北师大版七年级数学下册公式方差 备课素材.docx

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北师大版七年级数学下册公式方差备课素材

5　平方差公式

第2课时　利用平方差公式计算

情景导入　

置疑导入　

归纳导入　

复习导入　

类比导入　

悬念激趣

图1－5－2

情景导入　教师用多媒体展示：

如图1－5－2，在边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．

（1）请表示图中阴影部分的面积：

S＝__a2－b2__．

（2）请你将阴影部分拼成一个长方形，并在上面画出来，这个长方形的长和宽分别是多少？

长＝__a＋b__，　宽＝__a－b__，S＝__（a＋b）（a－b）__．

（3）比较

（1）

（2）的结果，你能验证平方差公式吗？

[说明与建议]说明：

利用正方形面积转换成长方形面积，通过等积变形，得出平方差公式，使学生体会平方差公式的实际意义，理解数学知识与现实生活的密切联系，培养学生学数学、用数学的习惯．建议：

学生在独立思考的基础上进行交流、分析，通过对面积的不同表示，直观地体验平方差公式的具体应用．

置疑导入　问题：

（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特征．

（2）从以上的过程中，你能寻找出什么规律？

（3）请你用字母表示你所发现的规律，并得出结论．

[说明与建议]说明：

通过列举算式的简便运算，引起学生的学习兴趣．建议：

教学中教师注意引导鼓励学生用简便方法计算，教师根据情况可讲解、分析其中一题．教学中教师要充分引导学生体会用特例进行归纳、建立猜想，用符号表示并给出证明这一重要的探索过程，要让学生体会符号运算对证明猜想的作用．

归纳导入　自主探究：

计算下列多项式的积：

（1）（x＋1）（x－1）＝　__x2－x＋x－1__＝__x2－1__；

（2）（m＋2）（m－2）＝__m2－2m＋2m－4__＝__m2－4__；

（3）（2x＋1）（2x－1）＝__4x2－2x＋2x－1__＝__4x2－1__．

观察上述算式，你发现了什么规律？

运算出结果后，你又发现了什么规律？

图1－5－3

思考：

你能根据图1－5－3中的面积关系说明你发现的公式吗？

[说明与建议]说明：

以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学情景，加深学生的体验，增加学生学习数学和使用数学的信心．培养学生由观察——发现——归纳——验证——使用这一数学方法的逐步形成．建议：

鼓励学生大胆表达意见，积极与小组同伴合作，讨论、交流，然后统一看法．

复习导入　活动内容1：

平方差公式的结构特征

问题1：

平方差公式用字母如何表示？

问题2：

平方差公式用语言如何叙述？

问题3：

平方差公式中的字母可以表示什么？

活动内容2：

用平方差公式计算：

（1）（2x＋1）（2x－1）；　

（2）（－9x－2y）（－9x＋2y）；

（3）（8a2b－1）（1＋8a2b）．

[说明与建议]说明：

上节课直接利用多项式乘多项式法则，推导得到平方差公式，设计这一环节的目的是在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备．建议：

让学生在黑板上板书计算过程（第

（1）题由基础较薄弱的学生完成；第

（2），（3）题由基础较好的学生完成），其余学生在练习本上完成．讲评时教师让学生叙述平方差公式的特征及应用平方差公式的注意事项．

教材母题——第22页例3

用平方差公式进行计算：

（1）103×97；　　

（2）118×122.

【模型建立】

利用平方差公式的结构特征将两个数的乘积写成平方差的形式，要准确地确定对应的a和b.

【变式变形】

1．计算：

（1）10.2×9.8；　

（2）998×1002；　（3）2001×1999－20002；

（4）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）（264＋1）．

[答案：

（1）99.96　

（2）999996　（3）－1　（4）2128－1]

2．计算：

（1）（－x＋3y）（－x－3y）；　　

（2）（x－

）（x＋

）（x2＋

）；

（3）7

×8

.

解：

（1）（－x＋3y）（－x－3y）＝（－x）2－（3y）2＝x2－9y2.

（2）（x－

）（x＋

）（x2＋

）＝[x2－（

）2]（x2＋

）

＝（x2－

）（x2＋

）＝（x2）2－（

）2＝x4－

.

（3）7

×8

＝（8－

）（8＋

）＝82－（

）2＝64－

＝63

.

