中考数学模拟试题汇编专题36规律探索含答案.docx
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中考数学模拟试题汇编专题36规律探索含答案
规律探索
一.选择题
1.(2016·天津北辰区·一摸)如图,用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形.若拼成的图形中有
个三角形,则需要火柴棍的根数是().
(A)
(B)
(C)
(D)
答案:
D
2.(2016·重庆巴蜀
·一模)如图,每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成,其中第①个图形的面积为6cm2,第②个图形的面积为18cm2,第③个图形的面积为36cm2,…,那么第⑥个图形的面积为( )
A.84cm2B.90cm2C.126cm2D.168cm2
【分析】观察图形,小正方形方形的个数是相应序数乘以下一个数,每一个小正方形的面积是3,然后求解即可.
【解答】解:
第
(1)个图形有2个小长方形,面积为1×2×3=6cm2,
第
(2)个图形有2×3=6个小正方形,面积为2×3×3=18cm2,
第(3)个图形有3×4=12个小正方形,面积为3×4×3=36cm2,
…,
第(6)个图形有10×11=110个小正方形,面积为6×7×3=126cm2.
故选C.
3.(2016·重庆巴南·一模)下列是用火柴棒拼成的一组图形,第①个图形中有3根火柴棒,第②个图形中有9根火柴棒,第②个图形中有18根火柴棒,…依此类推,则第6个图形中火柴棒根数是( )
A.60B.61C.62D.63
【分析】由图可知:
第①个图形中有3根火柴棒,第②个图形中有9根火柴棒,第②个图形中有18根火柴棒,…依此类推第n个有1+2+3+…+n个三角形,共有3×(1+2+3+…+n)=n(n+1)根火柴;由此代入求得答案即可.
【解答】解:
∵第①有1个三角形,共有3×1根火柴;
第②个有1+2个三角形,共有3×(1+2)根火柴;
第③个有1+2+3个三角形,共有3×(1+2+3)根火柴;
…
∴第n个有1+2+3+…+n个三角形,共有3×(1+2+3+…+n)=n(n+1)根火柴;
∴第5个图形中火柴棒根数是3×(1+2+3+4+5+6)=63.
故选:
D.
4.(2016·郑州·二模)如图,在一单位长度为1的方格纸上,依如图所示的规律,设定点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、…、An,连接点O、A1、A2组成三角形,记为△1,连接O、A2、A3组成三角形,记为△2…,连接O、An、An+1,组成三角形,记为△n(n为正整数),请你推断,当n为10时,△n的面积=()平方单位.
A.45B.55C.66D.100
答案:
B
二.填空题
1.(2016·河大附中·一模)如图,一段抛物线:
y=x(x-2)(0≤x≤2),记为C1,它与x轴交于点O,A,;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;…,如此进行下去,直至得C2016.若P(4031,a)在第2016段抛物线C2016上,则a=.
第1题
答案:
1
2.(2016·黑龙江齐齐哈尔·一模)如图,
动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次运动到点(2,0),第3次运动到点(3,-1),……,按照这样的运动规律,点P第2017次运动到点.
答案:
(2017,1)
3.(2016·河南三门峡·二模)如图,等边三角形△OAB1的一边OA在
轴上,且OA=1,当△OAB1沿直线
滚动,
使一边与直线
重合得到△B1A1B2,△B2A2B3,......则点A2016的坐标是
答案:
4.(2016齐河三模)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右,向下,向右的方向不断地移动,每移动一个单位,得到点A1(0
,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0)…那么点A4n+1(n为自然数)的坐标为_____(用n表示)
答案:
(2n,1)
5.(2016·云南省曲靖市罗平县·二模)这样铺地板:
第一块铺2块,如图1,第二次把第一次的完全围起来,如图2;第三次把第二次的完全围起来,如图3;…依次方法,铺第5次时需用 34块 木块才能把第四次所铺的完全围起来.
【考点】规律型:
图形的变化类.
【分析】观察图形发现:
若要将前一个图形包起来,上下各需要添一层,左右各需添一层,结合图1两块木块可以得出图n需要木块数为[1+(n﹣1)×2]×[2+(n﹣1)×2],求出图4图5所需木块数,二者相减即可得出结论.
