高考数学解答题专项练习《解三角形》含答案.docx

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高考数学解答题专项练习《解三角形》含答案

2021年高考数学解答题专项练习《解三角形》

1•设AABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=4,C=2B.

（1）求cosB的值;

（2）求血◎的值.

2-设AABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,a=

（1）求角B的值：

（2）若b=2,AABC的而积为寻5，求s，c・

3•已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+寸^csinA二b+c・

（1）求A：

⑵若a=^♦b+c二3,求b,Co

4-设ZkABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c.已知B二150。

・

（1）若&屈,b二2历，求AABC的而枳：

（2）若sinA+^sinC=2^,求C.

5-设ZkABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,已知cns2（^+A）+cDsA=-.

24

（1）求A：

6-在ZkABC中.内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足ab+a2=c3.

⑴求证:

C=2A;

（2）若Z\ABC的面积为a:

sin:

B,求角C的大小.

7-设锐角AABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且辰=2csin•

（1）求角C的大小：

（2）若g=0，且AABC的而积为墜，求a+b的值.

2

8・设ZUBC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且迴=兰学.csmC

（1）求角A的大小：

（2）若b+c二5,且△ABC的而积为的，求a的值：

（3）若a=®求b+c的范围.

9・在ZkABC中,a2+c2-b2+\，2uc

（1）求ZB的大小：

（2）求\2cosA+8乂的最大值.

1°・设ZXABC的内角A,B,C所对边的长分别是弘b,c,且=J§or

（1）求角B

（2）求cosA+cosB+cosC的取值范用.

1]・在△ABC中.sin:

A-sin:

B—sin:

C=sinBsinC.

（1）求A：

（2）若BC二3,求AABC周长的最大值・

12-在设AABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,已知馅smB-2cos2仝£=0

2

<1）求角B的大小；

（2）若b=羽、求AABC的周长的取值范用.

13-设AABC的内角A,B,C所对边的长分別是a,b,c,且满足:

匸+c]

•sin

I

13J

3

cos2C一cos2A=2sin

（1）求角A的值：

（2）若a=^3且bMa,求b~-c的取值范围.

2

14・设ZkABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c>且a=8>ccosAcosB=2asinCcosB—ccosCo

（1）求tanB的值;

（2）若石.鬲二16，求b的值.

15.已知ZiABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,^3（acosC-b）=asinC.

（1）求角A;

（2）若点D为BC的中点，且AD的长为V3,求AABC而积的最大值.

答案解析

16•解：

（1）亠似？

中，b=3^c=^C=2B.

由正弦左理」_=亠，可得丄：

=-^-=—?

-=—-!

.

sinBanCsinBsinCsin2^2sEnBcosBsin^cos^

n2

S.cxasB=一・

（2）由

（1）知cosBng二血B"-cos2B=

二3=2鈕心42臂x卜学02—24—百

4（込非血込吟cos叫狛半导詁弊半严

17•解：

（1）Va=Aj5&siiiJ[—acos5*

由疋弦怎理可得=

又sin^[>0,.\石sinB-cosA=l,

由辅助角公式得2血

ccJT_JT5x_7T7T-X

v0-—

B-—=—^:

.B=—.

666663

（2）-j^ARC的而积为侖，

]r~JC

-\—ocsin^=\j3,由

（1）知E=—,.ac=4.

23

又b=2,由余弦定理得&2=a?

+c2-2deo*Sjff.

即4=a2+c2-2x4txjs—^/.ar2+c2=8,

3

又oc=4».\a=c=2.

18•解:

詹折jm山g<»C+EnA-fr+r及止弦琏理»

sinAcosC+x/TsinCsinA■■sinB•sinC.“w——

巩为B-w-A-C.所11sinB-sinAcosC+cosA血C•代人匕式并化简得

MnCsin.A•cos./lsinC•sinC.

|l|FsinC^O.所以sin（A—手）

（2価为«=73.6+c-3-4-y»

由余弦疋用料-A-+?

-26<-c^.4旧3-（A+c）--2&c-fec-9-3fc<所以加-N

而"十

所以乩r为•无：

次方程+—卜2-0的两觀・

所W.〃■1・〔・2或&・2・f・h19•解：

（1）由余弦左理可得夕=28二/十/一加-血询二了/，

:

c=2,a=2、区二厶感联?

的而积S=^acsnB=话；

（2）"A+C=3DO,

.smA+^3smC=sm（30°-C）+^smC

=-cossmC=sm（C+30°）=—»

22

v（r

?

所以sui2A+c0sA=-,

44

2。

•解：

（1）因为cos2+j4^+cos-4=

即1—txis2J[+txis^l=—,解得coSu<4=i»又0

42

（2）因为A=\所以cdsA=^^-^-=1,即H*K=bc①,

，将②代入①得，*2+c2-3（*-c）2=*c,

即262+2c2-5te=0i而b>cI解得b=2c>

所以a=^3c>故ft2=fl2+c2，

即5C是直角三角形.

21•解

（1）在AABC中，根据余弦立理,cW+b:

-2abcosC,

又因为ab+a"=c*,所以ab=b""2abcosC・

因为b>0,所以b-a=2acosC・

根据正弦宦理，sinB-sinA=2sinAcosC・

因为A+B+C二n,即A+€=n-B,

贝ljsinB=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinA二sinCcosA-sinAcosC・即sinA=sin（C-A）.

