高考数学理科一轮复习集合的概念与运算学案1含答案.docx

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高考数学理科一轮复习集合的概念与运算学案1含答案

高考数学（理科）一轮复习集合的概念与运算学案1含答案

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　　课

　　件www.5yk

　　　　第一章　集合与常用逻辑用语　

　　学案1　集合的概念与运算

　　导学目标：

　　.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题.

　　2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

　　3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩图表达集合的关系及运算．

　　自主梳理

　　．集合元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

　　2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或表示．

　　3．集合的表示法：

列举法、描述法、图示法、区间法．

　　4．集合间的基本关系

　　对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B．

　　若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但xA，则AB．

　　若A⊆B且B⊆A，则A＝B.

　　5．集合的运算及性质

　　设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．

　　设全集为U，则∁UA＝{x|x∈U且xA}．

　　A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，

　　A∩B＝A⇔A⊆B.

　　A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，

　　A∪B＝B⇔A⊆B.

　　A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U.

　　自我检测

　　．下列集合表示同一集合的是

　　A．m＝{}，N＝{}

　　B．m＝{|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}

　　c．m＝{4,5}，N＝{5,4}

　　D．m＝{1,2}，N＝{}

　　答案　c

　　2．已知集合m＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<5}，则m∩N等于

　　A．{x|－5<x<5}

　　B．{x|－3<x<5}

　　c．{x|－5<x≤5}

　　D．{x|－3<x≤5}

　　答案　B

　　解析　画数轴，找出两个区间的公共部分即得m∩N＝{x|－3<x<5}．

　　3．设集合A＝{|x24＋y216＝1}，B＝{|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是

　　A．4

　　B．3

　　c．2

　　D．1

　　答案　A

　　解析　易知椭圆x24＋y216＝1与函数y＝3x的图象有两个交点，所以A∩B包含两个元素，故A∩B的子集个数是4个．

　　4．集合m＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝9－x2，x∈R}，则m∩N等于

　　A．{t|0≤t≤3}

　　B．{t|－1≤t≤3}

　　c．{，}

　　D．∅

　　答案　B

　　解析　∵y＝x2－1≥－1，∴m＝[－1，＋∞）．

　　又∵y＝9－x2，∴9－x2≥0.

　　∴N＝[－3,3]．∴m∩N＝[－1,3]．

　　5．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.

　　答案　－1或2

　　解析　由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，经检验符合．

　　由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.

　　探究点一　集合的基本概念

　　例1　若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，求b－a的值．

　　解题导引　解决该类问题的基本方法为：

利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．

　　解　由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有以下对应关系：

　　a＋b＝0，ba＝a，b＝1　　①　或a＋b＝0，b＝a，ba＝1.　　②

　　由①得a＝－1，b＝1，符合题意；②无解．

　　∴b－a＝2.

　　变式迁移1　设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a，b.

　　解　由元素的互异性知，

　　a≠1，b≠1，a≠0，又由A＝B，

　　得a2＝1，ab＝b，或a2＝b，ab＝1，解得a＝－1，b＝0.

　　探究点二　集合间的关系

　　例2　设集合m＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系中正确的是

　　A．m＝N

　　B．mN

　　c．mN

　　D．m∈N

　　解题导引　一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．

　　答案　A

　　解析　集合m＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，

　　N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴m＝N.

　　变式迁移2　设集合P＝{m|－1<m<0}，Q＝{m|mx2＋4mx－4<0对任意实数x恒成立，且m∈R}，则下列关系中成立的是

　　A．PQ

　　B．QP

　　c．P＝Q

　　D．P∩Q＝∅

　　答案　A

　　解析　P＝{m|－1<m<0}，

　　Q：

m<0，Δ＝16m2＋16m<0，或m＝0.

　　∴－1<m≤0.

　　∴Q＝{m|－1<m≤0}．

　　∴PQ.

　　探究点三　集合的运算

　　例3　设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．

　　当a＝－4时，求A∩B和A∪B；

　　若∩B＝B，求实数a的取值范围．

　　解题导引　解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．

　　解　A＝{x|12≤x≤3}．

　　当a＝－4时，B＝{x|－2<x<2}，

　　∴A∩B＝{x|12≤x<2}，

　　A∪B＝{x|－2<x≤3}．

　　∁RA＝{x|x<12或x>3}．

　　当∩B＝B时，B⊆∁RA，

　　即A∩B＝∅.

　　①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；

　　②当B≠∅，即a<0时，B＝{x|－－a<x<－a}，

　　要使B⊆∁RA，需－a≤12，

　　解得－14≤a<0.

　　综上可得，a的取值范围为a≥－14.

