二次项定理10大典型例题.docx

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二次项定理10大典型例题

（1）知识点的梳理

1.二项式定理：

（a+b）n=C>n+C\an~xb+…+C；af+…+C；；b"（ne/V*）,

2.基本概念：

1二项式展开式：

右边的多项式叫做的二项展开式。

2二项式系数:

展开式中各项的系数（—0丄2,…，仍.

3项数：

共（r+D项，是关于"与b的齐次多项式

4通项：

展开式中的第厂+1项C：

dT「叫做二项式展开式的通项。

用

7；+I=C[an-rbr表示。

3.注意关键点：

1项数：

展开式中总共有（”+1）项。

2顺序：

注意正确选择其顺序不能更改。

（"+〃）”与@+旷是不同的。

3指数：

"的指数从"逐项减到0,是降幕排列。

“的指数从0逐项减到〃，是升

專排列。

各项的次数和等于―

4系数：

注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是

WU，…,C：

…,c：

：

.项的系数是"与〃的系数（包括二项式系数）。

4.常用的结论：

令“=1,〃=圮（1+X）"=（7：

+€；〉+（7；兀2+・・・+（7：

兀「+・・・+（7：

^（〃0"・）

令a=l,Z?

=-x,

（1一力”=C：

：

-C：

x+G”一…++…+（_1）〃c：

：

x”（ne/v4）

5.性质：

①二项式系数的对称性：

与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

eg

邛，…CU

②二项式

系数和：

令a=b=\，则二项式系数的和为

U+C：

+C；+...+C：

+...+C；：

=2”,

变形式V+C：

+…+G；+…+C；=2”一1。

3奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令“=1上=—1,则U-c*+c：

Y+•••+（-1）"C；：

=（i-i）H=o,从而得到：

C：

+C：

+C：

・・・+C,7+•••=©+C；+…+C：

E+•••=*><2"=2心

乙

4奇数项的系数和与偶数项的系数和：

（a+x）"=C封亍+C\an-lx+Cy~2x2+…+C；＞°xn=°。

+q*+«rv2+…+

（x+a）n=C^xn+C\axn~}+C討严+…+=a„xn+…+如工++a0

令x=1,贝lja（）+a】+冬+如…+%=（a+1）”①

令尢=_1，贝ljd（）—q+ci-,—ciy+••■+%=（a—1）"

（2）

①+②得,+冬+%••+5=（"+$+（"_“（奇数项的系数和）①-②得,绚+佝+佑…+①=%+1）"_aj）"（偶数项的系数和）

5二项式系数的最大项：

如果二项式的幕指数”是偶数时，则中间一项的二项式系数C：

取得最大值。

如果二项式的無指数〃長奇数时，则中间两项的二项式系n-1Ji+l

数C产，C产同时取得最大值。

6系数的最大项：

求（a+bx）1'展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开

式中各项系数分别

A>A

为厲，4，・・・,4心，设第广+1项系数最大，应有；+，-/,从而解出r来。

IA+1n4+2

（2）专题总结

专题一

题型一：

二项式定理的逆用；

例：

c,1,+C2•6+C<62+...+C；；-6n~1=.

解：

（i+6）"=C；+C〉6+C：

-62+C：

-6'+..・+C：

：

.6”与巳知的有一些差距，

/.C；1+C^6+C^62+...+C；；-6w-,=l（C；1-6+C^62+...+C；；.6n）

O

=；C；+C：

・6+C；・62+...+C；・6"—l）=4[（l+6）"—l]=2（7"—l）

ooo

练：

C：

+3C；+9C；+・..+3"y=.

解：

设S”=C：

+3C：

+9C；+...+3"“C；,则

3S”=G：

3+C：

32+C；3'+...+C；：

3”=C：

+C：

i3+C：

32+C；3'+...+C；；3”一1=（1+3）”一1

e（1+3）"—14"一1

=丁

题型二：

利用通项公式求F的系数；

例：

在二项式（£+⑦,的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有疋的项的系数？

解:

由条件知C；；-2=45,即C；=45,/.用_八_90=0,解得n=-9（舍去）或«=10,由

1210-r2C

Tr+l=C；0（x^）i0-r（xV=C[ox~^r,由題意—罟+孑=3,解得尸=6,

则含有x3的项是第7项：

严G討=210+,系数为210。

练：

求（宀日展开式中塔的系数?

解：

刀+严C；（F）I（—丄）「=C；£Z『（一丄）=C$（—丄）*8®,令18—3厂=9,则2x22

r=3

故"的系数为C＜；（—

22

题型三：

利用通项公式求常数项；例：

求二项式（宀*“的展开式中的常数项?

r=C1/0（^）rx2°2",令20-|-r=0,得广=8,所以

乙乙

练：

求二项式（2一0的展开式中的常数项?

解：

7^=C：

（2x）i（-l）「J）y-l）y：

2i（；）、i,令6-2r=0,得厂=3,所

2x2

以7；=（-l）3C^=-20

练：

若（F+丄）"的二项展开式中第5项为常数项，则”=—.

