高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答可编辑修改word版.docx
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高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答可编辑修改word版
第十章曲线积分与曲面积分习题简答
习题10—1
1计算下列对弧长的曲线积分：
（1）I=⎰L
xds，其中L是圆x2+y2=1中A（0,1）到B（,-
）之间的一段劣弧；
解:
（1+）．
（2）⎰L（x+y+1）ds，其中L是顶点为O（0,0）,A（1,0）
及B（0,1）所成三角形的边界；
解:
⎰L（x-y+1）ds=3+2．
L
（3）⎰x2+y2ds，其中L为圆周x2+y2=x；解:
⎰x2+y2ds=2．
⎰
（4）x2yzds，其中L为折线段ABCD，这里A（0,0,0），B（0,0,2）,C（1,0,2）,
L
D（1,2,3）；
解:
⎰L
x2yzds=8．
3
z
B（0,0,2）
D（1,2,3）
C（1,0,2）
2求八分之一球面x2+y2+z2=1（x≥0,y≥0,z≥0）的边界曲线的重心，设曲线的密
度=1。
解故所求重心坐标为⎛
4,4,
4⎫．
A（0,0,0）y
x
ç333⎪
习题10—2
1设L为xOy面内一直线y=b（b为常数），证明
证明：
略.
2计算下列对坐标的曲线积分：
⎰LQ（x,y）dy=0。
（1）⎰Lxydx，其中L为抛物线y=x上从点A（1,-1）到点B（1,1）的一段弧。
2
4
解:
⎰Lxydx=5。
（2）
（x2+y2）dx+（x2-y2）dy，其中L是曲线y=1-1-x从对应于x=0时的点到
L
x=2时的点的一段弧；
⎰
解（x2+y2）dx+（x2-y2）dy=4．
L3
（3）⎰L
ydx+xdy,L是从点A（-a,0）沿上半圆周x2+y2=a2到点B（a,0）的一段弧；
解⎰Lydx+xdy=0.
（4）
⎰
xy2dy-x2ydx，其中L沿右半圆x2+y2=a2以点A（0,a）为起点，经过点C（a,0）
L
到终点B（0,-a）的路径；
解⎰L
xy2dy-x2ydx=-a4。
4
（5）⎰Lxdx+3zydy-xydz，其中L为从点A（3,2,1）到点B（0,0,0）的直线段AB；
322
0387
解⎰x3dx+3zy2dy-x2ydz=87⎰tdt=-。
L14
⎰Lx-y+z=2,
⎧x2+y2=1,
（6）I=（z-y）dx+（x-z）dy+（x-y）dz，L为椭圆周⎨且从z轴
⎩
正方向看去，L取顺时针方向。
解:
=-2。
习题10—3
1.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
⎧x=acos3t,
（1）
⎩
星形线⎨y=asin3t,
（0≤t≤2）；）
解:
=3a2。
8
（2）圆x2+y2=2by，（b>0）；
解:
=b2。
2利用格林公式计算下列曲线积分:
L
（1）
方向；
⎰（y-x）dx+（3x+y）dy，其中L是圆（x-1）2+（y-4）2=9，方向是逆时针
（2）
（2）
解:
=18。
ydx+（3siny-x）dy，其中L是依次连接A（-1,0）,B（2,1）,C（1,0）三点的折线
L
段，方向是顺时针方向。
解:
2.
