二次型的规范型唯一吗.docx
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二次型的规范型唯一吗
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二次型的规范型唯一吗
篇一：
二次型小结
第五章二次型（小结）
一、二次型与矩阵
1.基本概念
二次型;二次型的矩阵和秩;非退化线性替换;矩阵的合同.
2.基本结论
（1）非退化线性替换把二次型变为二次型.
（2）二次型f（x1,x2,,xn）xax可经非退化的线性替换xcy化为二次型f（y1,y2,,yn）yaybcac.
（3）矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性.
二、标准形
1.基本概念
二次型的标准形;配方法.
2.基本定理
（1）数域p上任意一个二次型f（x1,x2,,xn）都可经过非退化的线性替换xcy化
222为标准形式d1y1.d2y2dnyn
（2）在数域p上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
三、唯一性
1.基本概念
复二次型的规范形;实二次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.
2.基本定理
（1）任一复二次型f（x1,x2,,xn）都可经过非退化的线性替换xcy化为唯一的规范22形式z1z2zr2,rf的秩.
因而有:
两个复对称矩阵合同它们的秩相等.
（2）惯性定律:
任一实二次型f（x1,x2,,xn）都可经过非退化线性替换
唯一的规范形式xcy化为
22的秩,z12z2
pzp1zr,rf
p为f（x1,x2,,xn）的惯性指数.因而两个n元实二次型可经过非退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.
（4）实二次型的标准形式中系数为正的平方项的个数是唯一确定的,它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.
四、正定二次型
1.基本概念
正定二次型，正定矩阵;顺序主子式，负定二次型，半正定二次型，半负定二次型，不定二次型.
2.基本结论
（1）非退化线性替换保持实二次型的正定性不变.
（2）实二次型f（x1,x2,,xn）xax正定
①a与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵p,使得app;
②a的顺序主子式都大于零.
③f（x1,x2,,xn）的正惯性指数等于n.
篇二：
二次型化为标准形的几种方法
二次型化为标准形的几种方法
摘要：
二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。
这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：
正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。
正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。
其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。
关键词：
正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法
severalmethodsofchangingthequadraticintothestandard
abstract：
quadraticistheimportantcontentshouldstudyalgebra,inourstudiesofquadraticproblem,
forconvenience,willusuallybequadraticintostandardform.thisisbothakeyisadifficulty,thispaperintroducessomehuaertimesforthestandardformoforthogonaltransformmethod,method:
matchmethod,elementarytransformation,jacobianmethod,partialderivativemethod.thetextintroducesseveralmethodsdefinedandconcretestep,simultaneouslygivesappropriateexamplestoillustrate.amongthem,thepartialderivativemethodandmatchmethodandsimilar,buttheformerhasthefixedsteps,andmatchmethodneedtoobservedtoformula.
keywords:
orthogonaltransformmethodmatchmethodelementarytransformationjacobian
methodpartialderivativemethod
1.引言
二次型是代数学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。
在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形，本文介绍了五种化二次型为标准形的方法，各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明，并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会更加容易。
正交变换法是常用的方法之一，需要求出特征值，特征值就是对应的平方项的系数；配方法需要通过观察依次对每项配方，直到各项全部配成平方为止；初等变换法用一系列的合同变换将二次型矩阵化成与之合同形式上又比较简单的对角矩阵；雅可比方法相对其他方法更为简便，但是它要求二次型矩阵的各阶顺序主子式都
不为零，然后通过固定的公式确定平方项的系数；偏导数法的实质与配方法是一样的，但是偏导数法有固定的步骤，相对更好实施。
2.正交变换法
由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。
定理1
[1]
任意一个实二次型aijxixj，aijaji都可以经过正交的线性替换变成平
i1j1
nn
22方和1y122y2其中平方上的系数1,2...n就是矩阵a的特征多项式的全...nyn
