XX年点与直线直线与直线的位置关系高考复习教案.docx
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XX年点与直线直线与直线的位置关系高考复习教案
XX年点与直线、直线与直线的位置关系高考复习教案
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址XX年高考第一轮复习数学北师理第八章8.2 点与直线、直线与直线的位置关系
考纲要求
．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识梳理
．两直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．
两直线平行
对于直线l1：
y＝k1x＋b1，l2：
y＝k2x＋b2，
l1∥l2⇔________________.
对于直线l1：
A1x＋B1y＋c1＝0，
l2：
A2x＋B2y＋c2＝0，
l1∥l2⇔__________________________.
两直线垂直
对于直线l1：
y＝k1x＋b1，l2：
y＝k2x＋b2，
l1⊥l2⇔k1•k2＝____.
对于直线l1：
A1x＋B1y＋c1＝0，
l2：
A2x＋B2y＋c2＝0，
l1⊥l2⇔____________.
2．两直线的交点
设直线l1：
A1x＋B1y＋c1＝0，l2：
A2x＋B2y＋c2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组A1x＋B1y＋c1＝0，A2x＋B2y＋c2＝0，若方程组有唯一解，则l1与l2____，此解就是两直线交点的坐标；若方程组无解，则l1与l2____；若方程组有无数个解，则l1与l2____.
3．有关距离
两点间的距离
平面上两点P1，P2间的距离|P1P2|＝____________.
点到直线的距离
平面上一点P到一条直线l：
Ax＋By＋c＝0的距离d＝____________.
两平行线间的距离
已知l1，l2是平行线，求l1，l2间距离的方法：
①求一条直线上一点到另一条直线的距离；
②设l1：
Ax＋By＋c1＝0，l2：
Ax＋By＋c2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________.
4．对称问题
中点坐标公式
设A，B，则线段AB的中点坐标为____________．
中心对称
若点m及N关于P对称，则由中点坐标公式得______．
轴对称
若两点P1与P2关于直线l：
Ax＋By＋c＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l.由方程组Ax1＋x22＋By1＋y22＋c＝0，y1－y2x1－x2＝BA可得到点P1关于l对称的点P2的坐标．
基础自测
．过点且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是．
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
c．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
2．点P在直线x＋y－4＝0上，o为坐标原点，则|oP|的最小值为．
A．13
B．22
c．6
D．2
3．已知两条直线y＝ax－2和y＝x＋1互相垂直，则a＝．
A．2
B．1
c．0
D．－1
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝．
A．－1
B．－12
c．2
D．12
5．求与直线x－y＋2＝0平行，且它们之间的距离为32的直线方程．
思维拓展
．研究两直线的位置关系时，若直线方程的系数含有变量应注意什么？
提示：
在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时，若直线方程中y的系数含有字母参数，则斜率可能有不存在的情况．此时，应对其按y的系数为零和不为零两种情况进行讨论．利用斜率相等研究两条直线平行时，要注意重合的情形．
2．运用距离公式时应注意什么？
提示：
点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程，在运用该公式时，应首先把直线方程化为一般式；在运用两平行线间的距离公式时，要注意先把两直线方程中x，y的系数化成相等的形式．
一、两直线的平行
【例1】直线l1：
2x＋y＋4＝0与直线l2：
mx＋3y－2＝0平行，则m的值为．
A．2
B．－3
c．2或－3
D．－2或－3
方法提炼1．判定两直线平行的方法：
判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．
直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：
设直线l1：
A1x＋B1y＋c1＝0，l2：
A2x＋B2y＋c2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1c2－B2c1≠0.