（3）（3）
（exsiny-my）dx+（excosy-m）dy，其中m为常数，L为圆
⎰
L
x2+y2=2ax上从点A（a,0）到点O（0,0）的一段有向弧；
解:
=1ma2-0=1ma2。
（4）（4）
针方向；
2
⎰L
xdy-ydxx2+y2
2
，其中L为椭圆4x
2+y2
=1，取逆时
2
解=⎰0d=2．
∂u2222∂u
（5）
⎰L∂nds，其中u（x,y）=x
u沿L的外法线方向导数。
+
y，L为圆周x+y
=6x取逆时针方向，∂n是
解⎰
∂uds=36。
L∂n
3证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值:
（1）
（2,1）
⎰++-
（0,0）（2xy）dx（x2y）dy；
∂P∂Q
解令P=2x+y，Q=x-2y，则∂y
=1=∂x
在整个
3
⎰++-
（2,1）
xOy面内恒成立，因此，曲线积分（0,0）（2xy）dx（x2y）dy在整个xOy面内与路径无
关。
为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
（2,1）
⎰（0,0）（2x+y）dx+（x-2y）dy=4+1=5。
（2）
（x,y）（2xcosy-y2sinx）dx+（2ycosx-x2siny）dy；
⎰
（0,0）
解令P=2xcosy-y2sinx，Q=2ycosx-x2siny，则
∂P=-2（ysinx+xsiny）=∂Q在整个xOy面内恒成立，因
∂y∂x
⎰
此，（x,y）（2xcosy-y2sinx）dx+（2ycosx-x2siny）dy在
（0,0）
整个xOy面内与路径无关。
为了计算该曲线积分，取如右图所
示的积分路径，则有
⎰
（x,y）（2xcosy-y2sinx）dx+（2ycosx-x2siny）dy
（0,0）
=x2cosy+y2cosx。
（1,2）
（3）⎰（2,1）（x）dx+（y）dy，其中（x）和（y）为连续函数。
∂P∂Q
解令P=（x），Q=（y），则∂y=0=∂x
在整个xOy面内恒成立，因此，曲线积
⎰+
（1,2）
分（2,1）（x）dx（y）dy在整个xOy面内与路径无关。
为了计算该曲线积分，取如右图所
示的积分路径，则有
（1,2）12
⎰（2,1）（x）dx+（y）dy=⎰2（x）dx+⎰1（y）dy。
4验证下列P（x,y）dx+Q（x,y）dy在整个xOy面内为某一函数u（x,y）的全微分，并求出这样的一个u（x,y）：
（1）（2x+siny）dx+xcosydy；解令P=2x+siny，Q=xcosy
∂Q=cosy，∂P=cosy
∂x∂y
∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取
（x0,y0）=（0,0），
⎰
u（x,y）=（x,y）Pdx+Qdy=x2+xsiny
（0,0）
（2）（x2+2xy-y2）dx+（x2-2xy-y2）dy；
解因为P=x
2+2xy-y2
，Q=x
2-2xy-y2
∂Q
，所以
∂x
=2x-2y=∂P在整个
∂y
xOy面内恒成立，因此，：
在整个xOy面内，（x2+2xy-y2）dx+（x2-2xy-y2）dy是某一函数u（x,y）的全微分，即有
（x2+2xy-y2）dx+（x2-2xy-y2）dy=du。
易知u（x,y）=1x3+x2y-xy2-1y3+C。
33
（3）ex（1+siny）dx+（ex+2siny）cosydy。
解令P（x,y）=ex（1+siny），Q（x,y）=（ex+2siny）cosy，则在全平面上有
∂Q=∂P=excosy，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，
∂x∂y
ex（1+siny）dx+（ex+2siny）cosydy
是全微分．
u（x,y）=ex-1+exsiny+sin2y．
5可微函数f（x,y）应满足什么条件时，曲线积分
⎰Lf（x,y）（ydx+xdy）
与路径无关？
解令P=yf（x,y），Q=xf（x,y），则
∂P=
∂y
f（x,y）+yfy
（x,y），∂Q=
∂x
f（x,y）+xfx
（x,y）。
当∂P=∂Q
∂y∂x
，曲线积分⎰Lf（x,y）（ydx+xdy）在整个xOy面内与路径无关。
习题10—4
1当∑为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分⎰⎰f（x,y,z）dS与二重积分有什么关系?
∑
答当∑为xOy面内的一个闭区域D时，∑在xOy面上的投影就是D，于是有
⎰⎰f（x,y,z）dS
∑
⎰⎰f（x,y,0）dxdy。
D
2计算曲面积分⎰⎰（x2+y2）dS，其中∑是
∑
（1）锥面z=
及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面；
1
解=（
2
+1）。
⎧z=y
（2）
⎩
yOz面上的直线段⎨x=0
（0≤z≤1）绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面。
解2。
2
3计算下列曲面积分:
（1）
⎰⎰dS，其中∑是抛物面在xOy面上方的部分：
z=2-（x2+y2）,z≥0；
∑
解：
=13π.
3
（2）
⎰⎰（x+y+z）dS，其中∑是上半球面x2+y2+z2=a2,z≥0；
∑
解：
=0+πa3=πa3.
（3）⎰⎰（x+3y+z）dS，其中∑为平面x+y+z=1在第一卦限的部分；
∑22
234
761．
6
1
（4）dS，其中∑是柱面x2+y2=R2被平面z=0﹑z=H所截得的部分.
∑
同理可求得
解1dS=πH.
∑1R
1dS
∑2
=πH.
R
所以
1dS
∑
=2πH.
R
4求抛物面壳z=1（x2+y2）（0≤z≤1）的质量，此壳的密度为=z。
2
解=2π（615
+1）.
