高三数学 考点解析.docx
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高三数学考点解析
1、考点名称:
函数的零点
5年考试次数:
26
考点内容:
认识考点
一般地,对于函数y=f（x）（x∈R）,我们把方程f（x）=0的实数根x叫作函数y=f（x）（x∈D）的零点.即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值.函数的零点不是一个点,而是一个实数.
解题点拨
①确定区间[a,b],验证f（a）*f（b）<0,给定精确度; ②求区间（a,b）的中点x1;③计算f（x1）;
④若f（x1）=0,则x1就是函数的零点; ⑤若f（a）f（x1）<0,则令b=x1（此时零点x0∈（a,x1））;⑥若f（x1）f（b）<0,则令a=x1.（此时零点x0∈（x1,b） ⑦判断是否满足条件,否则重复
（2）~（4）
解题点拨
零点其实并没有多高深,简单的说,就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点,另外如果在（a,b）连续的函数满足f（a）•f（b）<0,则（a,b）至少有一个零点.这个考点属于了解性的,知道它的概念就行了
2、考点名称:
平面向量数量积的运算
5年考试次数:
82
考点内容:
认识考点
平面向量数量积运算的一般定理为：
①=
②
③，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样.
考点例题
例：
由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn=nm”类比得到
②“（m+n）t=mt+nt”类比得到
③“类比得到
④类比得到
⑤类比得到
⑥“”类比得到，以上的式子中，类比得到的结论正确的是
解：
∵向量的数量积满足交换律，
∴mn=nm类比得到，即①正确.
∵向量的数量积满足分配律，
∴（m+n）t=mt+nt类比得到，即②正确.
∵向量的数量积不满足消元律，
∴不能类比得到，即③错误.
∵，
∴不能类比得到，即④错误.
∵向量的数量积不满足结合律，
∵不能类比得到，即⑤错误.
∵向量的数量积不满足消元律，
∴不能类比得到，即⑥错误.
故答案为①②.
命题方向
本知识点应该所有考生都要掌握,这个知识点和三角函数联系比较多,也是一个常考点,题目相对来说也不难,所以是拿分的考点,希望大家都掌握.
3、考点名称:
三角函数中的恒等变换应用
5年考试次数:
28
考点内容:
认识考点
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
sin2α+cos2α=1．
（2）商数关系：
=tanα．
2．诱导公式
公式一：
sin（α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，其中k∈Z．
公式二：
sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）=tan α．
公式三：
sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα．
公式四：
sin（π-α）=sinα，cos（π-α）=-cosα．
公式五：
sin（）=cosα, cos（）=sinα
公式六：
sin（）=cosα,cos（）=-sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α-β）：
cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
（3）S（α+β）：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α-β）：
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ；
（5）T（α+β）：
tan（α+β）=；
（6）T（α-β）：
tan（α-β）=；
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：
sin2α=2sinαcosα；
（2）C2α：
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；
（3）T2α：
tan2α=
4、考点名称:
直线与圆的位置关系
5年考试次数:
51
考点内容:
认识考点
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C=0与圆（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：
利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d=
①相交：
d＜r
②相切：
d=r
③相离：
d＞r
（2）代数方法：
联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由
消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：
△＞0
②相切：
△=0
③相离：
△＜0．
5、考点名称:
利用导数研究函数的单调性
5年考试次数:
95
考点内容:
认识考点
1、导数和函数的单调性的关系:
（1）若f′（x）>0在（a,b）上恒成立,则f（x）在（a,b）上是增函数,f′（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
（2）若f′（x）<0在（a,b）上恒成立,则f（x）在（a,b）上是减函数,f′（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:
（1）确定f（x）的定义域;
（2）计算导数f′（x）;
（3）求出f′（x）=0的根;
（4）用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′（x）的符号,进而确定f（x）的单调区间:
f′（x）>0,则f（x）在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′（x）<0,则f（x）在对应区间上是减函数,对应区间为减区间.