【解答】解:
若要将前一个图形包起来,上下各需要添一层,左右各需添一层,
即图1木块个数为1×2,图2木块个数为(1+2)×(2+2),图3木块个数为(1+2×2)×(2+2×2),…,图n木块个数为[1+(n﹣1)×2]×[2+(n﹣1)×2].
由上面规律可知:
图4需要木块个数为(1+3×2)×(2+3×2)=56(块),图5需要木块个数为(1+4×2)×(2+4×2)=90(块),
故铺第5次时需用90﹣56=34块木块才能把第四次所铺的完全围起来.
故答案为:
34块.
【点评】本题考查了图形的变化,解题的关键是:
找出“图n需要木块数为[1+(n﹣1)×2]×[2+(n﹣1
)×2]”这一规律.本题属于中档题,解决该类题型需要仔细观察图形,得出图形的变化规律,再结合规律找出结论.
6.(2016·云南省·一模)观察下列等式:
解答下面的问题:
21+22+23+24+25+26+…+22015的末位数字是 4 .
【考点】尾数特征.
【分析】根据2n,2n+1,2n+2,2n+3的个位数依次是2,4,8,6,根据有理数的加法,可得答案.
【解答】解:
由2n,2n+1,2n+2,2n+3的个位数依次是2,4,8,6,得
指数每4的倍数一循环,
2015÷4=503…3,
即(2+4+8+6)×503+(2+4+8)=503×20+14=10074.
故答案为:
4.
【点评】本题考查了尾数特征,利用2n,2n+1,2n+2,2n+3的个位数依次是2,4,8,6得出指数每4的倍数一循环是解题关键.
7.(2016·云南省·二模)观察下列等式:
,,,…则= .(直接填结果,用含n的代数式表示,n是正整数,且n≥1)
【考点】规律型:
数字的变化类.
【分析】由题意可知:
=1﹣,进一步整理得出答案即可.
【解答】解:
∵,
,
,
…
∴=1﹣=.
故答案为:
.
【点评】此题考查数字的变化规律,找出数字之间的联系,得出一般运算方法解决问题.
8.(2016·广东东莞·联考)如果记y==f(x),并且f
(1)表示当x=1时y的值,即f
(1)==;f()表示当x=时y的值,即f()==,那么f
(1)+f
(2)+f()+f(3)+f()+…+f(n)+f()= .(结果用含n的代数式表示,n为正整数).
【考点】分式的加减法.
【专题】压轴题;规律型.
【分析
】由f
(1)f()可得:
f
(2)==;从而f
(1)+f
(2)+f()=+1=2﹣.所以f
(1)+f
(2)+f()+f(3)+f()+…+f(n)+f()=(n为正整数).
【解答】解:
∵f
(1)==;f()==,
得f
(2)==;
∴f
(1)+f
(2)+f()=+1=2﹣.
故f
(1)+f
(2)+f()+f(3)+f()+…+f(n)+f()=.(n为正整数)
【点评】解答此题关键是根据题中所给的式子找出规律,再解答.
9.(2016·广东东莞·联考)如图是圆心角为30°,半径分别是1、3、5、7、…的扇形组成的图形,阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、…,则Sn= .(结果保留π)
【考点】扇形面积的计算.
【专题】规律型.
【分析】由图可知S1=,S2=×3,S3=×5,S4=×7,…Sn=×(2n﹣1),从而得出Sn的值.
【解答】解:
由题意可得出通项公式:
Sn=×(2n﹣1),
即Sn=×(2n﹣1),
故答案为.
【点评】本题考查了扇形面积的计算,是一道规律性的题目,难度较大.
三.解答题
1.(2016·河北石家庄·一模)如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°,
【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边
AB交于点P,边EF与边BC于点Q.
在旋转过程中,如图2,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系?
并给出证明.
【操作2】在旋转过程中,如图3,当时EP与EQ满足怎样的数量关系?
,并说明理由.
【总结操作】根据你以上的探究结果,试写出当时,EP与EQ满足的数量关系是什么?
其中m的取值范围是什么?
(直接写出结论,不必证明)m.
第1题
【考点】相似形综合题.
【分析】(操作1)连接BE,根据已知条件得到E是AC的中点,根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE,∠PBE=∠C.根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ.即可得到全等三角形,从而证明结论;
(操作2)作EM⊥AB,EN⊥BC于M、N,根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ,发现EP:
EQ=EM:
EN,
再根据等腰直角三角形的性质得到EM:
EN=AE:
CE;
(总结操作)根据
(2)中求解的过程,可以直接写出结果;要求m的取值范围,根据交点的位置的限制进行分析.
