因式分解经典讲义精.docx
《因式分解经典讲义精.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解经典讲义精.docx（41页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
因式分解经典讲义精
第一章
分解因式
【知识要点】
1.分解因式
（1）概念：
把一个
化成几个
的形式，这种变形叫做把这个多项式分解
因式。
（2）注意：
①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。
2分解因式的结果中，每个因式必须是整式。
3分解因式要分解到不能再分解为止。
2•分解因式与整式乘法的关系
整式乘法是
分解因式是
所以，分解因式和整式乘法为系。
3•提公因式法分解因式
（1）公因式：
几个多项式因式。
（2）步骤：
①先确定,②后。
（3）注意：
①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。
②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。
4•运用公式法分解因式
（1）平方差公式：
（2）完全平方公式：
注：
分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。
【考点分析】
考点一：
利用提公因式法分解因式及其应用
【例1】分解因式：
【随堂练习】
1.分解因式：
（2）（mn）（mn）（nm）（m2n）
、小34“23小22
（1）2xy10xy2xy
注：
（1）公因式应按“系数大（最大公约数），字母同，指数低”的原则来选取。
（2）当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1，而不是没有。
（3）当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提岀“”号。
（4）利用分解因式整体代入往往应用于代数式的求值问题。
考点二：
利用平方差公式分解因式及其应用
【例3】分解因式:
解析：
（1）题：
原式从整体看符合平方差公式，所以整体套用平方差公式;
2222
（2）题：
pq（p）（q），所以符合平方差公式，此题注意分解完全。
22
答案：
（1）（4x1）（2x3）;
（2）（pq）（pq）（pq）。
（2）20082200720099992.
同的情况，再利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，最后凑出除数。
712271214121221211
366（6）6666（61）6g356gl40
712
所以366能被140整除。
【随堂练习】
1.分解因式:
（1）ax4a
22
（2）9x（ab）y（ba）
2•利用分解因式说明：
257512能被60整除.
注：
（1）平方差公式的结构特征是：
二项式，两项都是平方项，且两项符号相反;
（2）公式中的a,b可以是具体数，也可以是代数式；
（3）在运用平方差公式的过程中，有时需要变形。
考点三：
利用完全平方公式分解因式及其应用
【例6】
（1）分解因式：
abx22abxyaby2
12
（2）已知一x2bx36是完全平方式，求b的值。
4
（3）计算：
9999999919999.
解析：
（1）题：
原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式进行分解。
（2）题：
此种题型考察完全平方公式的特征，中间项是首尾两项底数积的2倍（或
其相反数）
x3y3，整体代入求值。
【随堂练习】
1.
（1）分解因式：
2（ab）（ab）21
（2）若多项式a2（k1）ab9b2能运用完全平方差公式进行因式分解，求k的值。
（3）1999199920001999
2.
（1）已知：
ab5,ab3，求代数式ab2abab。
122
（2）当st—时，求代数式s2stt的值。
2
注：
（1）完全平方公式的结构特征是：
三项式，首尾两项分别为两个数的平方，中间项是两个底数积的2
倍（或其相反数）；
（2）公式中的a,b可以是具体数，也可以是代数式；
考点四：
综合利用各种方法分解因式及其应用
【例8】分解因式:
解析：
（1）、
（2）题都应先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解。
22
答案：
（1）（3m2n）（3m2n）；
（2）（a2c）（a2c）。
一121212
【例9】（福建•漳州）给出三个多项式：
x22x1,—x24x1-x22x，请选择你
222
最喜欢的两个多项式进行加减运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。
解析：
本题是一道开放题，只要所得整式可以因式分解。
本题可任取两个多项式进行加法运
12122
算再因式分解。
如：
2x1）（x4x1）x6xx（x6）
【例10】已知a,b,c分别是三角形ABC的三边，试证明（a2b2c2）4a2b20
解析：
已知a,b,c分别是三角形ABC的三边，可以想到利用三角形的三边关系，再由不等式的左边是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。
/2「22、/2「2/2「222.22
（abc）4ab（abc2ab）（abc2ab）