2．与直线Ax＋By＋c＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，这也是经常采用的解题技巧．
请做[针对训练]1
二、两直线的垂直
【例2】求经过点A，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
方法提炼1．判定两直线垂直的方法：
判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1•k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直．
直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：
设直线l1：
A1x＋B1y＋c1＝0，l2：
A2x＋B2y＋c2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．与Ax＋By＋c＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，这也是经常采用的解题技巧．
请做[针对训练]2
三、距离公式的应用
【例3－1】已知直线l过两直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点P，且与A，B两点距离相等，求直线l的方程．
【例3－2】已知直线l过点P，且被两平行线l1：
x＋y＋1＝0，l2：
x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．
方法提炼运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．
请做[针对训练]3
四、对称问题
【例4－1】已知直线l1：
2x－3y＋1＝0，点A．求：
点A关于直线l1的对称点A′的坐标；
直线m：
3x－2y－6＝0关于直线l1的对称直线l2的方程；
直线l1关于点A对称的直线l3的方程．
【例4－2】已知直线l1：
2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：
3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．
方法提炼1．在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称．处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法．
2．求与距离有关的最值问题，一般是通过作图，转化为对称问题加以解决．
请做[针对训练]4
考情分析
通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查，主要侧重以下几个方面：
判断两直线平行与垂直的位置关系，或以平行、垂直的位置关系为载体求相关参数的值；对距离公式的考查，主要是把它作为工具来使用；对称问题侧重点与点关于直线的对称．思想方法主要侧重分类讨论、数形结合、方程思想等．考查的形式以选择题、填空题为主．
针对训练
．与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点的直线l的方程为__________．
2．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
3．若P在直线x＋y＋1＝0上，求a2＋b2－2a－2b＋2的最小值．
4．在直线l：
3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A和B的距离之差最大；
在直线l：
3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A和c的距离之和最小．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
．k1＝k2，且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且B1c2－B2c1≠0 －1 A1A2＋B1B2＝0
2．相交 平行 重合
3．2＋2
|Ax0＋By0＋c|A2＋B2 ②|c1－c2|A2＋B2
4．x1＋x22，y1＋y22
x＝2a－x1，y＝2b－y1
基础自测
．A 解析：
∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，
∴所求直线的斜率为12，方程为y－0＝12，即x－2y－1＝0.
2．B 解析：
根据题意知，|oP|的最小值为原点o到直线x＋y－4＝0的距离．根据点到直线的距离公式，得42＝22.
3．D 解析：
∵两直线垂直，
∴a＝－1.
∴a＝－1.
4．B 解析：
解方程组2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，得x＝－1，y＝－2，
∴三条直线交于点．
∴－1－2b＝0，即b＝－12.
5．解：
设与直线x－y＋2＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得|2－m|2＝32⇒|2－m|＝6⇒m＝－4或m＝8，即所求的直线方程为x－y－4＝0，或x－y＋8＝0.
考点探究突破
【例1】c 解析：
解法一：
当m＝－1时，l1：
2x＋4＝0，l2：
－x＋3y－2＝0显然l1与l2不平行；
当m≠－1时，因为l1∥l2，所以应满足－2m＋1＝－m3且－4m＋1≠23，解得m＝2或m＝－3.
解法二：
若l1∥l2，需2×3－m＝0，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3或2时，－2－12≠0.
∴m＝－3或2为所求．
【例2】解：
解法一：
∵直线2x＋y－10＝0的斜率不为0，
∴直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k•＝－1.∴k＝12.
又∵l经过点A，∴所求直线l的方程为y－1＝12，即x－2y＝0.
解法二：
设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A，
∴2－2×1＋m＝0.∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
【例3－1】解：
解方程组3x＋4y－5＝0，2x－3y＋8＝0，得x＝－1，y＝2.
故交点P．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－2＝k，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意得|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，解得k＝－13，
∴直线l方程为y－2＝－13即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－1，此时也符合题目要求．
综合知，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
【例3－2】解法一：
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A，B，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．
当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，由y＝k＋1，x＋y＋1＝0，
解得A3k－2k＋1，1－4kk＋1.
由y＝k＋1，x＋y＋6＝0，
解得B3k－7k＋1，1－9kk＋1.
由两点间的距离公式，得
3k－2k＋1－3k－7k＋12＋1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，
解得k＝0，
即所求直线方程为y＝1.
