四年级下册数学试题奥数专题讲练10 行程二 精英篇解析版全国通用.docx

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四年级下册数学试题奥数专题讲练10行程二精英篇解析版全国通用

第十讲行程

（二）

在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！

知识点：

1、直线型的相遇与追及问题

想挑战吗？

苏步青教授是我国著名的数学家.有一次在外国，他在电车上碰到一位有名的德国数学家，这位德国数学家出了一道有趣的数学题让他做，这道题是：

“两地相距50千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行.甲每小时走3千米，乙每小时走2千米．甲带着一只狗，狗每小时走5千米.这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉转头来往甲这边走，碰到甲时又往乙这边走，直到两人碰头.问这只狗一共走了多少千米路？

”苏步青略加思索，未等下电车就把正确答案告诉了这位德国数学家.同学们，你们也来试一试，会解吗？

2、环形上的相遇与追及问题.

分析：

要求狗走的路程，速度已知，关键是求出狗所走的时间.经过认真审题，不难发现狗行走的时间与甲、乙二人的相遇时间是相等的.这就是一道行程问题应用题.甲、乙二人相遇时间为：

50÷（3+2）=10（小时），狗的速度是5千米/时，所以，狗所走的路程一共是：

5×10=50（千米）.

1.甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：

二人几小时后相遇？

分析：

出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.

30÷（6＋4）＝30÷10＝3（小时）.

2.甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：

乙经过多长时间能追上甲？

分析：

出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.

10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时）.

在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.

甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么

A,B之间的路程=甲走的路程+乙走的路程

=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间

=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间.

一般地，相遇问题的关系式为：

速度和×相遇时间=路程和，即

有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：

追及路程=甲走的路程-乙走的路程

=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间

=（甲的速度-乙的速度）×追及时间=速度差×追及时间.

一般地，追击问题有这样的数量关系：

追及路程=速度差×追及时间，即

（14）直线型的相遇问题：

【例1】王老师从甲地到乙地，每小时步行5千米，张老师从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.

分析：

画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？

）

　　离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，王老师走了两地距离的一半多1千米，张老师走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，王老师比张老师多走了2千米

　　王老师比张老师每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2÷（5-4）＝2（小时）.

　　因此，甲、乙两地的距离是（5＋4）×2＝18（千米）.

[巩固]夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇?

分析：

根据题意，两人相遇时经过的时间为：

1100÷（50+60）=10分钟，10分钟夏夏走了50×10=500（米），两地的中点距离夏夏的出发地距离为：

1100÷2=550，所以两人相遇处距离两地中点550-500=50米远.

【例2】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离．

分析：

画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：

95×3-25=285-25=260（千米）．

[拓展]甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的A地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？

分析：

教师注意帮助学生画图分析.

从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程.已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行（70—60=）10千米，120÷10=12（小时），说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时.那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是

（60+70）×6=780（千米）

【例3】甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度.

分析：

甲车每小时比乙车快60-48＝12（千米）.则5小时后，甲比乙多走的路程为12×5＝60（千米）.也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5＝1小时后相遇，所以，可求出卡车的速度为60÷1-48＝12（千米/小时），卡车在与甲相遇后，再走8-5＝3（小时）才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此，丙的速度也可求得，应为：

（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小时）.

所以卡车的速度：

（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小时），

　　丙车的速度：

（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小时），

[拓展]甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米.甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后3分钟又与丙相遇.求东西两村的距离.

分析：

先画示意图如下：

　　甲、乙相遇后3分钟，甲、丙相遇.甲、丙在3分钟内共走路程是（100＋75）×3＝525（米）.显然，这就是甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，乙比丙每分钟多走80－75＝5（米）.所以，甲、乙相遇时离出发的时间是525÷（80－75）=105（分钟）.

　　两村间的距离是：

　　（100＋80）×[（100＋75）×3÷（80-75]＝180×（525÷5）＝18×105=18900（米）

[趣味数学]皮皮和琪琪乘车从城里到郊区去，琪琪对皮皮说：

“我发觉每隔5分钟就有1辆迎面开来的客车和我们擦肩而过，如果两面对来的客车速度一样，在1小时有多少辆客车开到城里？

”

“那还用说，当然是12辆了，因为60除以5等于12.”皮皮说.