部的根。
2.1解题步骤
1将实二次型表示成矩阵形式fxtax并写出矩阵a。
○
2求出矩阵a的所有特征值,...，○可能会出现多重特征值，分别记它们的重数为12n
k1,k2,kn（k1k2kn=n）
3求出每个特征值所对应的特征向量,,，○能解出与n列出方程（1ea）x0，12
1对应的k1个线性无关的特征向量。
同理，对其他的特征值2,,n也是采用此方
法求出与之对应的特征向量。
因为k1k2kn=n，所以一共能出n个特征向量。
4将所求出的n个特征向量,,先后施行正交（二次型的规范型唯一吗）化，单位化得到,,,，记○nn1212
为c=（1,2,n）t
5作正交变换xcy,则得二次型f的标准形f=y2y2...y2○1122nn
例1用上面所述的方法化下面的二次型
222
f（x1,x2,x3,x4）x12x2x3x42x1x26x1x34x1x44x2x36x2x42x3x4为标
准形。
解：
（1）首先写出原二次型的矩阵
11321123a=
32112311
由a的特征多项式
1321
1123=（3）（7）
（1）
（1）ea=32112311
从而得a的特征值为1=-3，2=7，3=-1，4=1
（2）求特征向量，将1=-3带入（1ea）x0中，得到方程
4x1x23x32x40
x4x2x3x01234
3x2x4xx023412x13x2x34x20
解此方程可得出基础解系1=（1,1,1,1），同样地，分别把2=7，3=-1，4=1带入（ea）x0中，解方程能够得出与2=7，3=-1，4=1对应的基础解系依次为2=（1,1,1,1），3=（1,1,1,1），4=（1,1,1,1）（3）将所求出的特征向量正交化，方法如下：
令
1=1=（1,1,1,1）
2=2
（2,1）
1=（1,1,1,1）
（1,1）
（3,1）（,）
1322=（1,1,1,1）
（1,1）（2,2）
（,）（4,1）（,）
1422433=（1,1,1,1）
（1,1）（2,2）（3,3）
3=3
4=4
（4）将已正交的向量组单位化，如下：
令
i
于是能够得到
i
（i=1,2,3,4）i
1=（1,1,1,1），2=（1,1,1,1），3=（1,1,1,1），4=（1,1,1,1）
所以
111
1111c=
2111
111
12121212
11111111
y1y2y3y4
于是所求正交变换为
x1x2=1x32x4
111
111111
111
原二次型化为
22
f=3y127y2y3y12
3.配方法
配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。
使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的xixj（ij）这样的交叉项，
消去非平方项并构造新的平方项。
定理2[1]数域p上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和
22
的形式。
d1x12d2x2...dnxn
3.1解题思路
使用配方法化二次型为标准形时，视具体情况又可以将二次型分为下面两种不同的情形：
1如果二次型含有x的平方项，那么先把含有x的乘积项集中，然后再配方，再对其○ii
余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。
2如果所给二次型中不含有x平方项，○但是aij0（ij）,我们就可以用前面所提到的i
方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换
xiyiyj
xyyjij
,（k1,2,,n且ki,j）
........xkyk
1中的方法进代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述○
行配方。
2
例2用上述所给出的方法化二次型f（x,x2,x3）x122x1x22x24x2x3为标准形，写
出所用的变换矩阵。
解：
原二次型中含有xi的平方项，先将含有x1的项集中，利用平方和公式消去x1x2，然后对x2配平方，消去x2x3项。
此过程为
2222
f（x,x2,x3）（x122x1x2x2）（x24x2x34x3）4x3
2
x1x2x22x34x3
2
2
于是作非退化的线性替换：
y1x1x2x1y1y22y3
yxx2x2y22y312yxx3y333
即
x1112y1
x0122y2x001y33
于是就得到
22
f（x,x2,x3）y12y24y3
所用的变换矩阵为
112
c012
001
篇三：
二次型
摘要：
矩阵的二次型问题是矩阵论中的一个重要概念与应用,本文主要讨论主要阐述的是矩阵二次型的书写、标准型的求解、正定性的证明等诸多问题，并简单的举了一些实例来阐述这些应用.全文分三部分；在第一部分,简单介绍二次型的定义、对应矩阵的写法；在第二部分,标准型的求解；在第三部分，正定性的证明。
关键词：
矩阵二次型矩阵线性替换标准型实矩阵正定性
1二次型及其矩阵表示
1.1设p是一个数域,aijp,n个文字x1,x2,,xn的二次齐次多项式
fx1,x2,,xna11x122a12x1x22a13x1x32a1nx1xn
a22x222a23x2x32a2nx2xnannxn2
aijxixj,
i1j1n
n
设n阶对称矩阵
n
称为数域p上的一个n元二次型,简称二次型。
a11a12
aa
a2122
aan1n2
则n元二次型可表示为下列矩阵形式:
a1na2n
,ann
a11a12
aa
f（x1,x2,,xn）（x1,x2,,xn）2122
a
n1a2
a1nx1a2nx2t
xax.annxn
其中x（x1,x2,,xn）t.对称矩阵a称为二次型的系数矩阵,简称为二次型的矩阵.
二次型与非零对称矩阵一一对应.即,给定一个二次型,则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵;反之,给定一个非零的对称矩阵,则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵.1
二次型fx1,x2,,xn可唯一的表示成
fx1,x2,,xnxax,
其中,xx1,x2,,xn,aaij
nn
为对称矩阵,称上式二次型的矩阵形式,
称a为二次型的矩阵（都是对称矩阵）,称a的秩为二次型f的秩.设
x1,x2,,xn;y1,y2,,yn是两组文字,系数在数域p中的一组关系式
x1c11y1c12y2c1nyn，
xcycycy，22112222nn
（1.1）
xncn1y1cn2y2cnnyn.
