北京工业大学信号处理工程应用训练.docx
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北京工业大学信号处理工程应用训练
北京工业大学
专业：
通信工程
学生姓名：
刘莹莹
指导教师：
席大林
完成时间：
2021年7月26日
通信系统工程应用训练报告
训练十一DFT性质研究
验证dft函数正确性
设置原始输入信号为x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}，将输入信号x[8]进行DFT正变换，dft（X,x,8,1），输出保存在X[8]，如下：
可以看到，输入信号x（n）已经变换到频域X（k），且仍为8位。
再对X[8]进行DFT反变换，dft（x,X,8,-1），重新得到x[8]，观察得到的输出与原始输入数据是否相同。
结果如下：
可以看到，输出的x[8]取值仍为x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}，证明经过DFT正反变换后，信号能够恢复原始信号。
根据帕塞瓦尔定理，应有时域、频域总能量相等：
。
经过计算，时域、频域能量和分别为
，证明时域、频域能量和相同，符合帕塞瓦尔定理。
综上，证明DFT变换正确。
A、补0效应研究
原数组：
x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,},{8,0}}
例如程序中补0后数组为：
x2[16]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0}}
补0方式
我使用的补0方式为：
for（i=8;i<13;i++）x2[i]=COMPLEX（0,0）;
补0后数组为：
x2[13]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0}}
结果分析与图
在时域中，信号长度增加，由于所增加的项均为零，波形仍与未补0时相同
未补零时的信号时域图
补5个零后的信号时域图补8个零后的信号时域图
经过DFT变换后，X（k）长度也会随着x（n）长度的增加而增加，且增加的值非零
未在末端补零时，信号频谱图
在末端补5个零时，信号频谱图在末端补8个零时，信号频谱图
可以看到，经过补0，经过DFT变换的频谱与未补零时形状根本相同，只是在长度上进行扩展，且补零数量越多，扩展越长。
可以理解为经过补0效应，增加了频域采样频率，但是由于信号未增加新的信息，因此不能提高物理分辨率。
在能量上，补5/8个零时，信号能量时域、频域能量和如下：
时域能量和、频域能量和始终相等，符合帕塞瓦尔定理，且能量与未插值时的相同。
B、插值效应研究
原数组：
x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,},{8,0}}
例如程序中插值后数组为：
x3[16]={{1,0},{8,0},{2,0},{7,0},{3,0},{6,0},{4,0},{5,0},{5,0},{4,0},{6,0},{3,0},{7,0},{2,0},{8,0},{1,0}}
插值方式
我使用的插值方式为：
for（i=0;i<16;i=i+2）{x3[i]=COMPLEX（1+i/2,0）;x3[i+1]=COMPLEX（i*0.5+2.5,0）;}
插值后数组为：
x[16]={{1,0},{3,0},{2,0},{4,0},{3,0},{5,0},{4,0},{6,0},{5,0},{7,0},{6,0},{8,0},{7,0},{9,0},{8,0},{10,0}}
结果分析与图
（1）在例如程序中，在x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}中反向插入原序列，使原序列变为x3[16]={{1,0},{8,0},{2,0},{7,0},{3,0},{6,0},{4,0},{5,0},{5,0},{4,0},{6,0},{3,0},{7,0},{2,0},{8,0},{1,0}}，再进行DFT变换，观察频谱，比照时域、频域能量和。
反向插值后，时域、频域图
可以看到，反向插值后，信号频谱有了很大的直流分量，且近乎左右对称。
从三维频谱图上可以看出，高频、低频局部实际上是共轭反对称：
反向插值后，三维频域图
。
符合帕塞瓦尔定理，且能量是未插值时的2倍。
（2）在x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}中插入序列{{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0},{9,0},{10,0}}，使原序列变为x3[16]={{1,0},{3,0},{2,0},{4,0},{3,0},{5,0},{4,0},{6,0},{5,0},{7,0},{6,0},{8,0},{7,0},{9,0},{8,0},{10,0}}，再进行DFT变换，观察频谱，比照时域、频域能量和。
插值后，时域、频域图
可以看到，插值后，信号频谱有了很大的直流分量，且近乎左右对称。
，符合帕塞瓦尔定理。
（3）在x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}中正向插入原序列，使原序列分别变为x2[16]={{1,0},{1,0},{2,0},{2,0},{3,0},{3,0},{4,0},{4,0},{5,0},{5,0},{6,0},{6,0},{7,0},{7,0},{8,0},{8,0}}，再进行DFT变换，观察频谱，比照时域、频域能量和。