【解答】(操作1)EP=EQ,
证明:
连接BE,根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质,得:
BE=CE,∠PBE=∠C=45°,
∵∠BEC=∠FED=90°
∴∠BEP=∠CEQ,
在△BEP和△CEQ中
,
∴△BEP≌△CEQ(ASA),
∴EP=EQ;
如图2,EP:
EQ=EM:
EN=AE:
CE=1:
2,
理由是:
作EM⊥AB,EN⊥BC于M,N,
∴∠EMP=∠ENC,
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°,
∴∠MEP=∠NEF,
∴△MEP∽△NEQ,
∴EP:
EQ=EM:
EN=AE:
CE=1:
2;
如图3,过E点作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N,
∵在四边形PEQB中,∠B=∠PEQ=90°,
∴∠EPB+∠EQB=180°,
又∵∠EPB+∠MPE=180°,
∴∠MPE=∠EQN,
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ,
∴=,
Rt△AME∽Rt△ENC,
∴=m=,
∴=1:
m=,
EP与EQ满足的数量关系式1:
m,即EQ=mEP,
∴0<m≤2+,(因为当m>2+时,EF和BC变成不相交).
【点评】本题考查了相似
三角形的性质和判定,全等三角形的性质和
判定,主要考查学生运用定理进行推理的能力,证明过程类似.
2.(2016·广东东莞·联考)在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f,
(1)当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:
m
n
m+n
f
1
2
3
2
1
3
4
3
2
3
5
4
2
5
7
3
4
7
猜想:
当m、n互质时,在m×n的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是 f=m+n﹣1 (不需要证明);
(2)当m、n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立.
【考点】作图—应用与设计作图;规律型:
图形的变化类.
【分析】
(1)通过观察即可得出当m、n互质时,在m×n的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式,
(2)当m、n不
互质时,画出图即可验证猜
想的关系式不成立.
【解答】解:
(1)表格中分别填6,6
m
n
m+n
f
1
2
3
2
1
3
4
3
2
3
5
4
2
5
7
6
3
4
7
6
f与m、n的关系式是:
f=m+n﹣1.
故答案为:
f=m+n﹣1.
(2)m、n不互质时,猜想的关系式不一定成立,如下图:
.
【点评】此题考查了作图﹣应用与设计作图,关键是通过观察表格,总结出一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式,要注意m、n互质的条件.
3.(2016·重庆巴蜀·一模)阅读材料:
材料一:
对于任意的非零实数x和正实数k,如果满足为整数,则称k是x的一个“整商系数”.
例如:
x=
2时,k=3⇒=2,则3是2的一个整商系数;
x=2时,k=12⇒=8,则12也是2的一个整商系数;
x=时,k=6⇒=1,则6是的一个整商系数;
结论:
一个非零实数x有无数个整商系数k,其中最小的一个整商系数记为k(x),例如k
(2)=
材料二:
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,两根x1,x2有如下关系:
x1+x2=﹣;x1x2=
应用:
(1)k()= 2 k(﹣)=
(2)若实数a(a<0)满足k()>k(),求a的取值范围?
(3)若关于x的方程:
x2+bx+4=0的两个根分别为x1、x2,且满足k(x1)+k(x2)=9,则b的值为多少?
【分析】
(1)求出最小的个整商系数即可.
(2)根据k()>k()分类讨论列出不等式解不等式即可.
(3)利用根与系数关系把k(x1)+k(x2)=9,转化为含有b的方程,记得分类讨论即可.
【解答】解:
(1)k()=2,k(﹣)=.
故答案分别为2,.
(2)∵k()>k(),
当﹣1<a<0时,原式化为>3(a+1)
∴a<﹣,即﹣1<a<﹣,
当a
<﹣1时,原式化为>﹣3(a+1)
解得a>﹣2,
故可知a的取值范围为﹣2<a<﹣1或﹣1<a<﹣.
(3)设方程的两个根有x1<x2,
由于x1x2=,故x1与x2同号.
当x2<0时,k(x1)+k(x2)=﹣=﹣=,
解得b=12.
当x1>0时,k(x1)+k(x2)===,
解得b=﹣12.
综上b=±12.