3．计算：

（a＋

b）（a－

b）－（3a－2b）（3a＋2b）．

[答案：

－8a2＋

b2]

[命题角度1]利用平方差公式化简计算

整式的化简计算中经常用到平方差公式，在使用公式的时候要注意符号的变化．

例　[衡阳中考]先化简，再求值：

（a＋b）（a－b）＋b（a＋2b）－b2，其中a＝1，b＝－2.

解：

原式＝a2－b2＋ab＋2b2－b2

＝a2＋ab，

当a＝1，b＝－2时，

原式＝1＋（－2）＝－1.

[命题角度2]利用平方差公式的结构特征探究规律

在算式中合理构造公式是发现规律的重要环节．

例　观察下列关于自然数的等式：

32－4×12＝5，①

52－4×22＝9，②

72－4×32＝13,③

…

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式：

92－4×（　　）2＝（　　）；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

解：

（1）92－4×42＝17.

（2）（2n＋1）2－4n2＝（2n＋1）＋2n.

[命题角度3]添项后运用平方差公式

通过适当的添项变形成平方差公式的形式，进行简便计算的一类题．解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．

例　计算：

（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1.

[答案：

216]

[命题角度4]利用平方差公式进行简便计算

利用平方差公式计算两个绝对值较大的数的乘积时，关键是将已知数写成两数和与这两数差的积的形式．

例　计算：

（1）1007×993；　　

（2）118×122.

解：

（1）1007×993＝（1000＋7）（1000－7）＝10002－72＝1000000－49＝999951.

（2）118×122＝（120－2）（120＋2）＝1202－22＝14396.

[命题角度5]利用平方差公式计算图形的面积

图形面积的计算往往是利用面积的不同表示方法将问题转化，进而达到求解的目的．

例　[宁波中考]一个大正方形和四个全等的小正方形按图1－5－4①②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__ab__（用含a，b的代数式表示）．

图1－5－4

计算：

（1）（a＋2）（a－2）；

（2）（3a＋2b）（3a－2b）；

（3）（－x－1）（1－x）；

（4）（－4k＋3）（－4k－3）．

解：

（1）a2－4.　

（2）9a2－4b2.　（3）x2－1.

（4）16k2－9.

P21　习题1.9

1．计算：

（1）（3x＋7y）（3x－7y）；

（2）（0.2x－0.3）（0.2x＋0.3）；

（3）（mn－3n）（mn＋3n）；

（4）（－2x＋3y）（－2x－3y）；

（5）

；

（6）（5m－n）（－5m－n）．

解：

（1）9x2－49y2.

（2）0.04x2－0.09.

（3）m2n2－9n2.

（4）4x2－9y2.

（5）

x2－4y2.

（6）n2－25m2.

2．计算：

（1）（an＋b）（an－b）；

（2）（a＋1）（a－1）（a2＋1）．

解：

（1）a2n－b2.

（2）a4－1.

P22　随堂练习

（1）704×696；

（2）（x＋2y）（x－2y）＋（x＋1）（x－1）；

（3）x（x－1）－

.

解：

（1）489984.

（2）2x2－4y2－1.

（3）－x＋

.

P22　习题1.10

1．计算：

（1）（2m＋3）（2m－3）；

（2）x（x＋1）＋（2－x）（2＋x）；

（3）（3x－y）（3x＋y）＋y（x＋y）；

（4）

－（3a－2b）（3a＋2b）．

解：

（1）4m2－9.

（2）x＋4.

（3）9x2＋xy.

（4）－8a2＋

b2.

2．用平方差公式进行计算：

（1）1007×993；

（2）108×112.

解：

（1）999951.　

（2）12096.

专题一与平方差公式有关的计算

1．用乘法公式计算：

①20132-2012×2014=___________；②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）=___________；

（x+y）（x2+y2）（x-y）（x4+y4）=___________.专题二与平方差公式有关的规律探究题

2．观察下列各式：

（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；

（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1.①你能否由此归纳出一般性规律：

（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x2+x+1）=________；②根据①求出1+2+22+…+262+263的结果.

专题三与平方差公式有关的图形问题

3．已知把正方形按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式．按图1所示划分，计算面积，便得到一个公式：

（x+y）2=x2+2xy+y2．若按图2那样划分，大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形，通过计算图中的面积，请你完成下面的填空．

（1）图2中大正方形的面积为__________；

（2）图2中两个梯形的面积分别为__________；（3）根据

（1）和

（2），你得到的一个数学公式为______________________．

专题四平方差公式的逆用

4．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：

4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”.

（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？

为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k是非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的

倍数吗？

为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？

为什么？

【知识要点】

1．平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2．

用语言叙述为：

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．

2．平方差公式的几何意义：

左边：

S阴=a2-b2；右边=（a+b）（a-b）.

