S·d＝1000，
S＝
．
（2）根据题意把S＝100cm2代入S＝
中，得
100＝
．
d＝30（cm）．
所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm．
活动4
练习；
（1）已知某矩形的面积为20cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式。
（2）当矩形的长为12cm时，求宽为多少?
当矩形的宽为4cm，求其长为多少?
（3）如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少?
设计意图：
进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么?
可以看成什么?
师生行为
由学生独立完成，教师根据学生完成情况及时给予评价．
生：
解：
（1）根据矩形的面积公式，我们可以得到20＝xy．
所以y＝
，
即长y与宽x之间的函数表达式为y＝
．
（2）当矩形的长为12cm时求宽为多少?
即求当y＝12cm时，x＝?
cm，则把y＝12cm代入y＝
中得
12＝
，
解得x＝
（cm）．
当矩形的宽为4cm，求长为多少?
即当x＝4cm时，y＝?
cm，则
把x＝4cm代入y＝
中，
y＝
＝5（cm）．
所以当矩形的长为12cm时，宽为
cm；当矩形的宽为4cm时，其长为5cm．
（3）y＝
此反比例函数在第一象限y随x的增大而减小，如果矩形的长不小于8cm，
即y≥8cm，所以
≥8cm，因为x＞0，所以20≥8x．x≤
（cm）．
即宽至多是
m．
四、课时小结
本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?
可以是什么?
逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．
板书设计
活动与探究
如果等腰梯形ABCD的顶点A，B在一次函数y＝
－7的图象上，顶点C、D在这个反比例函数为y＝
的图象上，两底AD，BC平行于y轴，点A和B的横坐标分别为a和a＋2．求a的值．
过程：
组织学生分小组进行交流，
而此问题最关键的是数形结合．
结果：
∵点A、B的横坐标分别为a和a＋2，∴可得A（a，
a－7），B（a＋2，
a－4）
C（a＋2，
）D（a，
），
∵AB＝CD，∴22＋32＝22＋（
－
）2．
即
－
＝±3①
由
－
＝3得a2＋2a＋8＝O，方程无解；
由
－
＝－3，得a2＋2a－8＝0，
∴a＝－4，a＝2．
经检验a＝－4，a＝2均为所求的值．
实际生活中的反比例函数
（二）
三维目标
一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
教学重点
掌握从实际问题中建构反比例函数模型．
教学难点
从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
教具准备
多媒体课件（课本例2“码头卸货”问题）
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：
x（元）
3
4
5
6
y（个）
20
15
12
10
（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；
（2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
（3）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?
设计意图：
进一步展示现实生活中两个变量之间的反比例函数关系，激发学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲．
师生行为：
学生亲自动手操作，并在小组内合作交流．
教师巡视学生小组讨论的结果．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生动手操作的能力；
③学生数形结合的意识；
③学生数学建模的意识；
④学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法．
生：
（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出了对应点（3，20），（4，15），（5，12），（6，10）．
（2）由下图可猜测此函数为反比例函数图象的一支，设y＝
，把点（3，20）代人y＝
，得k＝60．
所以y＝
．
把点（4，15）（5，12）（6，10）代人上式均成立．
所以y与x的函数关系式为y＝
．
生：
（3）物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，即x≤10，根据y＝
在第一象限y随x的增大而减小，所以
≤10，y＞1O，∴1Oy≥60，y≥6．
所以W＝（x－2）y＝（x－2）×
＝60－
当x＝10时，W有最大值．
即当日销售单价x定为10元时，才能获得最大利润．
师：
同学们的分析都很好，除了能用数学模型刻画现实问题外，还能用数学知识解释生活中的问题．
下面我们再来看又一个生活中的问题．
二、讲授新课
活动2
[例2]码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：
吨／天）与卸货时间t（单位：
天）之间有怎样的函数关系?
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?
设计意图：
进一步分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释是什么?
可以看作什么?
逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，还应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．
师生行为：
学生先独立思考，然后小组交流合作．
教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系，在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否自己建构函数模型，
②学生能否将函数，方程、不等式的知识联系起来；
③学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志．
师：
从题设中，我们不难发现：
v和t之间的函数关系，实际上是卸货速度与卸货时间之间的关系．根据卸货速度＝货物的总量÷卸货时间，就可得到v和t的函数关系．但货物的总量题中并未直接告诉，如何求得．
生：
中告诉了我们码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间，根据装货速度×装货时间＝货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量，即货物的总量为30×8＝240吨．
师：
很好!
下面同学们就来自己完成．
生：
解：
（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有：
k＝3×80＝240．
所以v与t的函数式为
v＝
．
（2）由于遭到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，求平均每天至少卸多少吨货物?
即当t≤5时，v至少为多少呢?
由v＝
得t＝
，
t≤5，所以
≤5，
又∵v＞O，所以240≤5v
解得v≥48．
所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕，平均每天至少却4.8吨货物．
生：
老师，我认为得出v与t的函数关系后，借助于图象也可以完成第
（2）问．
画出v＝
在第一象限内的图象（因为t＞O）．如下图．
当t＝5时，代入v＝
，得v＝48
根据反比例函数的性质．v＝
在第一象限，v随t的增大而减小．所以当0＜t≤5时，v≥48．即若货物不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．
生：
我认为还可以用方程来解．
把t＝5代入v＝
，得
v＝
＝48，
从结果可以看出，如果全部货物恰好5天卸完，则平均每天要卸货48吨．若货物在不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．
师：
同学们的思维非常敏捷，竟想出这么多的办法来解决这个实际问题，太棒了!