X

解：

7；=C；（x2yz（ly=c；xer令2斤一12=0,#/?

=6.

题型四：

利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

例：

求二项式（仮-嶺）9展开式中的有理项？

1I27"?

7_厂

解:

7；..,=C；（匹）i（一卡丫=（—l）「c為k,令二_eZ,（O

所以当r=3时，迁工=4,7；=（-1）3C>4=-84x4,

77—r

当厂=9时，-——=3,710=（-1）3C>3=-x\

题型五：

奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和;

令兀=-1，则有如+q+…％=0,①，令x=l，则有

兔—q+勺一①H（—1）"©=2",②

将（D-②得：

2（q+偽+①+…）=一2"，二q+①+①+…=—2"“，有题意得，-2n-*=-256=-28,:

.n=9o

练：

若（”的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。

解：

C；+C；+C：

…+C；r+…=+C；+…+C；r+,+■•■=2n-1,2""=1024,

解得n=ll

所以中间两个项分别为”=6丿=7,7；+1=C：

（A6（5f4）5=462•才，

Tm=462-x^题型六：

最大系数，最大项；

例：

已知丄+2羽“，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数2

列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？

A?

:

C,f+C,t=2C,；,722-21/7+98=0,M出“=7或71=14,当〃=7时，展开式

中二项式系数最大的项是7；和7；.•.?

；的系数=C；（》2—字，7；的系数=C；G）32'70,当”=14时，展开式中二项式系数最大的项長人,乙

7；的系数=C?

4（|）727=3432。

练：

在（“+沪的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

解：

二项式的幕指数是偶数加，则中间一项的二项式系数最大，即7；”=Til+lt

J

也就長第川+1项。

练：

在（|-^r的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？

解：

只有第5项的二项式最大，则£+1=5,即心8,所以展开式中常数项为第

2

七项等于C；G）2=7

乙

练：

写出在（a-b）1的展开式中，系数最大的项？

系数最小的项？

解：

因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值,从而有7>Y詁芳的系数最小，7；=C>即系数最大。

练：

若展开式前三项的二项式系数和等于79,求（g+2x）”的展开式中系数最大的项？

解：

由C,?

+C,!

+C；=79,解出212,假设心项最V（l+2x）,2=（l）,2（l+4.r）12

乙厶

=（C[24r>C[-l4r~l到9.4S10.4,又v0

lA+CA+2匕；4、6了4川

■••r=IO,展开式中系数最大的项为心，有几=（》叱；；4呢。

=16896+°

练：

在d+2x）10的展开式中系数最大的项長多少？

M：

假设g项最大，严邙・2、「

r4+1>AJc^^C-2-解［2（117）"

lA.1N心2［久2厂>Cf2別，［r+l>2（10-r）

6.3<^<7.3,Xv0

7i=G：

27F=i5360J

题型七：

含有三项变两项；

例：

求当（F+3X+2）'的展开式中x的一次项的系数?

解法①：

（x2+3x+2）5=[（x2+2）+3a]\7；+1=C；U2+2）5-r（3x）r,当且仅当厂=1

时，丁冲的展开式中才有x的一次项，此时Tr^=T2=Cl（x2+2）43x9

所以％得一次项为C^C；243x

它的系数为C；U2°3=240。

解法②：

（x2+3x+2）5=（x+1）5（X+2）5=（Cfx5+C^x4+…+C；）（C^x5+C^x42+…+C；2：

）

故展开式中含x的项为C；aC^25+C：

x24=240x,故展开式中x的系数为240.

练：

求式子（|x|+l-2）3的常数项?

・・.7；+严（-1）叱：

=-20・题型八：

两个二项式相乘;

例：

求（1+2窃（1-切“展开式中F的系数.

解：

（l+2x）3的展开式的通项是C?

.（2xyn=C；.T.x'\

（1-A-）4的展开式的通项是q-（-A-）n=q--r-/\其中加=o,i,2,3,“=o,i,2,3,4,

令加+n=2,则加=0且〃=2,m=1且〃=1,m=2且"=0,因此（1+2x）3（l—x）4

的展开式屮F的系数等于c；.2°•C;-（-1）2+C^-2,-C；.（-l）,+Cj-22-C；-（-1）°=-6

练：

求（1+恢）6（1+*）®展开式中的常数项.

Iwn4m-3/t

解：

（1+賓）6（i+f）“）展开式的通项为C；”庐=C：

”CdxF

吋得展开式屮的常数项为c：

>-q+C：

•+C：

-cfo=4246.

