实验三用FFT对信号进行频谱分析及MATLAB程序.docx
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实验三用FFT对信号进行频谱分析及MATLAB程序
实验三用FFT对信号进行频谱分析
一实验目的
1能够熟练掌握快速离散傅立叶变换的原理及应用FFT进行频谱分析的基本方法；
2了解用FFT进行频谱分析可能出现的分析误差及其原因；
二实验原理
1.用DFT对非周期序列进行谱分析
单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换，即
（3-1）
是
的连续周期函数。
对序列
进行N点DFT得到
，则
是在区间
上对
的N点等间隔采样，频谱分辨率就是采样间隔
。
因此序列的傅里叶变换可利用DFT（即FFT）来计算。
用FFT对序列进行谱分析的误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而非周期序列的频谱是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近连续谱，因此N要适当选择大一些。
2.用DFT对周期序列进行谱分析
已知周期为N的离散序列
，它的离散傅里叶级数DFS分别由式（3-2）和（3-3）
给出：
DFS：
，n=0,1,2,…,N-1（3-2）
IDFS：
，n=0,1,2,…,N-1（3-3）
对于长度为N的有限长序列x（n）的DFT对表达式分别由式（3-4）和（3-5）给出：
DFT：
，n=0,1,2,…,N-1（3-4）
IDFT：
，n=0,1,2,…,N-1（3-5）
FFT为离散傅里叶变换DFT的快速算法，对于周期为N的离散序列x（n）的频谱分析便可由式（3-6）和（3-7）给出：
DTFS：
（3-6）
IDTFS：
（3-7）
周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。
3.用DFT对模拟周期信号进行谱分析
对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。
对于模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。
如果不知道信号的周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。
三实验内容
1.对以下序列进行谱分析：
选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析。
分别打印其幅频特性曲线，并进行对比、分析和讨论。
2.对以下周期序列进行谱分析：
选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析。
分别打印其幅频特性曲线，并进行对比、分析和讨论。
3.对模拟周期信号进行谱分析：
选择采样频率
，对变换区间N分别取16、32、64三种情况进行谱分析。
分别打印其幅频特性曲线，并进行对比、分析和讨论。
四思考题
1.对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT进行谱分析？
2.如何选择FFT的变换区间？
（包括非周期信号和周期信号）
3.当N=8时，
和
的幅频特性会相同吗？
为什么？
N=16呢？
五实验报告及要求
1.完成各个实验任务和要求，附上程序清单和有关曲线。
2.简要回答思考题。
程序代码：
%用FFT对信号作频谱分析
clearall;
closeall;
%实验
（1）
x1n=[ones（1,4）];%产生序列向量R4（n）
M=8;xa=1:
（M/2）;xb=（M/2）:
-1:
1;
x2n=[xa,xb];%产生长度为8的三角波序列x2（n）、x3（n）
x3n=[xb,xa];
X1k8=fft（x1n,8）;%计算x1n的8点DFT
X1k16=fft（x1n,16）;%计算x1n的16点DFT
X2k8=fft（x2n,8）;%计算x2n的8点DFT
X2k16=fft（x2n,16）;%计算x2n的16点DFT
X3k8=fft（x3n,8）;%计算x3n的8点DFT
X3k16=fft（x3n,16）;%计算x3n的16点DFT
%幅频特性曲线
N=8;wk=2/N*（0:
N-1）;
subplot（3,2,1）;stem（wk,abs（X1k8）,'.'）;%绘制8点DFT的幅频特性图
title（'（1a）8点DFT[x_1（n）]'）;xlabel（'ω/π'）;ylabel（'幅度'）;
subplot（3,2,3）;stem（wk,abs（X2k8）,'.'）;
title（'（2a）8点DFT[x_1（n）]'）;xlabel（'ω/π'）;ylabel（'幅度'）;
subplot（3,2,5）;stem（wk,abs（X3k8）,'.'）;
title（'（3a）8点DFT[x_1（n）]'）;xlabel（'ω/π'）;ylabel（'幅度'）;
N=16;wk=2/N*（0:
N-1）;
subplot（3,2,2）;stem（wk,abs（X1k16）,'.'）;%绘制16点DFT的幅频特性图
title（'（1b）16点DFT[x_1（n）]'）;xlabel（'ω/π'）;ylabel（'幅度'）;
subplot（3,2,4）;stem（wk,abs（X2k16）,'.'）;
title（'（2b）16点DFT[x_1（n）]'）;xlabel（'ω/π'）;ylabel（'幅度'）;
subplot（3,2,6）;stem（wk,abs（X3k16）,'.'）;
title（'（3b）16点DFT[x_1（n）]'）;xlabel（'ω/π'）;ylabel（'幅度'）;
%实验2对周期序列作频谱分析
clearall;
closeall;
N=8;n=0:
N-1;%FFT的变换区间N=8
x4n=cos（pi*n/4）;
x5n=cos（pi*n/4）+cos（pi*n/8）;
X4k8=fft（x4n）;%计算x4n的8点DFT
X5k8=fft（x5n）;%计算x5n的8点DFT
N=16;n=0:
N-1;%FFT的变换区间N=16
x4n=cos（pi*n/4）;
x5n=cos（pi*n/4）+cos（pi*n/8）;
X4k16=fft（x4n）;%计算x4n的16点DFT
