大学物理答案第八章 西南交大版.docx
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大学物理答案第八章西南交大版
大学物理答案第八章西南交大版
第八章相对论
8-1选择题
v
（1）一火箭的固有长度为L，相对于地面作匀速直线运动的速度为，火箭上有一个1
v人从火箭的后端向火箭前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为的子弹。
在火箭2上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是:
LL（A）（B）v，vv122
LL（C）（D）[B]2v,v21，，v1,v/c11
v解:
在火箭参考系中，子弹以速率，匀速通过距离L，所需的时间2
L,t,v2
（2）关于同时性有人提出以下一些结论，其中哪个是正确的,
（A）在一惯性系同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生。
（B）在一惯性系不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生。
（C）在一惯性系同一地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生。
（D）在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生。
[C]
u,,,解:
由洛仑兹变换,可知:
t,,t,,x,,2c,,
,t,0,,x,0,t,0当时，即在一个惯性系中同时同地发生的两个事件，在另一惯性系中一定同时发生;
,t,0,,x,0,t,0当时即
在一个惯性系中的同时异地事件，在另一惯性系中必然不同时。
,x,0,,t,0,t当时的大小有各种可能性，不是必然不为零的。
（3）一宇宙飞船相对地球以0.8c（c表示真空中光速）的速度飞行，一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长为90m，地球上的观察者测得脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为
65
（A）90m（B）54m（C）270m（D）150m[C]
,ss系，飞船系为系。
系相对于系沿x轴方向以飞行，解:
设地球系为u,0.8css
1,,21,0.8
90,,,s,x,90m系中，,t,c
,，，x,,x，ut由洛仑兹坐标变换得
,，，,x,,,x，u,t
190,,,90，0.8c，,,2c,,1,0.8
270m
163.6，10J（4）某核电站年发电量为100亿度，它等于的能量，如果这是由核材料的
全部静止能转化产生的，则需要消耗的核材料的质量为（A）0.4kg（B）0.8kg
77（C）（D）[A]，，12，10kg1/12，10kg
2解:
由质能关系E,mc00
16E3.6，100m,,,0.4kg0228c，，3，10
（5）设某微观粒子的总能量是它的静止能量的K倍，则其运动速度的大小
cc2（A）（B）1,KK,1K
cc2（C）（D）[C]，，K,1KK，2K，1K
22解:
由质能关系E,mc,E,mc00
Em,,KEm00
m0m,又由质速关系2u,,1,,,c,,
66
1,K得2u,,1,,,c,,
c2u,k,1K
8-2填空题
6
（1）子是一种基本粒子，在相对于子静止的坐标系中测得其寿命为。
,,,2，10s0
如果子相对于地球的速度为（c为真空中光速），则在地球坐标系中测出的v,0.988c,,
5,,1.29，10s子的寿命。
解:
由时间膨胀效应
6,2，10,50,,,1.29，10s,22v1,0.9881,2c
8,12.91，10m,s
（2）牛郎星距离地球约16光年，宇宙飞船若以的匀速度飞行，将
用4年的时间（宇宙飞船上的钟指示的时间）抵达牛郎星。
,t,4解:
飞船时为固有时年
16光年16c,t,,地球时为测量时uu
,t,,,t由钟慢效应:
16c4即,2uu1,2c
168,1解得u,c,2.91，10m,s，17
（3）一列高速火车以速度驶过车站时，固定在站台上的相距1m的两只机械手在车厢上u
2u,,1/1m,同时划出两个痕迹，则车厢上的观察者应测出这两个痕迹之间的距离为。
,c,,解:
由洛仑兹坐标变换可得
，，,x,,,x,u,t
t,0,,x,1现知站台系中，可得火车系中
67
1,,x,2u1,2c
m（4）已知一静止质量为的粒子，其固有寿命为实验室测量到的寿命的，则此1/n0
2，，mcn,1粒子的动能是。
0
t,t,,,t解:
由,,,n0,t0又
22E,mc,mcK0
22,,mc,mc0022，，，，,mc,,1,mcn,1008-3在下表中填入或补充相应的内容答:
内容如下表:
68
内容牛顿力学狭义相对论力学
）高速物体适用范围低速物体（v,,c
真空中光速随惯性系而异在所有惯性系中均为c
在所有惯性系中，力学定律的数学在所有惯性系中，物理定律的数学形式相对性原理形式不变不变
变换关系伽利略变换洛仑兹变换坐,,,,，，y,yx,,x,uty,yx,x,ut正变换标,,t,tz,zu变,,,,z,z,t,t,x,,2换c,,
,,，，x,,x，uty,y,,,y,yx,x，ut逆变换
,t,tz,zu,,,,,,z,zt,t，x,,2c,,