考点例题
题型一:
导数和函数单调性的关系
典例1：
已知函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）>2，则f（x）>2x+4的解集为（ ）
A.（-1,1） B.（-1,+∞） C.（-∞,-1） D.（-∞,+∞）
解:
设g（x）=f（x）-2x-4，
则g′（x）=f′（x）-2，
∵对任意x∈R，f′（x）>2，
∴对任意x∈R，g′（x）>0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（-1）=2，
∴g（-1）=f（-1）+2-4=4-4=0，
则由g（x）>g（-1）=0得
x>-1，
即f（x）>2x+4的解集为（-1,+∞），
故选:
B
题型二：
导数和函数单调性的综合应用
典例2:
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）.
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2,f
（2））处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数在区间（t,3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：
。
解：
（Ⅰ） （2分）
当a>0时，f（x）的单调增区间为（0,1],减区间为[1,+∞）;
当a<0时，f（x）的单调增区间为[1,+∞）,减区间为（0,1];
当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）
∴；
∴g'（x）=3x 2+（m+4）x-2 （6分）
∵g（x）在区间（t,3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴ （8分）
由题意知:
对于任意的t∈[1,2]，g′（t）<0恒成立,，
所以有：
，
∴ （Ⅲ）令a=-1此时f（x）=-lnx+x-3，所以f
（1）=-2,
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1,+∞）上单调递增，
∴当x∈（1,+∞）时f（x）>f
（1），即-lnx+x-1>0,
∵n≥2，n∈N*，则有 ，
∴
解题点拨
若在某区间上有有限个点使f′（x）=0，在其余的点恒有f′（x）>0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在区间内f′（x）>0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件.
6、考点名称:
直线与圆锥曲线的综合问题
5年考试次数:
80
考点内容:
认识考点
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点,比方说求封闭面积,求距离,求他们的关系等等,常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系,通过这两个关系的变形去求解.
考点例题
例:
已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（-1,0）、F2（1,0）的距离之和为常数,曲线C的离心率e=
（1）求圆锥曲线C的方程;
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B,试证明在x轴上存在一个定点P,使
的值是常数.
解:
（1）依题意,设曲线C的方程为）（a＞0，b＞0）
∴c=1,
∵e==
∴a=2,
∴b==,
所求方程为=1.
（2）当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k（x-1）,
由
得
从而xA+xB=,xA•xB=
设P（t,0）,则
=（xA-t）（xB-t）+yAyB= xAxB-（）（xA+xB）+（）=
当
解得t=
此时对∀k∈R,=
当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=1,
xA=xB=1,yA（yB）=±对t=
=（xA-t）（xB-t）+yAyB=
即存在x轴上的点P（,0）,使
的值为常数
这是一道符合高考命题思维的题型,一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式;第二问在求证某种特殊的关系,像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式.我们看看解答思路,第一问就是求a、b、c中的两个值即可;第二问先是联立方程,然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系,这也是常用的方法.
命题方向
必考题,也是难题,希望大家多总结,尽量去总结一下各种题型和方法,在考试的时候,如果运算量大可以适当的放到最后做.
7、考点名称:
二面角的平面角及求法
5年考试次数:
56
考点内容:
认识考点
1、二面角的定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α-AB-β.有时为了方便,也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q,将这个二面角记作P-AB-Q.如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q.
2、二面角的平面角
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关,也就是说,我们可以根据需要来选择棱l上的点O.
3、二面角的平面角求法:
（1）定义;
（2）三垂线定理及其逆定理;
①定理内容:
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直.
②三垂线定理（逆定理）法:
由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直,推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直,从而确定二面角的平面角.
（3）找（作）公垂面法:
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直,因此公垂面与两个面的交线所成的角,就是二面角的平面角.;
（4）平移或延长（展）线（面）法;
（5）射影公式;
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角;
（7）向量法:
两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等.
8、考点名称:
数列递推式
5年考试次数:
46
考点内容:
认识考点
递推公式定义：
如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
数列前n项和Sn与通项an的关系式：
an=
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：
（1）用an=Sn-Sn-1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？
（n≥2，当n=1时，a1=S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an=Sn-Sn-1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
数列的通项的求法：
（1）公式法：
①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an=f（n））求an，用作差法：
an=．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an=f（n）求an，用作商法：
an，=
（4）若an+1-an=f（n）求an，用累加法：
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1（n≥2）．
（5）已知=f（n）求an，用累乘法：
an=•…•a1（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an=的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
9、考点名称:
归纳推理
5年考试次数:
25
考点内容:
认识考点
1.归纳推理:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或由个别事实概括出一般结论的推理.