X5k16=fft（x5n）;%计算x5n的16点DFT
N=8;w1k=2/N*（0:
N-1）;
subplot（2,2,1）;stem（w1k,abs（X4k8）,'.'）;%绘制8点DFT的幅频特性图
title（'（4a）8点DFT[x_4（n）]'）;xlabel（'ω/π'）;ylabel（'幅度'）;
axis（[0,2,0,1.2*max（abs（X4k8））]）;
subplot（2,2,3）;stem（w1k,abs（X5k8）,'.'）;%绘制8点DFT的幅频特性图
title（'（5a）8点DFT[x_4（n）]'）;xlabel（'ω/π'）;ylabel（'幅度'）;
axis（[0,2,0,1.2*max（abs（X5k8））]）;
N=16;w2k=2/N*（0:
N-1）;
subplot（2,2,2）;stem（w2k,abs（X4k16）,'.'）;%绘制16点DFT的幅频特性图
title（'（4b）16点DFT[x_5（n）]'）;xlabel（'ω/π'）;ylabel（'幅度'）;
axis（[0,2,0,1.2*max（abs（X4k16））]）;
subplot（2,2,4）;stem（w2k,abs（X5k16）,'.'）;%绘制16点DFT的幅频特性图
title（'（5b）16点DFT[x_5（n）]'）;xlabel（'ω/π'）;ylabel（'幅度'）;
axis（[0,2,0,1.2*max（abs（X5k16））]）;
%实验3对模拟周期信号作谱分析（归一化）
Fs=64;T=1/Fs;
N=16;n=0:
N-1;%FFT的变换区间N=16
x6nT=cos（8*pi*n*T）+cos（16*pi*n*T）+cos（20*pi*n*T）;%对x6（t）16点采样
X6k16=fft（x6nT）;%计算x6nT的16点DFT
Tp=N*T;F=1/Tp;%频率分辨率F
k=0:
N-1;fk=2*k/N;%产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心）
subplot（3,1,1）;stem（fk,abs（X6k16）,'.'）;%绘制16点DFT的幅频特性图
title（'（6a）16点DFT[x_6（nT）]|'）;xlabel（'\omega/\pi'）;ylabel（'幅度'）;
N=32;n=0:
N-1;%FFT的变换区间N=32
x6nT=cos（8*pi*n*T）+cos（16*pi*n*T）+cos（20*pi*n*T）;%对x6（t）32点采样
X6k32=fft（x6nT）;%计算x6nT的32点DFT
Tp=N*T;F=1/Tp;%频率分辨率F
k=0:
N-1;fk=2*k/N;%产生32点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心）
subplot（3,1,2）;stem（fk,abs（X6k32）,'.'）;%绘制32点DFT的幅频特性图
title（'（6b）32点DFT[x_6（nT）]|'）;xlabel（'\omega/\pi'）;ylabel（'幅度'）;
N=64;n=0:
N-1;%FFT的变换区间N=64
x6nT=cos（8*pi*n*T）+cos（16*pi*n*T）+cos（20*pi*n*T）;%对x6（t）64点采样
X6k64=fft（x6nT）;%计算x6nT的64点DFT
Tp=N*T;F=1/Tp;%频率分辨率F
k=0:
N-1;fk=2*k/N;%产生64点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心）
subplot（3,1,3）;stem（fk,abs（X6k64）,'.'）;%绘制64点DFT的幅频特性图
title（'（6c）64点DFT[x_6（nT）]|'）;xlabel（'\omega/\pi'）;ylabel（'幅度'）;
五、思考题及实验体会
4．思考题
（1）对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT进行谱分析？
（2）如何选择FFT的变换区间？
（包括非周期信号和周期信号）
（3）当N=8时，
和
的幅频特性会相同吗？
为什么？
N=16呢？
答：
（1）、如果
的周期预先不知道，可截取M点进行DFT，即
0
M-1
再将截取长度扩大1倍，截取
0
2M-1
比较
和
，如果两者的主谱差别满足分析误差要求，则以
或
近似表示
的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求。
设最后截取长度为
则
表示
点的谱线强度。
（2）频谱分辨率直接D和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是
，因此要求
。
可以根据此式选择FFT的变换区间N。
（3）当N=8时，
和
的幅频特性会相同.
当N=16时，
和
的幅频特性会不相同。
通过实验，我知道了用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。
经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。
对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。
频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2л／N≤D。
可以根据此式选择FFT的变换区间N。
误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。
周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。
如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。
对模拟信号进行频谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。
如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的普分析进行。
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