微积分求极限的方法.docx

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微积分求极限的方法

专题一求极限的方法

【考点】求极限

1、近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的概念求极限的题目已不会出现。

一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、xx法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，xx法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。

2、极限收敛的几个准则：

归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）

3、要注意除等价量代换和xx法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理化，变量代换等等。

4、两个重要极限，注意变形，如将第二个式子中的变成某趋向于0的函数以构造“”的形式的典型求极限题目。

5、一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如：

（1）利用归结原则将数列极限转化为函数极限

（2）函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。

有时可以利用这点进行解题，如因左右极限不相等而在这点极限不存在。

（当式子中出现绝对值和e的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）

（3）遇到无限项和式求极限时想三种方法：

①看是否能直接求出这个和式（如等比数列求和）再求极限

②夹逼定理

③用定积分的概念求解。

（4）如果f（x）/g（x）当x→x0时的极限存在，而当x→x0时g（x）→0，则当x→x0时f（x）也→0

（5）一个重要的不等式：

（）

*其中方法②③考到的可能性较大。

6、有关求极限时能不能直接代入数据的问题。

7、闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理）

8、此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。

【例题精解·求极限的方法】

方法一：

直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。

【例1】求极限

解=

注：

此题通过xx法则进行求解也非常方便。

还可通过变量代换构造等价量。

【例2】求极限

解

注：

1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化和采取倒变量的方法。

2、一个最基本的多项式极限（系数均不为0）：

①若n>m，则极限为正无穷；

②若n

③若n=m，则极限为。

（本质为比较次数）

要注意的是是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里的最高次的次来计算，如的次数为1。

方法二：

利用单调有界准则来证明极限存在并求极限

【例3】设，,证明存在并求之

方法三：

利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。

【例4】求极限

解因

而

故由夹逼定理=1

方法四&方法五：

等价量代换、xx法则——未定式极限。

（化加减为乘除！

）

【例5】求极限

解原式=

【例6】求极限

解=

【例7】求极限

解原式=

==

=

【例8】求极限

解：

直接运用xx法则和等价量代换可得

=

=

=

=

=1+4+9=14

【例9】求极限

解：

由换底公式，

=（）==

若，则极限为；若，则极限为，综上，极限为

方法六：

幂指函数求极限——取对数再取指数。

【例10】

解

【例11】

解

【例12】求极限

❉注意x是趋向正无穷，此时需要先分析底数和指数分别趋向于多少，分析底数xx底数趋向于正无穷。

但是指数arccotx这个函数不是很熟，可以通过图像先分析cotx再分析arccotx趋向于多少，最后得出结论是指数趋于0。

故是一个“”型，所以要用“先取对数再取指数”的方法。

对于之后arccotx的处理，若用xx比达对其求导则会发现再接下来比较难做，这里给出一个转化为熟悉的，可等加量代换的式子的方法，方法较灵活，需要对三角函数之间的转换有很深的熟悉度。

解原式===

===

❉关于第三个等号左右的变化：

令，则，故，，综上，

方法七：

运用xx定理求极限——适用于直接xx不好算时考虑的方法。

【例13】求极限

解,

代入原式可得，

原式===

方法八：

通过定积分的概念来求极限

【例14】求

解由于此题无法直接对式子进行化简，也无法用夹逼定理，故想到用定积分的概念来求解，即

原式=

=

=

此时由定积分的概念可将上面的和式看成被积函数在[0,1]上的定积分，故

==

【例15】求极限

解

【例16】

【分析】此题看似复杂，其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的和式求极限，故再次想到用定积分的概念求解。

故我们需要找到定积分概念中和式极限的“”和“”。

“”我们可以类似【例5】，自己把这一项构造出来，而这一项不同于我们以往做过的题目中经常取小区间的左端点或右端点，而是取了中间一个点，但是无论如何，由于“取点的任意性”，只要能表示成中的一种即可看作为0到1上的定积分。

解：

原式=

故原式=

【一些核心问题&问的很多的题目】

1、求极限的时候到底什么时候可以直接代进去？

【例子1】

【例子2】

【例子3】

【例子4】,

2、xx矿版微积分P104T107

令，化简方程

【一些练习题，有点难度，可做可不做】

1、

2、=1，=2，，，求

3、

答案：

1、1

2、0

3、