但是琪琪不同意他的解答，认为是6辆.你知道他们谁正确吗？

分析：

当然是琪琪正确.假设皮皮他们所乘的客车从与第一辆对开的客车相遇A点与到第二辆客车相遇B点相隔5分钟，那么第二辆对开的客车要从B点达到A点好需要5分钟，也就是两辆对开的客车之间的时间间隔为10分钟，60÷10=6（辆）

（二）直线型的追及问题

【例4】军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？

分析：

“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.即（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），所以，经过20分钟可开炮射击“敌”舰.

[前铺]下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？

（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.

分析：

若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？

40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟）

【例5】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

分析：

画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是

4＋8＝12（千米）.

　　这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.

少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分.

[前铺]小明步行上学，每分钟行70米.离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明？

分析：

爸爸要追及的路程：

70×12=840（米）,爸爸与小明的速度差：

280-70=210（米/分）,爸爸追及的时间：

840÷210=4（分钟）.

【例6】小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？

分析：

小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为20÷5=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4×6=24（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度.综合列式计算如下：

小蓝的速度为：

20÷5×6÷4=6（米/秒），小红的速度为：

6+4=10（米/秒）

【例7】张、李、赵三人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米；赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时到达乙地．那么赵追上李的时间是几时?

分析：

赵追上李是追及问题，但是赵的速度我们并不清楚，这需要从赵、张同时到乙地来计算．

本题的解题过程分三步．

第一步：

求出甲、乙两地距离．

张早上6时出发，晚上6时到，用12小时，每小时5千米，所以甲、乙两地相距5×12=60千米．

第二步：

求出赵的速度．

赵早上8时出发，晚上6时到，用10小时，走了60千米，每小时走60÷10=6千米．

第三步：

追及问题．

赵出发时，李已出发2小时，此时与甲地相距4×2=8千米，赵追上李用8÷（6-4）=8÷2=4小时．

所以，赵追上李是上午12时．

评注：

本题需要逆向思维，根据所需从题目条件中找，分析思考的过程可以说正好与详解的顺序相反，按我们的需要一步步找上去，直到题目满足我们的要求为止．

（三）环形上的相遇与追及问题

【例8】在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？

分析：

同向而跑，2分30秒相遇，这实质是快的追上慢的.起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大.接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈.

　　这就是所谓的追及问题，数量关系为：

路程差÷速度差=追及时间，由题意，得知路程差为300米，追及时间为2分30秒，即150秒，因此两人速度差为300÷150＝2（米）

　　背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：

路程和÷速度和=相遇时间，由题意，可以求得两人的速度和为300÷30＝10（米）

　　有了两人的速度和与速度差，即可求得两人的速度：

　　慢者：

（10-2）÷2＝4（米），

　　快者：

10-4＝6（米）

[巩固]小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是200米/分.

（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？

（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？

分析：

（1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500÷1-200=300（米/分）.

（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：

500÷（300-200）＝5（分）.300×5÷500＝3（圈）.

【例9】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.

分析：

第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是

80×3＝240（米）.240-60=180（米）.180×2＝360（米）.

[拓展]一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？

分析：

先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米.30÷（5-3）＝15（秒）.

　　因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）＝45（秒）.

　　B与C到达同一位置，出发后的秒数是15，，105，150，195，……

　　再看看A与B什么时候到达同一位置.

　　第一次是出发后30÷（10-5）=6（秒），

　　以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要90÷（10-5）＝18（秒），

　　A与B到达同一位置，出发后的秒数是　6，24，42，，78，96，…

　　对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.

【例10】实验小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？

分析：

这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致.因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程.

（1）冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：

200÷（6-4）=100（秒）

（2）冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：

6×100=600（米）

（3）晶晶第一次被追上时所跑的路程：

4×100=400（米）

（4）冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：

（600×2）÷200=6（圈）

（5）晶晶第2次被追上时所跑的圈数：

（400×2）÷200=4（圈）

本讲主要讲了行程问题中的相遇与追及问题，在四年级的寒假班我们会继续学习更复杂的行程问题，希望同学们再接再厉，加油！

1.（例1）大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？

分析：

大头儿子和小头爸爸的速度和：

3000÷50=60（米／分钟），小头爸爸的速度：

（60+24）÷2=42（米／分钟），大头儿子的速度：

60—42=18（米／分钟）.

2.（例4）龟兔赛跑同时出发，全程7000米，乌龟以每分30米的速度爬行，兔子每分钟跑330米．兔子跑了10分钟就停下来睡觉，200分钟后醒来，立即以原速往前跑．当兔子追上乌龟时，他们离终点的距离是多少千米?