正向插值后，时域、频域图
可以看到，正向插值后，信号频谱有了很大的直流分量，且近乎左右对称。
。
符合帕塞瓦尔定理，且能量是未插值时的2倍。
C、插0效应研究
原数组：
x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,},{8,0}}
例如程序中插0后数组为：
x4[16]={{1,0},{0,0},{2,0},{0,0},{3,0},{0,0},{4,0},{0,0},{5,0},{0,0},{6,0},{0,0},{7,0},{0,0},{8,0},{0,0}}
插0方式
我使用的插0方式为：
for（i=0;i<16;i=i+3）{x4[i]=COMPLEX（1+i/2,0）;x4[i+1]=COMPLEX（2+i/2,0）;x4[i+2]=COMPLEX（0,0）;}
插0后数组为：
x4[12]={{1,0},{2,0},{0,0},{3,0},{4,0},{0,0},{5,0},{6,0},{0,0},{7,0},{8,0},{0,0}}
结果分析与图
（1）在例如程序中，在x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}中，每隔一点，插入1个0值，使原序列分别变为x1[16]={{1,0},{0,0},{2,0},{0,0},{3,0},{0,0},{4,0},{0,0},{5,0},{0,0},{6,0},{0,0},{7,0},{0,0},{8,0},{0,0}}，再进行DFT变换，观察频谱，比照时域、频域能量和。
插0前，时域、频域图
插0后，时域、频域图
可以看到，插0后的频谱是对原始信号频谱的周期延拓。
画出三维图像，可以更直观地看出周期延拓关系：
未插入零/插入一个零后的三维频谱图
通过对插零后图像进行DFT运算，可以证明插零后的DFT是原信号DFT的周期延拓。
。
符合帕塞瓦尔定理，且能量与未插值时的相同。
（2）在x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}中，每隔两点，插入1个0值，使原序列变为
x4[16]={{1,0},{2,0},{0,0},{3,0},{4,0},{0,0},{5,0},{6,0},{0,0},{7,0},{8,0},{0,0}}，再进行DFT变换，观察频谱，比照时域、频域能量和。
插0后，时域、频域图
符合帕塞瓦尔定理
源程序：
//11yy.cpp:
Definestheentrypointfortheconsoleapplication.
//
#include"stdafx.h"
#include"D:
\xhclgcyy\x_math.cpp"
#include"D:
\xhclgcyy\x_graph.cpp"
voidplotgri2（COLORREFgridcolor,COLORREFlinecolor,COMPLEXp[],intN）
{
inti;
HPENpen1=CreatePen（PS_SOLID,1,gridcolor）,oldpen=（HPEN）SelectObject（win3.hdc,pen1）;
HPENpen2=CreatePen（PS_SOLID,1,linecolor）;
for（i=0;iSelectObject（win3.hdc,pen2）;
moveto2（0,p[0].r）;
for（i=0;iSelectObject（win2.hdc,oldpen）;
DeleteObject（pen1）;
DeleteObject（pen2）;
}
voidplotgri3（COLORREFgridcolor,COLORREFlinecolor,COMPLEXp[],intN）
{
inti;
HPENpen1=CreatePen（PS_SOLID,1,gridcolor）,oldpen=（HPEN）SelectObject（win3.hdc,pen1）;
HPENpen2=CreatePen（PS_SOLID,1,linecolor）;
for（i=0;iSelectObject（win3.hdc,pen2）;
moveto3（0,p[0].r,p[0].i）;
for（i=0;iSelectObject（win2.hdc,oldpen）;
DeleteObject（pen1）;
DeleteObject（pen2）;
}
voidmain（）
{
inti;
doublesumT,sumF;
COMPLEXx[8],//{{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,},{8,0}}
X[8],
x2[13],//={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0}}
X2[16],
x3[16],//={{{1,0},{1,0},{2,0},{2,0},{3,0},{3,0},{4,0},{4,0},{5,0},{5,0},{6,0},{6,0},{7,0},{7,0},{8,0},{8,0}}}
X3[16],
x4[12],//={{1,0},{2,0},{0,0},{3,0},{4,0},{0,0},{5,0},{6,0},{0,0},{7,0},{8,0},{0,0}}
X4[16];
//给待变换的复数数组赋值：
for（i=0;i<8;i++）{x[i]=COMPLEX（i+1,0）;X[i]=COMPLEX（0,0）;}