习题10—5
1当∑为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分⎰⎰R（x,y,z）dxdy与二重积分有什么关系?
∑
答当∑为xOy面内的一个闭区域时,∑的方程为z=0。
若∑在xOy面上的投影区域
为Dxy，那么
⎰⎰R（x,y,z）dxdy=±⎰⎰R（x,y,0）dxdy，
∑Dxy
当∑取上侧时，上式右端取正号;当∑取下侧时，上式右端取负号。
2计算下列对坐标的曲面积分:
（1）
⎰⎰（x+y）dydz+（y+z）dzdx+（z+x）dxdy，其中∑是以坐标原点为中心，边长为2的
∑
立方体整个表面的外侧；
解：
⎰⎰（x+y）dydz+（y+z）dzdx+（z+x）dxdy=24.
∑
（2）⎰⎰（z2+x）dydz-zdxdy，其中∑为旋转抛物面z=1（x2+y2）介于z=0,z=2之间部
∑
分的下侧。
解：
2
⎰⎰（z2+x）dydz-zdxdy=8π。
∑
（3）⎰⎰xdydz+ydxdz+zdxdy，其中∑为x2+y2+z2=a2，z≥0的上侧；
∑
解∴原式=2a3⨯3=2a3
3
（4）⎰⎰xydydz+yzdxdz+zxdxdy，其中∑是由平面
∑
x+y+z=1所围成的四面体的表面的外侧。
解：
⎰⎰xydydz+yzdxdz+zxdxdy=1。
x=0，
y=0，
z=0，
∑8
3把对坐标的曲面积分
⎰⎰P（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dzdx+R（x,y,z）dxdy
∑
化成对面积的曲面积分，这里∑为平面3x+2y+23z=6在第一卦限的部分的上侧。
解：
=⎰⎰[3P（x,y,z）+2Q（x,y,z）+23R（x,y,z）]dS
∑555
习题10—6
1利用高斯公式计算下列曲面积分：
（1）
⎰⎰（x-y）dxdy+x（y-z）dydz，其中∑为柱面x2+y2=1及平面z=0及z=3
∑
所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧。
（《高等数学》P170例1）解：
-9。
2
（2）
⎰⎰（y-z）dydz+（z-x）dzdx+（x-y）dxdy，其中∑为曲面z=
∑
z=0﹑z=h（h>0）所围成的空间区域的整个边界的外侧。
及平面
解
⎰⎰（y-z）dydz+（z-x）dzdx+（x-y）dxdy=0.
∑
（3））
⎰⎰（x2cos+y2cos+z2cos）dS，其中∑为锥
∑
面x2+y2=z2介于平面z=0﹑z=h（h>0）之间的部分的下
侧，cos﹑cos﹑cos是∑在点（x,y,z）处的法向量的方向余弦。
解：
h3。
2利用高斯公式计算三重积分
⎰⎰⎰（xy+yz+zx）dxdydz，
Ω
其中Ω是由x≥0，y≥0，0≤z≤1及x2+y2≤1所确定的空间闭区域。
解：
⎰⎰⎰（xy+yz+zx）dxdydz=++=。
Ω66324
3利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
（1）⎰L
（y2+z2）dx+（z2+x2）dy+（x2+y2）dz，
x
其中L为平面x+y+z=1与三个坐标面的交线，其正向
为逆时针方向，与平面x+y+z=1上侧的法向量之间符合右手规则；
L
解：
⎰（y2+z2）dx+（z2+x2）dy+（x2+y2）dz=0。
（2）⎰L（z-y）dx+（x-z）dy+（y-x）dz，其中L为以点A（a,0,0）﹑B（0,a,0）﹑
C（0,0,a）为顶点的三角形沿ABCA的方向。
L
解：
⎰（y2+z2）dx+（z2+x2）dy+（x2+y2）dz=3a2。
习题10—7
1若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。
）解：
4a⎰0
8a4
dr。
3
2设某流体的流速为v=（yz,zx,xy），求单位时间内从圆柱∑：
x2+y2≤a2（
0≤z≤h）的内部流向外侧的流量（通量）。
解：
0.
3求向量场v=（x2+yz,y2+zx,z2+xy）的散度。
解divv
=∂P+∂Q+∂R=2（x+y+z）。
∂x∂y∂z
4求向量场A
⎧x2+y2=1,
=-
yi+xj+ck（c为常数）沿有向闭曲线L:
⎨
⎩z=0,
（从z轴的
正向看L依逆时针方向）的环流量。
解：
Q=⎰L
（-y）dx+xdy+cdz=2（sin2t+cos2t）dt=2。
⎰
0
复习题A
一、选择题
1.