综上可知，直线l的方程为x＝3，或y＝1.
解法二：
因为两平行线间的距离d＝|6－1|2＝522，
如图，直线l被两平行线截得的线段长为5，
设直线l与两平行线的夹角为θ，
则，
所以θ=45°.
因为两平行线的斜率是，
故所求直线的斜率不存在，或为0.
又因为直线l过点P，
所以直线l的方程为x=3，或y=1.
【例4－1】解：
设A′，
由已知得y＋2x＋1•23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，
解得x＝－3313，y＝413.
故A′－3313，413.
在直线m上取一点，如m，则m关于l1的对称点必在l2上．
设对称点为m′，
则由2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，
得m′613，3013.
设m与l1的交点为N，
由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N．
又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为9x－46y＋102＝0.
解法一：
在l1：
2x－3y＋1＝0上任取两点，如m，N．
则m，N关于点A的对称点m′，N′均在直线l3上．
易知m′，N′，由两点式可得l3的方程为2x－3y－9＝0.
解法二：
∵l1∥l3，∴可设l3的方程为2x－3y＋c＝0．
∵点A到两直线的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋c|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，得c＝－9，
∴l3的方程为2x－3y－9＝0.
解法三：
设P是l3上任一点，则P关于点A的对称点为P′．
∵P′在直线l1上，
∴2－3＋1＝0.
整理得2x－3y－9＝0.
【例4－2】解：
方法一：
由2x＋y－4＝0，3x＋4y－1＝0，得l1与l的交点为P，显然P也在l2上．
设l2的斜率为k，又l1的斜率为－2，l的斜率为－34，则－34－1＋－34×＝k－－341＋－34k，解得k＝－211.
故l2的直线方程为y＋2＝－211，即2x＋11y＋16＝0.
方法二：
在直线l1上取一点A，又设点A关于直线l的对称点为B，则
y0－0x0－2＝43，3•2＋x02＋4•0＋y02－1＝0，
解得B45，－85.
故由两点式可求得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.
演练巩固提升
针对训练
．3x＋4y－11＝0 解析：
解法一：
设直线l的斜率为k.
∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，
∴k＝－34.
又∵l经过点，可得所求直线方程为y－2＝－34，即3x＋4y－11＝0.
解法二：
设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵l经过点，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.
∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
2．1 解析：
∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，
∴1×2＋•m＝0，即m＝1.
3．解：
∵a2＋b2－2a－2b＋2＝2＋2，可看成是点P与点之间的距离．
又∵点P是直线x＋y＋1＝0上任一点，
∴2＋2即是点与直线x＋y＋1＝0上任一点之间的距离．
因此，点到直线x＋y＋1＝0的距离即是2＋2的最小值．
由于点到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝|1＋1＋1|12＋12＝322，
故a2＋b2－2a－2b＋2的最小值为322.
4．解：
如图甲所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．
图甲
设B′的坐标为，
则kBB′•kl＝－1，
即b－4a•3＝－1.
∴a＋3b－12＝0.①
又由于线段BB′的中点坐标为a2，b＋42，且在直线l上，
∴3×a2－b＋42－1＝0，即3a－b－6＝0.②
①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′．
于是AB′的方程为y－13－1＝x－43－4，
即2x＋y－9＝0.
解方程组3x－y－1＝0，2x＋y－9＝0，得x＝2，y＝5，
即l与AB′的交点坐标为P．
如图乙所示，设c关于l的对称点为c′，连接Ac′交l于点Q，此时的Q满足|QA|＋|Qc|的值最小．
图乙
设c′的坐标为，
∴y′－4x′－3•3＝－1，3•x′＋32－y′＋42－1＝0.
解得x′＝35，y′＝245.∴c′35，245.
由两点式得直线Ac′的方程为y－1245－1＝x－435－4，
即19x＋17y－93＝0.
解方程组19x＋17y－93＝0，3x－y－1＝0，得x＝117，y＝267.
∴所求点Q的坐标为117，267.
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