第1和2章作业答案.ppt

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1-1试将直角坐标系中的矢量转换为圆柱坐标系中表达的矢量。

解：

由附录一可知：

直角与圆柱两坐标系间的转换关系为：

代入之，即得：

然后再做单位矢量间的转换，即：

故在圆柱坐标系下，A的表达式为：

1-2计算，式中R为距离矢量R的模，R0，如图所示。

解：

当R0时，,所以：

而：

故：

2-8求下列情况下，真空中带电面间的电压：

（1）相距为a的两无限大平板，面电荷密度分别为+0和-0；

（2）无限长同轴圆柱面，半径分别为a和b（ba），每单位长度上的总电荷：

内园柱为，外柱为；（3）半径分别为R1和R2的两同心球面（R2R1），带有均匀的面电荷，其总量分别为q0（内球面）和-q0（外球面）。

解

（1）此问题是均匀平行平面场问题，根据高斯定理，可得板间电场强度：

故板间电压为：

（2）此问题是圆柱形对称平面场问题，根据高斯定理，可得两圆柱面间电场强度为：

两圆柱面间的电压为：

（3）此问题是球形对称的场分布问题，根据高斯定理，可得,即两球面间的电场强度为：

两球面间的电压为：

2-10以知一真空电场中的电位函数，求在P点（6m,-2.5m,3m）处的、E、D及。

解：

2-12具有两层同轴介质的圆柱形电容器，内导体的直径为2cm，内层介质的相对介电常数r1=3，外层介质的相对介电常数r2=2，欲使两层介质中的最大场强相等，并且内外介质层所受的电压相等，试问两层介质的厚度各为多少？

解：

根据题意，可列出以下二方程：

两层介质中的最大场强相等,两层介质所承受的电压相等,由方程

（1），可得：

由方程

（2），可得：

2-13真空中置有两无限大介质层如图所示。

设区域1中的电场强度分别求1、2、3、4四个区域中电场强度E与ez的夹角。

解:

首先.由给定的E1,求E1对于分界面L1的法线方向（即ez所示的方向）的夹角1,然后,依次在分界面L1、L2和L3上应用两种不同介质分界面上的折射定律,即可求得相应的关于法线方向的夹角2、3和4.,依次在各分界面上应用折射定律,可得:

2-16位于均匀电场（E0）中的导电圆柱体（其半径为a），带有电荷（其线密度为）时，若电位参考点取在导电圆柱体上，试证明空间任意点P（,）的电位为：

。

证明：

按题意，确定坐标系如图所示。

求解场域D为导电园柱体外的空间（a）。

基于唯一性定理，只需证明以下条件成立：

证

（1）按题设电位函数的解答，应有：

（2）同上理，应有：

2-21空气中平行地放置两根长直导线，半径都是6cm，轴线间的距离为20cm。

若导线间施加电压为1000V，求：

（1）电场中的电位分布；

（2）导线表面电荷密度的最大及最小值。

解：

应用电轴法，因场分布的对称性，可确定电位参考面，即建立坐标系如图所示。

由此可得：

（1）场中任意场点P的电位为,基于题设两导线的电位分别为，等效电轴与给定的导线间电压U0之间的关系可如下确定之，因为,因此所求场中的电位分布为：

（2）由电场的基础知识，可确定点A，B分别对应于最大与最小电荷面密度的所在点，故首先计算：

然后，有导体表面的电荷面密度=Dn可知：

2-24在大地上方相距h处，有一半径为a水平放置的长直圆导体，其对地电压为U0，求：

（1）空气中任一场点处的电位p；

（2）导体与大地间的电容量；（3）导体所受的电场力,解：

由镜像法图示可得；

（1），在设定一对等效电轴+和-的前提下，可得场中任意点P处的电位为：

2-36设一点电荷如图2-36所示由无限远处移动到导电平板上方h处。

求：

（1）电场力对电荷q所作之功；

（2）对应于最终位置（平板上方h处），点电荷q所受到的电场力F。

解：

（1）应用镜像法如图示可知，当点电荷q按题设路径由无限远处移至点P处时，“同步移动”的镜像电荷（-q）在该点产生的电场强度为：

故电场力对点电荷q所作的功为：

（2）,