向量的应用检测试题有答案.docx

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向量的应用检测试题有答案

向量的应用检测试题（有答案）

1．有以下命题：

①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）

①②①③②③①②③

2．下列命题正确的是（）

若与共线，与共线，则与共线；

向量共面就是它们所在的直线共面；

零向量没有确定的方向；

若，则存在唯一的实数使得；

3．如图：

在平行六面体中，为与的交点。

若，，，则下列向量中与相等的向量是（）

4．已知：

且不共面.若∥,求的值.

5．

（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（）

A.：

||=：

||B.a1•b1=a2•b2=a3•b3

C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使=k

（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）

A.－3或1B.3或－1C.－3D.1

（3）下列各组向量共面的是（）

A.=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）

B.=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1）

C.=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，1）

D.=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）

例6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。

设=，=，

（1）求和的夹角；

（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.

7．

（1）设向量与的夹角为，，，

则．

8．

（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：

++≤4。

（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2（3，1，2），求物体合力做的功。

9．如图,直三棱柱中,求证:

10.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为（）

（A）4（B）3（C）2（D）1

13.已知a＝（，），b＝（，），a与b之间有关系式|ka+b|=|a-kb|，其中k＞0．

（1）用k表示a、b；

（2）求a•b的最小值，并求此时，a与b的夹角的大小．

由已知．

14..已知,,,。

（1）求；

（2）设∠BAC＝θ，且已知cos（θ+x）＝，，求sinx

1．有以下命题：

①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）

①②①③②③①②③

解析：

对于①“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以①错误。

②③正确。

点评：

该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系

2．下列命题正确的是（）

若与共线，与共线，则与共线；

向量共面就是它们所在的直线共面；

零向量没有确定的方向；

若，则存在唯一的实数使得；

解析：

A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证不为零向量

答案C。

点评：

零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。

像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾

题型2：

空间向量的基本运算

3．如图：

在平行六面体中，为与的交点。

若，，，则下列向量中与相等的向量是（）

解析：

显然；

答案为A。

点评：

类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。

用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力

4．已知：

且不共面.若∥,求的值.

解：

∥,,且即

又不共面,

点评：

空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

题型3：

空间向量的坐标

5．

（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（）

A.：

||=：

||B.a1•b1=a2•b2=a3•b3

C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使=k

（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）

A.－3或1B.3或－1C.－3D.1

（3）下列各组向量共面的是（）

A.=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）

B.=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1）

C.=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，1）

D.=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）

解析：

（1）D；点拨：

由共线向量定线易知；

（2）A点拨：

由题知或；

（3）A点拨：

由共面向量基本定理可得

点评：

空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况

6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。

设=，=，

（1）求和的夹角；

（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.

思维入门指导：

本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：

∵A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），=，=，

∴=（1，1，0），=（－1，0，2）.

（1）cos==－，

∴和的夹角为－。

（2）∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），

k－2=（k+2，k，－4），且（k+）⊥（k－2），

∴（k－1，k，2）•（k+2，k，－4）=（k－1）（k+2）+k2－8=2k2+k－10=0。

则k=－或k=2。

点拨：

第

（2）问在解答时也可以按运算律做。

（+）（k－2）=k22－k•－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。

题型4：

数量积

7．

（1）设向量与的夹角为，，，

则．

.解：

设向量与的夹角为且∴，则=.

（2）设空间两个不同的单位向量=（x1，y1，0），=（x2，y2，0）与向量=（1，1，1）的夹角都等于。

（1）求x1+y1和x1y1的值；

（2）求的大小（其中0＜＜π。

解析

（2）解：

（1）∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.

又∵与的夹角为，∴•=||||cos==.

又∵•=x1+y1，∴x1+y1=。

另外x+y=（x1+y1）2-2x1y1=1，∴2x1y1=（）2－1=.∴x1y1=。

（2）cos==x1x2+y1y2，由

（1）知，x1+y1=，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解.

∴或同理可得或

∵≠，∴或

∴cos=•+•=+=.

∵0≤≤π，∴=。

评述：

本题考查向量数量积的运算法则

题型5：

空间向量的应用

8．

（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：

++≤4。

（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2（3，1，2），求物体合力做的功。

解析：

（1）设=（，，），=（1，1，1），

则||=4，||=.

∵•≤||•||，

∴•=++≤||•||=4.

当==时，即a=b=c=时，取“=”号。

（2）解：

W=F•s=（F1+F2+F3）•=14。

点评：

若=（x，y，z），=（a，b，c），则由•≤||•||，得（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）.此式又称为柯西不等式（n=3）。

本题考查||•||≥•的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，，然后结合数量积性质进行运算。

空间向量的数量积对应做功问题

9．如图,直三棱柱中,求证:

证明：

同理

又

设为中点,则

又

点评：

从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件

10.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为（）

（A）4（B）3（C）2（D）1

解析：

取△ABC为正三角形易得＝3．选B．

评析：

本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．

11.如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，

＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为

A．B．C．D．

如下图，设，，则．

由平行四边形法则，知NP∥AB，所以＝，

同理可得．故，选B．

3.是平面内不共线两向量，已知，若三点共线，则的值是

A．2B．C．D．

A，又A、B、D三点共线，则.即，∴，故选.

【总结点评】本题主要考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运用.要求我们熟记公式，掌握常见变形技巧与方法.

12、已知平面向量=（，1），=（）．

（1）求；

（2）设，（其中），若，试求函数关系式并解不等式．

（1）；

（2）由得，，

所以；

变形得：

，解得．

13.已知a＝（，），b＝（，），a与b之间有关系式|ka+b|=|a-kb|，其中k＞0．

（1）用k表示a、b；

（2）求a•b的最小值，并求此时，a与b的夹角的大小．

由已知．

∵，∴．∴．

∵k＞0，∴．

此时∴．∴＝60°．

14..已知,,,。

（1）求；

（2）设∠BAC＝θ，且已知cos（θ+x）＝，，求sinx

解：

（1）由已知

∴

∵∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC2=BD2+CD2,

又CD2=AC2－AD2,所以BC2=BD2+AC2－AD2=49，……4分

所以……6分

（2）在△ABC中，∴……8分

而如果，

则∴……10分