for（i=0;i<8;i++）x2[i]=COMPLEX（i+1,0）;
for（i=8;i<13;i++）x2[i]=COMPLEX（0,0）;
for（i=0;i<16;i=i+2）{x3[i]=COMPLEX（1+i/2,0）;x3[i+1]=COMPLEX（1+i/2,0）;}
for（i=0;i<16;i=i+3）{x4[i]=COMPLEX（1+i/2,0）;x4[i+1]=COMPLEX（2+i/2,0）;x4[i+2]=COMPLEX（0,0）;}
//第1步：
验证dft函数正确性
dft（X,x,8,1）;
for（i=0;i<8;i++）printf（"X[%d]=%f+%f\n",i,X[i].r,X[i].i）;
getch（）;
dft（x,X,8,-1）;
for（i=0;i<8;i++）printf（"x[%d]=%f+%f\n",i,x[i].r,x[i].i）;
getch（）;
for（sumT=0,sumF=0,i=0;i<8;i++）{
sumT=sumT+x[i].r*x[i].r;
sumF=sumF+X[i].r*X[i].r+X[i].i*X[i].i;}
printf（"时域能量和=%f,频域能量和=%f\n",sumT,sumF/8.0）;
window2（"函数图形显示",-20,40,20,-20,"t","f（t）"）;
xy2（BLUE）;
plotgri2（BLUE,RED,X,8）;
getch（）;
frame2（win2.xstr,win2.ystr）;
xy2（BLUE）;
plotgri2（BLUE,RED,x,8）;
getch（）;
window3（"周期信号频谱图",-1,-12,-12,20,12,12,"N","r","i"）;
xyz3（BLUE）;
plotgri3（BLUE,RED,X,8）;
getch（）;
frame3（）;
xyz3（BLUE）;
plotgri3（BLUE,RED,x,8）;
getch（）;
//第2步：
补0效应
dft（X2,x2,13,1）;
for（i=0;i<13;i++）printf（"X2[%d]=%f+%f\n",i,X2[i].r,X2[i].i）;
getch（）;
dft（x2,X2,13,-1）;
for（i=0;i<13;i++）printf（"x2[%d]=%f+%f\n",i,x2[i].r,x2[i].i）;
getch（）;
for（sumT=0,sumF=0,i=0;i<13;i++）{
sumT=sumT+x2[i].r*x2[i].r;
sumF=sumF+X2[i].r*X2[i].r+X2[i].i*X2[i].i;}
printf（"时域能量和=%f,频域能量和=%f\n",sumT,sumF/16.0）;
window2（"函数图形显示",-20,40,20,-20,"t","f（t）"）;
xy2（BLUE）;
plotgri2（BLUE,RED,X2,13）;
getch（）;
frame2（win2.xstr,win2.ystr）;
xy2（BLUE）;
plotgri2（BLUE,RED,x2,13）;
getch（）;
window3（"周期信号频谱图",-1,-12,-12,20,12,12,"N","r","i"）;
xyz3（BLUE）;
plotgri3（BLUE,RED,X,13）;
getch（）;
frame3（）;
xyz3（BLUE）;
plotgri3（BLUE,RED,x,13）;
getch（）;
//第3步：
插值效应
dft（X3,x3,16,1）;
for（i=0;i<16;i++）printf（"X3[%d]=%f+%f\n",i,X3[i].r,X3[i].i）;
getch（）;
dft（x3,X3,16,-1）;
for（i=0;i<16;i++）printf（"x3[%d]=%f+%f\n",i,x3[i].r,x3[i].i）;
getch（）;
for（sumT=0,sumF=0,i=0;i<16;i++）{
sumT=sumT+x3[i].r*x3[i].r;
sumF=sumF+X3[i].r*X3[i].r+X3[i].i*X3[i].i;}
printf（"时域能量和=%f,频域能量和=%f\n",sumT,sumF/16.0）;
window2（"函数图形显示",-20,20,20,-20,"t","f（t）"）;
xy2（BLUE）;
plotgri2（BLUE,RED,X3,16）;
getch（）;
frame2（win2.xstr,win2.ystr）;
xy2（BLUE）;
plotgri2（BLUE,RED,x3,16）;
getch（）;
window3（"周期信号频谱图",-1,-12,-12,20,12,12,"N","r","i"）;
xyz3（BLUE）;
plotgri3（BLUE,RED,X3,16）;
getch（）;
frame3（）;
xyz3（BLUE）;
plotgri3（BLUE,RED,x3,16）;
getch（）;
//第4步：
插0效应
dft（X4,x4,12,1）;
for（i=0;i<12;i++）printf（"X4[%d]=%f+%f\n",i,X4[i].r,X4[i].i）;
getch（）;
dft（x4,X4,12,-1）;
for（i=0;i<12;i++）printf（"x4[%d]=%f+%f\n",i,x4[i].r,x4[i].i）;
getch（）;