分析：

线段图如下：

兔子追乌龟的追及路程差为：

30×（10+200）-330×10=3000（米），根据公式

兔子追上乌龟的追及时间为：

3000÷（330-30）=10（分），离终点的距离为：

7000-330×（10+10）=400（米）.

3.（例6）东东、西西二人练习跑步，若东东让西西先跑10米，则东东跑5秒钟可追上西西；若东东让西西先跑2秒钟，则东东跑4秒钟就能追上西西.问：

东东、西西二人的速度各是多少？

分析若东东让西西先跑10米，则10米就是东东、西西二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5=2（米/秒）；若东东让西西先跑2秒，则东东跑4秒可追上西西，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4=8（米），也即西西在2秒内跑了8米，所以可求出西西的速度，也可求出东东的速度.综合列式计算如下：

西西的速度为：

10÷5×4÷2=4（米/秒），东东的速度为：

10÷5+4=6（米/秒）

4.（例9）如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行.它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点处6厘米的D点，问，这个圆周的长是多少?

分析：

如上图所示，第一次相遇，两只小虫共爬

行了半个圆周，其中从A点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两

只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从A点出发的应爬行8×3=24（厘米），比半个圆周多6厘米，半个圆周长为8×3—6=18（厘米），一个圆周长就是：

（8×3—6）×2=36（厘米）

5.（例10）小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第一次超过正南需要多少分钟？

第三次超过正南需要多少分钟？

分析：

小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据

，可知小新第一次超过正南需要：

800÷（250-210）=20（分钟），第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要800×3÷（250-210）=60分钟.

让偷盗者赛跑

“你是抢劫犯!

”

“你才是抢劫犯呢!

”

“是怎么回事呀?

”警察车良见前面有争论的，就对身边的田大凯说，“走!

我们看看去.”当他们俩来到两个争论的人面前，他们仍争论得很厉害，无法区分是抢劫者.“这是怎么回事呀?

”车良问.这时，一帮人簇拥着一个老太太过来，一个说：

“还是你自己把事情告诉大家吧!

”原来，黄昏时分，老太太提着一个提包从一个胡同出来，突然窜出一个强盗，二话没说，把老太太的提包夺过来就跑.然后又有一个人马上追上去抓住了强盗.老太太也没有看清楚那个人是个什么样子.面对两个人同时出现她也说不清是哪个.

“把他们送到警察局去处理吧!

”有人提议.“到那里也没有法说清楚呀!

，’有人说，“公说公有理，婆说婆有理.这怎么能断得清呀?

”

车良对吵吵嚷嚷的人大声说：

“大家安静下来，这两个人就不用送警察局了.现在，我们就可把抢劫者定下来!

到时候，我们会把他带走的!

”“你们怎么定啊?

”有人不理解地问.“这可不是开玩笑的呀!

”有人在提醒.“请大家放心.”车良说，“我们是有办法的.我们让他们来一个百米冲刺，跑一跑就可以定下来.”车良对大凯说：

“大凯，你到前面大约100米的地方计时，我到时候打一枪，你听到枪声就马上计时，把他们的百米跑成绩记下来.”

然后，车良大声说：

“大家听好，你们两个人也听好.”他用手指指了那两个“抢劫者”，“现在你们这两个人进行百米赛跑，通过赛跑我就可以断定哪一个是抢劫者.谁跑得快，谁就是好人!

大家闪一闪.现在赛跑开始!

预备!

”

“叭!

”一声枪响，那两个人拼命地向前跑了起来.不一会儿，大凯押着那两个人来到了大家面前.

“那个年轻人百米速度为12秒；那个老一点的人百米速度为15秒.”大凯指着他们说.车良对那个年轻人说：

“谢谢你!

你是一个正直的人.”田大凯对那个年老的人说：

“你就是抢劫者，要受到应有的惩罚.走!

跟我们到警察局去!

”说完，车良和田大凯押着那个人就走.

“哎!

奇怪，怎么跑一跑就能断出哪个是抢劫者呢?

”人们议论着.“真是不可思议呀!

”

你明白这个道理了吗?

这是因为当老太太的提包被抢了之后，过了一会儿才有一个人追赶，后来被追上的那人却说对方是强盗.从这里不难看出破绽，追抢劫者的人肯定要比抢劫者跑得快，否则后者不会追上前者.所以，让两个人进行百米赛跑测一下速度就行，就可以判断出谁是抢劫者.