　　变式迁移3　已知A＝{x||x－a|<4}，B＝{x||x－2|>3}．

　　若a＝1，求A∩B；

　　若A∪B＝R，求实数a的取值范围．

　　解　当a＝1时，

　　A＝{x|－3<x<5}，

　　B＝{x|x<－1或x>5}．

　　∴A∩B＝{x|－3<x<－1}．

　　∵A＝{x|a－4<x<a＋4}，

　　B＝{x|x<－1或x>5}，且A∪B＝R，

　　∴a－4<－1a＋4>5⇒1<a<3.

　　∴实数a的取值范围是．

　　分类讨论思想在集合中的应用

　　例　若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可取值组成的集合；

　　若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求由m的可取值组成的集合．

　　【答题模板】

　　解　P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；

　　[2分]

　　当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－1a，

　　为满足S⊆P可使－1a＝－3或－1a＝2，

　　即a＝13或a＝－12.

　　[4分]

　　故所求集合为{0，13，－12}．

　　[6分]

　　当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅，满足B⊆A；

　　[8分]

　　若B≠∅，且满足B⊆A，如图所示，

　　则m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，即m≥2，m≥－3，m≤3，∴2≤m≤3.

　　[10分]

　　故m<2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．

　　[12分]

　　【突破思维障碍】

　　在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．

　　【易错点剖析】

　　容易忽略a＝0时，S＝∅这种情况．

　　想当然认为m＋1<2m－1忽略“>”或“＝”两种情况．

　　解答集合问题时应注意五点：

　　．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．

　　2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{|y＝2x}表示不同的集合．

　　3．注意∅的特殊性．在利用A⊆B解题时，应对A是否为∅进行讨论．

　　4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．

　　5．注意补集思想的应用．在解决A∩B≠∅时，可以利用补集思想，先研究A∩B＝∅的情况，然后取补集．

　　一、选择题

　　．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是

　　A．2

　　B．3

　　c．4

　　D．8

　　答案　B

　　解析　A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，

　　即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．

　　2．设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是

　　A．9

　　B．8

　　c．7

　　D．6

　　答案　B

　　解析　P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的个数是8.

　　3．集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，m＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩m等于

　　A．{1,2}

　　B．{0,1,2}

　　c．{1,2,3}

　　D．{0,1,2,3}

　　答案　B

　　解析　由题意知：

P＝{0,1,2}，

　　m＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩m＝{0,1,2}．

　　4．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是

　　A．{a|0≤a≤6}

　　B．{a|a≤2或a≥4}

　　c．{a|a≤0或a≥6}

　　D．{a|2≤a≤4}

　　答案　c

　　解析　由|x－a|<1得－1<x－a<1，

　　即a－1<x<a＋1.

　　由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.

　　5．设全集U是实数集R，m＝{x|x2>4}，N＝{x|2x－1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是

　　A．{x|－2≤x<1}

　　B．{x|－2≤x≤2}

　　c．{x|1<x≤2}

　　D．{x|x<2}

　　答案　c

　　解析　题图中阴影部分可表示为∩N，集合m为{x|x>2或x<－2}，集合N为{x|1<x≤3}，由集合的运算，知∩N＝{x|1<x≤2}．

　　二、填空题

　　6．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是________．

　　答案　4

　　解析　由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．

　　7．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx<1}，若A∩＝{m|m＝2n＋1，

　　n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.

　　答案　{2,4,6,8}

　　解析　A∪B＝{x∈N*|lgx<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩＝{1,3,5,7,9}，

　　∴B＝{2,4,6,8}．

　　8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝____.

　　答案　1

　　解析　∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.

　　三、解答题

　　9．集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B.

　　解　∵A＝{x|x2＋5x－6≤0}

　　＝{x|－6≤x≤1}．

　　B＝{x|x2＋3x>0}＝{x|x<－3或x>0}．

　　如图所示，

　　∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}＝R.

　　A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3或x>0}

　　＝{x|－6≤x<－3，或0<x≤1}．

　　0．已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－12<x≤2}．若B⊆A，求实数a的取值范围．

　　解　当a＝0时，显然B⊆A；

　　当a<0时，

　　若B⊆A，如图，

　　则4a≤－12，－1a>2，

　　∴a≥－8，a>－12.∴－12<a<0；

　　当a>0时，如图，若B⊆A，

　　则－1a≤－12，4a≥2，

　　∴a≤2，a≤2.∴0<a≤2.

　　综上知，当B⊆A时，－12<a≤2.

　　1．已知集合A＝{x|x－5x＋1≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}，

　　当m＝3时，求A∩；

　　若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．

　　解　由x－5x＋1≤0，

　　所以－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}．

　　当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，

　　则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，

　　所以A∩＝{x|3≤x≤5}．

　　因为A＝{x|－1<x≤5}，

　　A∩B＝{x|－1<x<4}，

　　所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.

　　此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，

　　故实数m的值为8.

　　课

　　件www.5yk