因为A,CW（0,“），则C-AE（-it,“），

所以C-A=A,或C-A=n-A（舍去后者）.

所以C二2A・

⑵因为Z^ABC的而枳为JsinB所以2a:

sin:

B=acsinB,

因为3>0,sinB>0,所以c=2asinB,

则sinC=2sinAsinB・

因为C二2A,所以2sinAcosA=2sinAsinB,所以sinB=cosA・

因为AW（0,三）,所以cosA二sin（—A），即sinB-sin（三—A）,

所以b=4-a或b=4^a.

当B=^-A,即A+B二鼻时,C=v；

卞Q6

当B于A时，由刃-3A=f+A,解得A=f,则O|・

综上,C宵或

22•解:

（1）因为^3a=2csinA

所以由正弦定理得V3sin^4=2sinCsinA,因为sin.A=0,

所以smC=^,

2

因为U是锐角，所以C=60°.

（2）由:

V-absinC=,:

.ab=69

22

又由于c?

2=a2+Z>2-2abcos60°

7=@+b）2-3ab=@M-18,（a+b）2=25,

所以<2+^=5.

23•解：

（1）由正弦左理得，的1=

sinCsinC

vsinC^O

二詬品/-cos_/4=2，即血（*-号=1.

ItJ7t511vO

666

_.兀_再丄_2再

A~———--A—.

623

（2）由Sm二屈可得S=-bcsnA=sj3.r.bc=4

2

vi+c=5

•••由余弦左理得：

a2=*2+c2-2&CCoSj4=^+c）2-*c=21

"=履

（3）由正弦立理得

若a=竹，贝临+c二2（sinB+sinC）二2（血直+鈕（彳-町）二2sin（B+导

因为g哼所以鈔吩哼•所以屁沖盼郭2.

所以&+c的范用

24•解:

cI＞由*狂定aa层设得“、〃二f"一如-5

lac又•••（）＜□＜〃•=

i—I

＜2）由（I）知Z4+ZC、节.

手A乎心+讣因为（）＜厶哼所以当切詐

VZcinA-fci>\C*肮得最犬值I•

25•解:

E屈辻潯係端嫁加脑A

5?

\*/）&"，¥〉厂・、・5“＞。

・■•沏*-r

5T・・b（r（ot/）沢円

⑵.0片2SH5C刁5阳士+QJ（爭｛〃）二"（加£）十去&0討"€（0,£）倦"（＜初灯臂“J）J・AG（筑計・・・A*，‘

26•解：

（1）由正弦左理可得：

BC2-AC2-AS^=ACAB.

/AC"店_B01

:

.casA==一—

2ACAB2

（2）由余弦左理得：

BC1=AC2+J£S2-lACABmA^AC^^AB1+JC-J5=9，

即（4C卄曲如=9・

（当且仅'^AC=AB时取等号），

..9=（AC+AB^-ACAB>（AC+AB^=?

（^C+J^）\

解得：

AC+AB<2^3（当且仅^AC=AB时取等号），

:

jlABC周长£=4C+4ff+BC<3^2占，JjlABC周长的最大值为3+2<§.

&+r*

27•解：

（1）V^sm5-2cos2—^=0

2

可得sin5-[cos（j4+C）4-1]=0即j3smB-（-cos+1）=0

b

根据辅助角公式:

asinx+bczx=』f+护sin（x+^P）,（tan（p-—）

vX^sin5+cos5=b2sin5+-=1,由于0cE

\6丿

2tf

解得8=—・

3

（2）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB

得3==&2+c2+ac=（a+c）2-acHP3+ac=（a+c）'

由ac<^L得3+必=仏+$兰3+旦

4i丿4

解得:

a+c<2•当且仅当a=c时取等号；

又a+c>Z?

得a+c>M；

所以75

UABC周长的取值范围为（2的,2十

28•解：

（1）由已知得2sin22sin2C=2f|cos2C-Isin2clt化简得二144丿-2

因为£为LABC的内角，所以sin^=^，故A=^或M・

233

（2）因为b>a,所以A=^.由正弦立理得二=—=亠=2、

3sin5sinCsinA

W^=2sinS,c=2sinC>

1

（2tt^b-—c=2sin5-sinC=2sin5-sin——-B

2

I3

29•解:

由正敘定PflU：

a=2XBialtcr2XMnC

乂/.・・inG*0

・H-24in*tmH—

rwlt=2切vlwzR+4♦〃）

.•.nivln■“s2%inlcu%H4xlctK/f—

.e.2*»mKi'wB«Hint>inlf

乂T#in.1^0•••Uifi/f-2

（2）vuji//=2/.cmH=#・

XvlS•Cfi^l6

r.arvg"s16XV

■••心2厅

••由余张宦却加•X=/令F-=8'・20・2其8其2圧）（^：

=52

30・解⑴由正弦定理'可得V3（sinAcosC-sinB）=sinAsinC.

VA+B+C=n,AB=n-（A+C）.

ZV3LsinAcosC-sin（A-r£）J=sinAsinC,

即-^3cosAsinC二sinAsinC,

V0

/.tanA=-V3-

V0AA=-^

3

（2）TAD为BC边上的中线「万二（蔚滋）・

O

又AD二厲•••3=4信子存+2忌-j2）=l（b=+c=-bc）汁匕

•••bcW12,当且仅当b二c时取得等号.

AS/.^csinA=^bc^3V3,当且仅当b二c时取得等号,

•••△ABC而积的最大值为3M丘