推理形式:
设S={A1,A2,A3,…,An,…},
2.特点:
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳得出的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围;
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质,结论是否真实,需要通过逻辑证明和实践检验,不能作为数学证明的工具;
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.
3.作用:
（1）获取新知,发现真理;
（2）说明和论证问题.
解题点拨
归纳推理一般步骤:
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理;
（2）提出带有规律性的结论,即猜想;
（3）检验猜想.
命题方向
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现,比较基础,考查对归纳推理的理解,会运用归纳推理得出一般性结论.
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点,注意区分与类比推理、演绎推理的不同.
例1:
下列表述正确的是（）
①归纳推理是由部分到整体的推理;
②归纳推理是由一般到一般的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理;
④类比推理是由特殊到一般的推理;
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤
分析:
本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义,根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案.
解答:
归纳推理是由部分到整体的推理,
演绎推理是由一般到特殊的推理,
类比推理是由特殊到特殊的推理.
故①③⑤是正确的
故选D
点评:
判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义,即是否是由特殊到一般的推理过程.判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义,即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程.判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义,即是否是由一般到特殊的推理过程.
例2:
下列推理是归纳推理的是（）
A.A,B为定点,动点P满足||PA|-|PB||=2a<|AB|（a>0）,则动点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线
B.由a1=2,an=3n-1求出S1,S2,S3,猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积S=πr2,猜想出椭圆
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析:
根据归纳推理的定义,对各个选项进行判断.
解答:
A选项用的双曲线的定义进行推理,不符合要求.
B选项根据前3个S 1,S 2,S 3的值,猜想出S n的表达式,属于归纳推理,符合要求.
C选项由圆x 2+y 2=r 2的面积S=πr 2,猜想出椭圆
用的是类比推理,不符合要求.
D选项用的是演绎推理,不符合要求.
故选B.
点评:
本题主要考查归纳推理的定义,归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系,属于基础题.
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意.
例:
对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:
2 2=1+3
3 2=1+3+5
4 2=1+3+5+7
2 3=3+5
3 3=7+9+11
4 3=13+15+17+19
根据上述分解规律,若m 2=1+3+5+…+11,n 3的分解中最小的正整数是21,则m+n=（）
A.10 B.11 C.12 D.13
分析:
根据m 2=1+3+5+…+11,n 3的分解中最小的正整数是21,利用所给的分解规律,求出m、n,即可求得m+n的值.
解答:
:
m 2=1+3+5+…+11= （11+1）/2×6=36,
∴m=6
∵2 3=3+5,3 3=7+9+11,
4 3=13+15+17+19,
∴5 3=21+23+25+27+29,
∵n 3的分解中最小的数是21,
∴n 3=5 3,n=5
∴m+n=6+5=11
故选B.
点评:
本题考查归纳推理,考查学生的阅读能力,确定m、n的值是解题的关键.
10、考点名称:
离散型随机变量的期望与方差
5年考试次数:
71
考点内容:
认识考点
1、离散型随机变量的期望
数学期望:
一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称Eξ=x 1p 1+x 2p 2+…+x np n+…为ξ的数学期望,简称期望.
数学期望的意义:
数学期望离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
平均数与均值:
一般地,在有限取值离散型随机变量 ξ的概率分布中,令p 1=p 2=…=p n,则有p 1=p 2=…=p n= 1/n,Eξ=（x 1+x 2+…+x n）× 1/n,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值.
期望的一个性质:
若η=aξ+b,则E（aξ+b）=aEξ+b.
2、离散型随机变量的方差;
方差:
对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是x 1,x 2,…,x n,…,且取这些值的概率分别是p 1,p 2,…,p n…,那么,
称为随机变量ξ的均方差,简称为方差,式中的Eξ
是随机变量ξ的期望.
标准差:
Dξ的算术平方根
叫做随机变量ξ的标准差,记作 .
方差的性质:
.
方差的意义:
（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;
（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛.
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