for（sumT=0,sumF=0,i=0;i<12;i++）{
sumT=sumT+x4[i].r*x4[i].r;
sumF=sumF+X4[i].r*X4[i].r+X4[i].i*X4[i].i;}
printf（"时域总和=%f,频域总和=%f\n",sumT,sumF/12.0）;
window2（"函数图形显示",-20,40,20,-20,"t","f（t）"）;
xy2（BLUE）;
plotgri2（BLUE,RED,X4,12）;
getch（）;
frame2（win2.xstr,win2.ystr）;
xy2（BLUE）;
plotgri2（BLUE,RED,x4,12）;
getch（）;
window3（"周期信号频谱图",-1,-12,-12,20,12,12,"N","r","i"）;
xyz3（BLUE）;
plotgri3（BLUE,RED,X4,12）;
getch（）;
frame3（）;
xyz3（BLUE）;
plotgri3（BLUE,RED,x4,12）;
getch（）;
}
训练十二DFT及抽样定理研究
D、给定单频信号抽样
1.对给定信号x（t）=sin（2πfct）,fc==50,N=264进行抽样，抽样频率分布为100Hz，110Hz，200Hz，230Hz，250Hz
。
单频信号抽样示意图
关于能量泄露的问题：
1.计算时域能量、频域能量。
观察是否满足Et=Ef=2|X50|2/N，假设抽样频率正确，即无泄漏。
fs=110Hz
fs=200Hz
Fs=230Hz
fs=250Hz
抽样定理指出，假设信号x（t）的最高频率为fc,当抽样频率fs2fc时，可由抽样信号x（nTs）完全恢复原信号x（t）。
此题中，fs≥100Hz，符合采样定理条件。
但在fs=100Hz时，由于采样点均是原信号x（t）取值为0的点，导致采样信号值始终为0，所以时域能量、频域能量始终为0。
其他采样频率时，时域、频域能量始终相等，约为132，符合帕塞瓦尔定理。
实验结果：
抽样频率为110Hz，200Hz时，没有发生能量泄漏，抽样频率为230Hz，250Hz时，发生能量泄漏。
计算是否发生能量泄漏的依据是，计算频率为原信号频率fc=50Hz处的频谱能量，E=2|X50|2/N。
而经过长度为N的DFT变换，对应f=50Hz的k点的计算公式为k=N*fc/fs。
当抽样频率为110Hz和200Hz时，k分别等于120和66，因此只需计算第120点和第66点的能量，就可以计算X50处的能量，不会发生泄漏。
但当抽样频率为230Hz，250Hz时，k不能取到整数值，只能取到近似值，能量会泄漏到周围频率上，会产生能量泄漏，这种泄露是由于非整周期采样引起的。
2.对x（t）=sin（2πfct）,fc==50进行fs=250hz的抽样，然后分别进行250点的DFT和补零至256点的FFT，并计算时域能量、频域能量。
观察是否满足Et=Ef=2|X50|2/N，假设抽样频率正确，那么无泄漏。
250点DFT
256点FFT
由实验结果可知，经过DFT、FFT前后均符合帕塞瓦尔定理，即时域、频域能量一致，均为原始信号能量125。
但在用DFT计算X50处的能量时，计算结果与原始信号能量相同，即未发生能量泄漏；在用FFT计算X50处的能量时，计算结果低于原始信号能量，即发生了能量泄漏。
因为取f=50Hz所对应的k值时，k=N*fc/fs。
对250点DFT，k=250*50/250=50，计算k=50这点的能量即可；对256点FFT，k=256*50/250，不能取到整数，因此能量会泄漏到周围的频率区间，即发生能量泄漏。
250点DFT256点FFT
由图可知，DFT在f=50Hz（k=50）的能量即是频谱上的全部能量。
而FFT由于补零之后，k不能取到整数，能量一定会泄漏到周围的频率区间，f=50Hz的能量并不是频谱上的全部能量，而是有其他频率分量，所以只计算f=50Hz处的能量时，会低于频谱上的全部能量。
结论：
所以对于DFT，只要满足k=N*fc/fs可以取到整数，即可实现无能量泄漏。
对于FFT，因为需要补零，所以能量一定会泄漏。
E、画出单频信号抽样后的频谱图F、标出频谱图上的单频信号位置
Fs=110Hz未发生能量泄漏Fs=200Hz未发生能量泄漏
F=50Hz对应k=120F=50Hz对应k=66
fs=230Hz发生能量泄漏fs=250Hz发生能量泄漏
F=50Hz无法对应整数kF=50Hz无法对应整数k
对X（k）信号进行反变换，再次得到x（n），与原始信号相比照，发现无论这五种抽样频率下，均能恢复原始信号。
说明采样频率fs大于信号最高频率fc时，能不失真地恢复原信号，符合帕塞瓦尔定理。
源程序：
//12yy.cpp:
Definestheentrypointfortheconsoleapplication.
//
#include"stdafx.h"
#include"D:
\xhclgcyy\x_math.cpp"
#include"D:
\xhclgcyy\x_graph.cpp"
COMPLEXx[264],Y[264],X50,X[264],x1[264];//{{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,},{8,0}},X[]做完DFT之后的,Y[]是取模之后的DFT,x1[]为反DFT
voidplotgri2（COLORREFgridcolor,C
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