称为由x1,x2,,xn到y1,y2,,yn的一个线性替换.或简称线性替换.用矩阵形式可写为
xcy,
其中xx1,x2,,xn,ccij
,yy1,y2,,yn.如果系数行列式nn
c0,
那么线性替换（1.1）就称为非退化的.
数域p上的nn矩阵a,b称为合同的,如果有数域p上的可逆的nn矩阵c,使
bcac.
替换后的二次型与原二次型的关系;合同的。
（证明略去）
如果二次型中只含有文字的平方项.即
fx1,x2,,xnd1x12d2x22dnxn2,
称f为标准型.
设fx1,x2,,xn是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数c1,c2,,cn,如果都有fc1,c2,,cn0,那么fx1,x2,,xn称为正定的;如果都有
fc1,c2,,cn0,那么fx1,x2,,xn称为负定的;如果都有fc1,c2,,cn0,
那么fx1,x2,,xn称为半正定的;如果都有fc1,c2,,cn0,那么
fx1,x2,,xn称为半负定的;如果它既不半正定又不半负定,那么fx1,x2,,xn就称为不定的.
1.2二次型的写法
例1写出二次型的矩阵
22
x34x1x23x2x3.fx1,x2,x3,x124x2
解应注意由fx1,x2,x3,可知右端的二次型为3元二次型,其对应矩阵做
成3阶对称矩阵:
120.
a24
01
2二次型的标准型问题
定理1数域p上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平
方和的形式.（证明略）
定理2在数域p上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.也就是说,对于任意一个对称矩阵a都可以找到一个可逆矩阵c使cac成对角矩阵。
用可逆的线性变换化二次型为标准型
方法1配方法
用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项,其要点是利用两数和的平方公式与两数平方差公式逐步消去非平方项并构造新平方项.分两种情形来处理:
⑴二次型中含某个变量xi的平方项和交叉项.
先集中含xi的交叉项,然后与xi2配方,化成完全平方,令新变量代替各个平方项中的变量,即可做出可逆的线性变换,同时立即写出它的逆变换（即用新变量表示旧变量的变换）,这样后面求总的线性变换就比较简单.每次只对一个变量配平方,余下的项中不应在出现这个变量,再对剩下的n1个变量同样进行,直到各项全化为平方项为止.
⑵二次型中没有平方项,只有交叉项.
先利用平方差公式构造可逆线性变换,化二次型为含平方项的二次型,如当
xixj的系数aij0时,进行可逆的线性变换
xiyiyj,xjyiyj,xkykki,j代入二次型后出现平方项aijyi2aijy2j,
在按情形⑴来处理.方法2初等变换法
用可逆的线性变换xpy化二次型fxtax为标准型
22fd1y12d2y2dnyn,相当于对于对称矩阵a找到一个可逆矩阵p使
ptapd,其中ddiagd1,d2,,dn,即a合同于对角矩阵d.由于可逆矩阵
p可以写成若干个初等矩阵p1,p2,,ps乘积,即pp1p2ps,从而有
t
pstp2tp1ap1p2psd,ep1p2pnp.
根据初等矩阵的性质,由上式即可得到用初等变换法化二次型
为标准型的步骤如下:
第一步:
写出二次型的矩阵a,并构造2nn矩阵,第二步:
进行初等变换
a
e
a对a进行同样的初等行变换d和初等列变换p,e对e只进行其中的初等列变换
当a化为对角矩阵d时,单位矩阵e也相应地化为可逆矩阵p;
第三步:
可逆线性变换xpy化二次型为标准型
22fytdyd1y12d2y2dnyn.
例2化下列二次型为标准型,并写出所用的可逆线性变化:
2
fx1,x2,x3x123x32x1x24x1x32x2x3.
解方法1（配方法）
22fx122x1x22x33x32x2x3x1x22x32x22x323x32x2x322x1x22x32x22x2x3x3
y1x1x22x3,x1y1y22y3,令y2x2,即x2y2,得yx.xy.
3333
22
fy12y22y2y3y3y12y2y32.
z1y1,y1z1,
令z2y2y3,即y2z2z3,则zy.yz.
3333
22
fx1,x2,x3x123x32x1x24x1x32x2x3的标准型为fx1,x2,x3z12z2.
所用的可逆线性变换为
x1y1y22y3z1z2z32z3z1z2z3
.x2y2z2z3
xyz
333
方法2（初等变换法）
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