2222
abcabc
（abc）（abc）（abc）（abc）
由三角形三边关系可知，上式的前三个因式大于0,而最后一个因式小于0,则有:
/2,22Z2
（abc）4ab0
【随堂练习】
1.分解因式：
22、22242
（1）（xy）4xy
（2）a6a27
2.（2009，吉林）在三个整式：
x22xy,y22xy,x2中，请你任意选出两个进行加（或减）法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。
注：
分解因式的一般步骤可归纳为：
“一提、二套、三查”。
一提：
先看是否有公因式，如果有公因式，应先提取公因式；
二套：
再考察能否运用公式法分解因式；运用公式法，首先观察项数，若为二项式，则考虑用平方差
公式；若为三项式，则考虑用完全平方公式。
三查：
分解因式结束后，要检查其结果是否正确，是否分解彻底
【巩固提高】
」、选择题
1
.下列从左到右的变形中，是分解因式的有（
2•下列多项式能分解因式的是（
3•下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（
abacbc，那么△ABC的形状是（
222
4.a、bc是△ABC的三边，且abc
A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形
2
5•如果9xkx25是一个完全平方式，那么k的值是（）
A、15B、5C、30D、30
2
6.已知多项式2xbxc分解因式为2（x3）（x1），则b,c的值为（）
A、b3,c1B、b6,c2C、b6,c4D、b4,c6
22xy
7•已知2x3xyy0（xy0），贝U的值是（）
yx
111
A、2或2B、2C、2D、2或2
222
232
8•若（pq）（qp）（qp）E，则E是（）
A、1
q
p
B、q
pC、1pqD、
1qp
9.已知二次三项式
x2bx
c可分解为两个一次因式的积（x
）（x），下面说法中错
误的是（
）
A、若
b
0,c
0,则、
同取正号；
B、若
b
0,c
0,则、
同取负号；
C、若
b
0,c
0,则、
异号，且负的一个数的绝对值较大；
D、若
b
0,c
0,则、
异号，且负的一个数的绝对值较大。
10•已知a2002x2003,b2002x2004,c2002x2005,则多项式a2b2c2abbeca的值为（）
A、0B、1C、2D、3
二、填空题
5
11.分解因式：
m4m=.
12•在括号前面填上“+”或“―”号，使等式成立：
（yx）2_（xy）2
2
13•若xmx9是一个完全平方式，则m的值是；
222ab
14.已知：
ab0,aab2b0，那么的值为.
2ab
422224
15
.△KBC的三边满足abcacb0,则AABC的形状是.
n2n1
18•分解因式：
xaby（ba）
.（第16题图）
16.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以
22
19•若a2ab6b100,
2
20•若（x
三、解答题
21.分解因式:
22222.
y）（xy1）12,则（xy）
132213
22•先分解因式，再求值：
已知
ab2，ab2，求一ababab的值
22
222222
23•设ai31,a253,,an（2n1）（2n1）（n为大于零的自然数）
探究an是否为8的倍数，并用文字语言表达你所得到的结论。
25•阅读下列计算过程:
99X99+199=992+2X99+1=（99+1）2=1002=104
（1）计算:
9999X9999+19999=:
（2）猜想9999999999X9999999999+19999999999等于多少？
写出计算过程。
第三章分式
【知识要点】
A
1.分式的概念及特征：
A、B表示两个整式，A—B就可以表示成的形式，如果B
B
A
中含有字母，式子就叫做分式。
B
a
2.分式有意义、无意义的条件：
因为0不能做除数，所以在分式中，有：
B0则
B
aa
有意义；B0则一无意义。
BB
3
.分式值为零的条件：
分式的值为零要同时满足：
分母的值不为零，分式的值为零这
4.分式的符号法则:
5.
分式的运算
be_adbebd=bd
注:
1.无论是探求分式有意义、无意义的条件，还是分式值等于零的条件，都将转化成解方程或不等式的问题。
2.分式约分步骤：
（1）找岀分式的分子与分母的公因式，当分子分母是多项式时，要先把分式的分子和分母分
解因式。
（2）约去分子与分母的公因式。
3.最简公分母的确定：
（1）当几个分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母的积；
（2）如果各分母都是多项式，应先把各个分母按某一字母降幂或升幂排列，再分解因式，找出最简公分母。
【考点分析】
考点一：
分式有意义、无意义、值等于零的条件（重点）
【例1】（2009，天津）若分式
2
x
~~r
x
x2
2x1
的值为零，贝Ux的值等于
答案：
2
评析：
由于x2
x2可得（x
2）（x1）0，解得x2或x
1。
又因为x
1时,
2
x2x10；x
2时，x22x1
0。
所以要使分式的值为零,
x的值只能等于2。
【随堂练习】
1.若分式
x1
—的值为0,则x的值等于
x1
2.若分式
xx6
厂二的值为零，则X的值等于
考点二:
分式的约分
I例2】（2009，吉林）化简x^的结果是（）
x
A
x
B
cy
Dy
/v.