设L是从原点O（0,0）沿折线y=x-1-1至点A（2,0）的折线段,则曲线积分
⎰L-ydx+xdy等于（C）．
A．0．B．-1．C．2．D．-2．
2．若微分（2008x2008+4xy3）dx+（cx2y2-2009y2009）dy为全微分，则c等于（B）．
A．0．B．6．C．-6．D．-2．
3.
空间曲线L:
x=etcost,y=etsint,z=et（0≤t≤1）的弧长等于（D）．
A．1．B．
．C．
．D．3（e-1）．
4.
设∑为上半球面z=
，∑1为∑在第一卦限的部分，则下列等式正确的是（
D）．
A．⎰⎰dS=⎰⎰dS．B．⎰⎰dS=2⎰⎰dS．
∑∑1∑∑1
C．⎰⎰dS=3⎰⎰dS．D．⎰⎰dS=4⎰⎰dS．
∑∑1∑∑1
5.设∑为球面x2+y2+z2=a2的外侧，则积分⎰⎰zdxdy等于（A）．
∑
A．
D．0．
2⎰⎰
x2+y2≤a2
a2-x2-y2dxdy．B．
-2⎰⎰
x2+y2≤a2
a2-x2-y2dxdy．C．1．
二、填空题
1．设曲线L为圆周x=acost,y=asint（0≤t≤2）,则（x2+y2）2009ds=2a4019．
L
2.
L
设L为任意一条分段光滑的闭曲线，则曲线积分⎰（2xy-2x）dx+（x2-4y）dy=0．
3.设∑是以原点为球心,R为半径的球面,则
1dS=4．
⎰⎰222x+y+z
∑
4.设∑为球面x2+y2+z2=a2的下半部分的下侧,则曲面积分⎰⎰zdxdy=
∑
2a3．
3
5.向量场
A=（y2+z2）i+（z2+x2）j+（x2+y2）k
的旋度rotA=（2y-2z）i+（2z-2x）j+（2x-2y）k．
三、计算题y
1.计算⎰L
x2+y2ds
L：
x2+y2=ax
解：
∴⎰L
x2+y2ds=2a2
2.
⎰
计算xy2dy-x2ydx,其中L为右半圆x2+y2=a2以点A（0,a）为起点,点B（0,-a）为终
L
点的一段有向弧；
解：
-1a4。
4
3.计算⎰⎰xyzdS,其中∑为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分；
∑
解：
3。
120
4.计算⎰⎰yzdzdx,其中∑是球面x2+y2+z2=1的上半部分并取外侧；
∑
解=π。
4
5.验证：
在整个xOy面内,
（x2+3y）dx+（3x+y2）dy是某一函数u（x,y）的全微分,并求
出一个这样的函数.。
解因为P=x2+3y,Q=3x+y2,所以∂Q=3=∂P在整个xOy面内恒成立,因此,在整个xOy
∂x∂y
所求的函数为
面内,
（x2+3y）dx+（3x+y2）dy是某一函数u（x,y）的全微分,
u（x,y）=1x3+3xy+1y3+C.
33
⎰Ly=z
⎧x2+y2+z2=1,
四、计算曲线积分I=ydx+zdy+xdz,其中L为闭曲线⎨
⎩
，若从z轴正
向看去,L取逆时针方向.
解：
0.
⎨y=0
五、计算曲面积分⎰⎰（x2+y2）dS,其中∑是线段⎧z=x（0≤z≤2）绕Oz轴旋转一周所得
∑⎩
的旋转曲面．
解：
⎰⎰（x2+y2）dS=82π。
∑
⎨
⎧z=1x2
六、计算曲面积分⎰⎰（z2+x）dydz-zdxdy,其中∑为zOx上的抛物线⎪2绕z轴旋转
∑
一周所得的旋转曲面介于z=0和z=2之间的部分的下侧．
解：
=8π，
⎪⎩y=0
七、设一段锥面螺线x=ecos,y=esin,z=e（0≤≤π）上任一点（x,y,z）处的线密
度函数为（x,y,z）=
1
x2+y2+z2
求它的质量．
解：
3（1-e-π）。
八、设f（x）具有一阶连续导数,积分⎰Lf（x）（ydx+dy）在右半平面x>0内与路径无关,试求满足条件f（0）=1的函数f（x）．
解令P（x,y）=yf（x），Q（x,y）=f（x），依题意，有
∂Q=∂
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