练：

已知（1+"小（"丄）"的展开式中没有常数项/eN•且2

X

解：

（x+A）"展开式的通项为c；；x"=c：

・疋7\通项分别与前面的三项相乘可得

x

C：

.屮亠C；.十4",©・严4=・.・展开式屮不含常数项,2

.•・n工4厂且料H4r+1且川工4r+2,即办H4,8且nH3,7且nH2,6,/.n=5・

题型九：

奇数项的系数和与偶数项的系数和；

例：

在匕-血）2°°6的二项展开式中，含册奇次幕的项之和为s,当_v=V5时,s=

解：

设（x-迈严'=a0+q"+a2x2+a3x3+•••+°2006*'06①

（-尤-血）2006"+a2x2+...+«20（）6a:

2006®

①一®W2（qx+a3x3+a5^+…+n2005.v20（>5）=（x-a/2）2

/.（x->/2）2（x）6展开式的奇次幕项之和为S（x）=-[（x->/2）2006-（x+>/2）2（X）6]

2

3x2006

当x=血时,5（>/2）=1[（>/2-忑产-（x/2+血严]=-二一=-2呎

22

题型十：

賦值法；例：

设二项式（3奴+丄）”的展开式的各项系数的和为〃，所有二项式系数的和为

x

$,若

p+s=272,则"等于多少？

解：

若（3奴+丄）”=4+中+心：

+…+勺0，有卩=4+5+…+勺，

x

5=C^+--+C；；=2H,

令x=l得P=4J又“+s=272.即4〃+2〃=272=>（2“+17）（2〃—16）=0解得

练：

若3y[x——L

<\X）

2〃=16或2〃=-17（舍去），・・・〃=4・

的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少？

解：

令x=l,则

卜仮-冷”的展开式中各项系数之和为2"=64,所以”=6,

则展开式的常数项为C；（3仮），•（-*）'=-540.

练：

的值为

若（1一2x）2""=d（）++如疋+…+a2OO9x2IM>，>（xe/?

）,则牛+*+…+

222解：

令“*，可得4+今+守+...+笋=0,.•冷+》+•••+笋一。

在令“0可得q=l,因而今+守_+...+笋=_1.

练：

若（x-2）“=a5x5+a4x4+a3xy+a2x2+a}xl+q）,贝9®+a2+a3+a4+a5=・

解:

令x=0得q=—32,令x=1得q+a{+0+5+a4+a5=-1

:

.ax+a2+©+4+y=31・

题型十一：

整除性;

例：

证明：

32n+2-8n-9（ne^）能被64整除

证:

32n+2-8/?

-9=9'小一一9=（8+1）,,+1-8/?

-9

=酪肿+W+…+C：

：

82+C加+C：

：

Z-9

=C°_,8,,+1+C；I+18n+-.-+C；；-182+8（/7+l）+l-8n-9

=C加叩+C：

+崔+…+C,：

：

肾

由于各项均能被64整除32H+2-8//-9（neM）能被64整除

1、（x-1）11展开式中x的偶次项系数之和是

1、设f（x）=（x-l）11,偶次项系数之和是[⑴斗匕1）=（_2屮/2=—1024

2、CJJ+3C*+32C;+•••+3nC：

=2、

2、4"

3、3,9,15,21

4、（2x-l）5展开式中各项系数绝对值之和長

4、（2x-l）5展开式中各项系数系数绝对值之和实为（2x+l）5展开式系数之和，故令x=l,则所求和为3；

5、求（1+x+x2）（1-x）10展开式中十的系数.

5、（1+x+x2）（l-x）10=（1-x3）（l-x）9,要得到含£的项，必须第一个因式中的1与（1-x）9展开式中的项C：

（-x）4作积，第一个因式中的一£与（1-x）9展开式中的项C；（-x）作积，故（的系数是C；+C；=135.

6、求（l+x）+（l+x）2+・・・+（l+x）“展开式中£的系数.

6、（l+x）+（l+b+…（l+x）J（3）[i+x）%（x+m+l）,原式中

1-（1+X）X

X’实为这分子中的丘，则所求系数为cj

7>若f（x）=（1+x）m+（1+x）n（m•neN）展开式中，x的系数为21,问m、n为何值时，£的系数最小？

7、由条件得m+n=21,x?

的项为C；x2+C；x2,则C：

+C：

=（n-弓尸+罟.因nWN,故当n=10或11时上式有最小值，也就長m=ll和n=10,或m=10和n=ll时，£的系数最小.

8、自然数n为偶数时，求证：

1+2C；+C：

+2C：

+C：

+…+2CT+C：

=3-2n_1

8、原式=（U+C：

+C-+-+C：

-1+C：

）+（C：

+C：

+C：

+-+C：

-,）=2n+2"-1=3.2心

9、求80"被9除的余数.

9、80"=（81-l）n=C^8111-C^l10+-■•+C*®81-1=81A:

-i（keZ）,

Vkez,A9k-1GZ,A81"被9除余&

10、在（x2+3x+2）5的展开式中，求x的系数.

10、（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5

在（x+1）5展开式中，常数项为1,含x的项为C；=5x,在（2+x）5展开式中，常数项为2$=32,含x的项为C；24x=80x

・•・展开式中含x的项为l・（80x）+5x（32）=240x,此展开式中x的系数为240.

11、求（2x+l）12展开式中系数最大的项.

11、设Tw的系数最大，则T申的系数不小于T「与Tt的系数，即有

C；2>2C；；1

>C；2'121,_r

2c；2>c；r

=>3-

33

・•・展开式中系数最大项为第5项，T5=16C；2x4=7920x4