x2
LJ.
x2
x2
x2
答案：
D
评析：
观察题中所给分式，分子、分母都为多项式，且都能分解，因此应先将分子分
注：
1.在应用分式的基本性质时要充分理解"都"和"同"这两字的含义
2.约分的结果是最简分式或整式。
【随堂练习】
22
1.（2008，太原）化简卫2——的结果是（）
mmn
2•化简（y丄）（x-））的结果是（）
xy
xx
B.C.—
yy
考点三：
分式的加减运算（重点）
答案：
c
评析：
先通分化为同分母分式，再进行加法运算。
1a1
+=—
a（a1）a（a1）
11a
+=-
a1a（a1）a（a1）
注:
1.同分母分式加减运算中的“把分子相加减”是指把各个分式的“分子的繁体相加减，故当分子是多项式时，应加括号。
2.通分和约分是两种截然不同的变形，约分是针对一个分式而言，通分是针对多个分式而言；
约分是将一个分式简化，通分是将一个分式化繁。
【随堂练习】
22
X
（2008，杭州）化简——
的结果是（
）
xy
yx
A.xy
B.yx
C.xy
D.xy
考点四：
分式的乘除运算
注：
先化简再求值，运算更简便，分式的乘除运算要进行到分式和分母不再有公因式为止。
【随堂练习】
化简
22
xyx26xy9y2
x2
x24x4
x
4x2
考点五：
分式的混合运算
【例5】（2010，常德）化简：
（1一^）2x2
yxyx
评析：
原式=yxy
yx
（yx）（yx）
=yx
x
注：
1.正确运用运算法则；
2.灵活运用运算规律；3.运算结果要最简化
【随堂练习】
3a1（2010，泸州）化简：
（1）—
a2a4
考点六：
条件分式求值的常用技巧（难点）
【例6】已知1丄3，则分式2X3xy2y的值为
xyx2xyy
答案：
3
5
评析：
由已知条件不能直接求出x,y的值，所以考虑将已知条件向着所求代数式的方向
11yx
进行变形转化，通过整体代换解决问题。
由
3,可得3,所以xy3xy,
2（3xy）3xy_3
3xy2xy5
xyxy
所以原式=2（xy）3xy=
（xy）2xy
注：
条件分式求值主要方法有：
xyz
1.参数法：
当已知条件形如所要求值的代数式是一个含x,y,z而又不易化简的分式
abc
xvz
时，常设k（k就是我们所说的参数），然后将其变形为xka,ykb,zkc
abc
的形式，再代入所求代数式，约分即可。
2.整体代换法：
若由已知条件不能直接求分式中字母的值，可考虑把已知条件和所求代数式进行适
当的变形，然后整体代换，可使问题得到解决
【随堂练习】
1.
已知x
20，求代数式
（x1）2
x21
的值
若旦
b
2，则
的值
【巩固提高】
」、选择题
1.
（2009，荆门）计算:
（ab）2
a2b
的结果是（）
A.
a
B.
bC.1
D.
b
2.
（2009,威海）化简（y
1
）（x
1
））的结果是（
）
x
y
A.
y
B.
x
C.
x
D
y
x
y
y
x
A.
A.
A.
2，则
B.1
（2010,河北）
22
abB.
（2009,陕西）
填空题
6.计算:
7.（2009
8.（2010
a2abb
a2b2
2
-等于（）
C.1
D.2
化简
化简
B.ab
3x2y2
（a
C.
C.
2y2
3x
，漳州）若分式
b2
——的结果是（）
Ib
D.1
，黄冈）当x=2010时,
9•在下列三个不为零的式子：
x2
把这个分式化简所得结果是
解答题
10.（2010,烟台）先化简，再求值:
的结果是（
1
D.
ab
无意义，则实数
代数式
x21
1的值为
4,x2
c2
2x,x
4x
4中，任选两个组成一个分式
xy
x2y
22
y~~2，其中x1,2,y1、2
x4xyy
2.2
11-（2010,贵阳）先化简：
=
a2aba2，当ba
1时，再从2pap2的
范围选取一个合适的整数a代入求值。
12.（表格信息题）按下图的程序计算，把答案写在表格内:
nt平方T（nn宀（n）宀答案
（1）填写表格
输入n
3
1
2
2
3
输出答案
1
1
（2）请将题中的计算程序用代数式表达出来，并化简。
13.（条件开放题）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式:
a21,abb,bab
第四章相似三角形
【知识要点】
1•相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
注：
（1）两个全等三角形一定相似
（2）两个直角三角形不一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
（3）两个等腰三角形不一定相似。
两个等边三角形一定相似。
2•相似比
（1）相似三角形对应边的比叫做相似比。
（2）面积比等于相似比的平方。
AB注：
相似比要注意顺序：
如△ABCs/a'bc的相似比k1''，而
AB
'''a'b'、1
ABCs△abc的相似比k?