上图可验证平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2.

【温馨提示】

1．这个公式是由多项式乘法直接计算得到的.

2．公式的特征：

左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，相同的项的平方减去符号相反的项的平方，只要符合这一特征，可运用公式进行计算.

3．平方差公式也可逆用，即a2-b2=（a+b）（a-b）.

（1）运用平方差公式计算时，一定要注意公式中相同的项为a，互为相反数的项为b，同时含有系数项的不要忘记给系数平方．

（2）进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要带上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算.

【方法技巧】

用公式时，找a与b的简便方法：

（1）由于（a+b）（a-b）可看作（a+b）[a+（-b）]，所以在这两个多项式中，a是相同的，而b与-b是互为相反数的，那么a2-b2就可看作是符号相同的项（a）的平方减去符号相反的顶（b与-b）的平方．

（2）运用平方差公式进行运算，是找出两个相乘的二项式中相同的项作为a，互为相反数的项作为b．

平方差公式常用的几种变形形式：

（1）位置变化：

（b+a）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2；

（2）符号变化：

（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-（a2-b2）；

（3）系数变化：

（2a+3b）（2a-3b）=4a2-9b2；

（4）指数变化：

（a2+b2）（a2-b2）=（a2）2-（b2）2=a4-b4；

（5）增项变化：

（a-b-c）（a-b+c）=（a-b）2-c2；…

答案：

1．①1②24n-1③x8-y8【解析】①20132-2012×2014=20132-（2013-1）（2013+1）=20132-20132+1=1.

②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）=（2-1）（2+1）（22+1）…（22n+1）=（22-1）（22+1）…（22n+1）…=24n-1．

原式=（x+y）（x2+y2）（x-y）（x4+y4）=（x2-y2）（x2+y2）（x4+y4）=（x4-y4）（x4+y4）=x8-y8．

2．解：

①（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x2+x+1）=xn-1；②原式=（2-1）（263+262+…+22+2+1）=264-1．

3．

（1）x2

（2）

（x+y）（x-y），

（x+y）（x-y）（3）x2-y2=（x+y）（x-y）【解析】

（1）图中大正方形的面积为x2；

（2）两个梯形的面积分别为

（x+y）（x-y）；

（3）x2-y2=2×

（x+y）（x-y），

即x2-y2=（x+y）（x-y）．

4．解：

（1）28=2×14=（8-6）（8+6）=82-62；2012=2×1006=（504-502）=（504+502）5042-5022，

所以是神秘数．

（2）是，理由：

（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），

∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．

（3）是，理由：

设两个连续奇数为2k+1和2k-1，

则（2k+1）2-（2k-1）2=8k=4×2k，

∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．

活用平方差公式　巧解数字运算题

平方差公式（a+b）（a－b）＝a2－b2，不但是研究整式运算的基础，而在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式无缘，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．现举例说明．

一、正向运用

例1　计算：

．

分析　由于数字较大，但考虑分母中的2005×2007可写成（2006－1）（2006+1），这样可直接运用平方差公式求解．

解　

＝

＝

＝

＝1．

说明　对于数字较大而相差有一定的规律的数字计算你不妨考虑运用平方差公式．

二、逆向运用

例2　已知S＝12－22+32－42+…+992－1002+1012，则S被103除的余数为＿＿＿．

分析　观察S中的因数特点可逆用平方差公式直接算出其结果看看．

解　逆用平方差公式，得S＝12－22+32－42+…+992－1002+1012

＝（1－2）（1+2）+（3－4）（3+4）+…（99－100）（99+100）+1012

＝－（1+2+3+4+…+99+100）+1012

＝－（1+100）×50+（1+100）2

＝5151．

所以S被103除的余数为1．

说明　对于两个因数或因式是平方差的形式都可以考虑逆用平方差公式．

三、巧妙运用

例3　计算：

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22n+1）的值．

分析　为了能便于运用平方差公式，观察待求式中都是和的形式，没有差的形式，这时可设法构造出差的因数，于是可乘以（2－1），这样就可巧妙的运用平方差公式了．

解　（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22n+1）

＝（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22n+1）

＝（22－1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22n+1）

＝（24－1）（24+1）（28+1）…（22n+1）

＝…＝（22n－1）（22n+1）＝42n－1．

说明　有些题目中虽然没有明显的公式可以套用，但通过适当变形后就会发现其中的奥妙．