我们不妨再来看一个题，肯定能做得更好!
三、巩固提寓
活动3
一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地．
（1）甲、乙两地相距多少千米?
（2）如果汽车把速度提高到v（千米／时）那么从甲地到乙地所用时间t（小时）将怎样变化?
（3）写出t与v之间的函数关系式；
（4）因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?
（5）已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间?
设计意图：
本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解．
师生行为：
先由学生独立完成，后在小组内讨论交流．
教师可巡视，对“学围生”以适当的帮助．
解：
（1）50×6＝300（千米）；
（2）t将减小；
（3）t＝
；
（4）由题意可知
≤5，
∴v≥60（千米／时）；
（5）t＝
＝3.75小时
四、课时小结
本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?
可以看到什么?
逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系．
板书设计
活动与探究
某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：
第x天应付的养护与维修费为[
（x－1）＋500]元．
（1）如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购实该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗．请你将每天的平均损耗y（元）表示为使用天数x（天）的函数．
（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?
注：
在解本题时可能要用到以下两个数学知识点（如果需要可以直接引用下述结论）．
A.对于任意正整数n，下列等式一定成立
l＋2＋3＋4＋……＋n＝
；
B．对于确定的正常数a，b以及在正实数范围内取值的变量x，一定有
≥
2
＝2
成立．可以看出，2是
一个常数，也就是说函数y＝
有最小值2
，而且当
时，y取得最小值．
解：
（1）设该设备投入使用x天，每天的平均损耗为：
（2）y＝
当且仅当
，即x＝2000时，取等号．
实际生活中的反比例函数（三）
三维目标
一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
教学重点
掌握从物理问题中建构反比例函数模型．
教学难点
从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问属：
在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用．下面的例子就是其中之一．
[例1]在某一电路中，保持电压不变，电流I（安培）和电阻R（欧姆）成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．
（1）求I与R之间的函数关系式；
（2）当电流I＝0.5时，求电阻R的值．
设计意图：
运用反比例函数解决物理学中的一些相关问题，提高各学科相互之间的综合应用能力．
师生行为：
可由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用．
教师应给“学困生”一点物理学知识的引导．
师：
从题目中提供的信息看变量I与R之间的反比例函数关系，可设出其表达式，再由已知条件（I与R的一对对应值）得到字母系数k的值．
生：
（1）解：
设I＝
∵R＝5，I＝2，于是
2＝
，所以k＝10，∴I＝
．
（2）当I＝0.5时，R＝
＝20（欧姆）．
师：
很好!
“给我一个支点，我可以把地球撬动．”这是哪一位科学家的名言?
这里蕴涵着什么样的原理呢?
生：
这是古希腊科学家阿基米德的名言．
师：
是的．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：
若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为；
阻力×阻力臂＝动力×动力臂（如下图）
下面我们就来看一例子．
二、讲授新课
活动2
[例3]小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0．5米．
（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系?
当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力?
（2）若想使动力F不超过题
（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少?
设计意图：
物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系．因此，在这儿又一次借助反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，即跨学科综合应用．
师生行为：
先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题．
教师可引导学生揭示“杠杆乎衡”与“反比例函数”之间的关系．
教师在此活动中应重点关注：
①学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系；
②学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径；
③学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣．
师：
“撬动石头”就意味着达到了“杠杆平衡”，因此可用“杠杆定律”来解决此问题．
生：
解：
（1）根据“杠杆定律”有
F·l＝1200×0.5．得F＝
当l＝1.5时，F＝
＝400．
因此，撬动石头至少需要400牛顿的力．
（2）若想使动力F不超过题
（1）中所用力的一半，即不超过200牛，根据“杠杆定律”有
Fl＝600，
l＝
．
当F＝400×
＝200时，
l＝
＝3．
3－1.5＝1.5（米）
因此，若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要如长1.5米．
生：
也可用不等式来解，如下：
Fl＝600，F＝
．
而F≤400×
＝200时．
≤200
l≥3．
所以l－1.5≥3－1.5＝1.5．
即若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米．
生：
还可由函数图象，利用反比例函数的性质求出．
师：
很棒!
请同学们下去亲自画出图象完成，现在请同学们思考下列问题：
用反比例函数的知识解释：
在我们使用橇棍时，为什么动力臂越长越省力?
生：
因为阻力和阻力臂不变，设动力臂为l，动力为F，阻力×阻力臂＝k（常数且k＞0），所以根据“杠杆定理”得Fl＝k，即F＝
（k为常数且k＞0）
根据反比例函数的性质，当k＞O时，在第一象限F随l的增大而减小，即动力臂越长越省力．
师：
其实反比例函数在实际运用中非常广泛．例如在解决经济预算问题中的应用．
活动3
问题：
某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x－0．4）元成反比例．又当x＝0．65元时，y＝0.8．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少?
设计意图：
在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题．
师生行为：
由学生先独立思考，然后小组内讨论完成．
教师应给予“学困生”以一定的
升级会员 