，这时k]
ABk?
3
那么这两个三
并且夹角相
那么这两个
•相似三角形的识别
（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，
角形相似。
（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，
等，那么这两个三角形相似。
（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，
三角形相似。
【考点分析】
考点一：
相似三角形的判定
【例1】如图，/1=Z2=73，图中相似三角形有（）对。
A
解析：
由平行线的性质，123，可知DE//BC,DEBEBC,
ADEABC，再由相似三角形判定定理一，可得有四组三角形相似。
答：
4对。
【随堂练习】
1.如图，已知：
△ABC、ADEF，其中7A=50°,zB=60°7=70°,
ZD=40°,7=60°,7=80。
，能否分别将两个三角形分割成两个小
三角形，使△ABC所分成的每个三角形与厶DEF所分成的每个三角形，分
别对应相似？
如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。
考点二：
相似三角形的识别、特征在解题中的应用
解析：
由AB//DC得：
/F=ZDCE，/EAF=ZD
/•ZCDEs/FAE
CD£E
FAAE，又E为AD中点
•••DE=AE,从而CD=FA，结合已知条件，易证
BF=BC,ZF=ZBCF
（1厂••四边形ABCD是平行四边形
•••AB//CD
•••ZF=/DCE,/EAF=ZD
•ZCDEs/FAE
（2）VE是AD中点，•••DE=AE
CDDE
由
（1）得:
AFAE
•••CD=AF
•••四边形ABCD是平行四边形
•AB=CD
•AB=CD=AF
•BF=2CD，又BC=2CD
•••BC=BF
••ZF=ZBCF
注：
平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。
【随堂练习】
1.已知：
如图（a），在梯形ABCD中，AD//BC，对角线交于0点，过0作
112
EF/BC分别交AB,DC于E,F。
求证：
（1）0E=0F;
（2）ADBCEF;（3）若
MN为梯形中位线，求证AF//MC。
考点三：
未知数的设定应用
【例3】在梯形ABCD中，/A=90°,AD//BC,点P在线段AB上从A向B运动,
（1）是否存在一个时刻使△ADPs/BCP;
（2）若AD=4,BC=6,AB=10,使厶ADP^△BCP，贝UAP的长度为多少?
解析：
（1）存在
AD
AP
（2）若△ADP
s/BCP,
则
BC
BP
设AP
x
4x
x
4,
AP4
610
x
AD
AP
或BP
BC
4
x
x
4
或x
10x
6，
6
AP4或AP6
•••AP长度为4或6
【随堂练习】
1•如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知/C=90°,AB=
5cm，BC=3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不
锈
钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。
考点四：
直角三角形相似的比例关系
【例4】已知：
如图，RtAABC中，/ACB=90°,CD丄AB于D,DE丄AC于E,
DF丄BC于F。
322
求证：
（1）CDAEBFAB;
（2）BC:
ACCE:
EA;
33
（3）BC:
ACBF:
AE
解析：
（1）掌握基本图形“RtAABC，/C=90°,CD丄AB于D”中的常用结论。
222
1勾股定理：
ACBCAB
2面积公式：
ACBC=ABCD
222
3三个比例中项：
ACADAB,BCBDBA,CDDADB
|ACCDBCAD
4两个等积式子：
’l.BCCDACBD（由图中相似三角形得到）
（2）灵活运用以上结论，并掌握恒等变形的各种方法，是解决此类问题的
本途径，如等式两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等。
（3）学习三类问题的常见的思考方法，并熟悉常用的恒等变形方法，以及中
间等量代换。
第
（1）题：
2
证法一vCDDADB
•••CD4AD2BD2（AEAC）（BFBC）（AEBF）（ACBC）
（AEBF）（ABCD）
AEBFAB
第
（2）题:
亠BC
DE/口
BC2
DE2
AEEC
CE
证法二
由-
得
AC
AE
AC2
AE2
AE2
AE
BC
AC
证法三•/BCDsCAD,
BC
DE
BC2
DF
DE
DF
CE
DE//BC,.・.
AC
AE
AC2
DE
AE
AE
AE
第（4）题：
BC2
BD
AB
DB
证法一••
升级会员 