2,,v,v,u，，，，v,v,u/1,uv/cxxxxx速正变换2,,v,v/[,（1,uv/c）]v,vyyxyy度2,,v,vv,v/[,（1，uv/c）]变zzzzx
2换,,,v,v，uv（vu）/（1uv/c）,，，xxxxx
逆变换2,,,v,v/[,（1，uv/c）]v,vyyxyy
2,,,v,vvv/[,（1uv/c）],，zzzzx
,,t,,t,L,,L时空量度同时性是相对的，原时最短，原长最长
122,,u质量,,m,,m,m/1,00m,m为恒量2,,0c,,
动ddvdmd运动方程F,（mv）,m，vF,（mv）,ma力dtdtdtdt
学动量p,mvp,mv,,mv0结1222Emv,动能E,mc,mckk0论2
22质能关系E,mc,E,c,m
2p22224动量与能量的关系E,cp，mcE,0k2m
ct,m,a,F不变量
x,y,z,vx,y,z,v,a,t,m,F相对量
69
,,,30S系中，与Ox轴成角，如果在系中测得该米尺与8-4一根米尺静止放置在S
,45S轴成角，那么系相对于系的速度为多大,系中测得米尺的长度是多少,OxSSu
解:
由题意
,y,tg30,
（1）,,x
y,
（2）,tg45,x
,S在系和系中测量米尺的长度分别用和SLL表示，
根据相对论“尺缩”效应，有
,y,,y题8-4图
,,Lsin30,Lsin45即（3）
2u,,,及（4）,x,,x1,,,c,,
tg30,1x,,由
（1）、
（2）有,,,xtg453
21u,,再与（4）式比较1,,,,c3,,
得
2u,c,0.816c3
由（3）式，S系中测量米尺的长度为
sin302,L,L,，1,0.707（m）,2sin45
2xOy8-5观察者A测得与他相对静止的平面上一个圆的面积为12cm;另一观察者B
xOy相对于A以v,0.8c（为真空中光速）平行于平面作匀速直线运动，B测得这图形c
为一椭圆。
试问其面积是多少,
解:
B观测该图形，由于相对论效应，在与平行的方向上长度收缩，原来的半径Rv收缩为
70
2v,,,1a,,R,1,,R,,c,,
此即椭圆的短半轴长度。
而在与垂直的方向上，图形线度不变，即椭圆长半轴为v
b,R
因此，椭圆面积为
2v,,2S,,ab,1,,,R,,c,,
22,1,0.8，12,7.2（cm）
x,x,600m8-6K惯性系中观测者记录的两事件的空间间隔和时间间隔分别是21
7,,和，为了使两事件对系来说是同时发生的，系必须以多大速度相KKt,t,8，10s21
对于K系沿x方向运动,
,解:
设系相对于K系以速率沿轴方向运动。
由洛仑兹变换，系测量两事件KKux
的时间间隔为
u,,,,,t,,t,,x,,2c,,
,t,0由题意
u即,t,,x,02c
得到
82,72（3，10），8，10c,t8,1u,,,1.2，10（m,s）,x600
82.6，10s8-7介子的固有寿命是。
如果介子在实验室参考系中的速率是0.8c，,,
那么
（1）按经典理论，
（2）按相对论理论，计算该介子在实验室参考系中的飞行距离。
解:
（1）按经典理论，介子飞行的距离为,
8,8s,uT,0.8，3，10，2.6，10,6.24（m）
8T,2.6，10s
（2）已知介子的固有寿命，按相对论理论，实验室参考系中测得,,
介子的寿命为
8T2.6，10,8,T,,T,,,4.33，10（s）221,0.8u,,1,,,c,,
介子的飞行距离为,
8,8,,s,uT,0.8，3，10，4.33，10,10.4（m）
71
介子衰变，在大气上层放出子。
这些子8-8宇宙射线和大气相互作用时能产生,,,
62.2，10s的速度接近光速（）。
如果在实验室中测得静止子的平均寿命为，u,0.998c,试问在8000m高空由介子衰变放出的子能否飞到地面,,,
6T,2.2，10s解:
已知子的固有寿命，按照相对论理论，地面参考系中测出高空,
中子的平均寿命为,
T,,T
子飞行的距离为,
86,0.998，3，10，2.2，10,s,uT,,uT,,10420（m）,8000（m）21,0.998
所以子可以飞到地面。
8-9一宇宙飞船沿x方向离开地球（S系，以地心为原点），以速度航u,0.8c
8,,S行。
宇航员观察到在自己的参考系中（系，原点在飞船上）在时刻t,,6.0，10s,
1717,,,z,0处有一超新星爆发。
他把这一观测通过无线电发x,1.80，10m,y,1.20，10m,
回地球。
在地球参考系中该超星爆发事件的时空坐标如何,假定飞船飞过地球时，其上的
钟与地球上的钟示值都指零。
解:
由洛仑兹变换，地球上的观察者测量超新星爆发的时空坐标为
,x,,（x，ut）
11788,[1.8，10，0.8，3，10，（,6，10）]
1,0.8
16,6.0，10（m）
17,y,y,1.20，10（m）
z,z,0
u,,,,t,,t，x,,2c,,
10.8,,817,,6，10，，1.8，10,,823，10,,1,0.8
8,,0.2，10（s）
8-10一米尺沿长度方向以0.8c速率相对于某观察者运动，试求这米尺始、末两端通
过观察者的时间间隔。
L,1m解:
米尺的固有长度，由于相对论效应，观察者测量米尺的长度为0
12L,,L,1,0.8，1,0.6（m）0
米尺始末两端通过观察者的时间间隔为
72
L0.6,9,t,,,2.5，10（s）8u0.8，3，10
16s,4.3，10m8-11半人马星座星是距离太阳系最近的恒星，它距离地球，设有,
一宇宙飞船自地球飞到半人马星座星，若宇宙飞船相对于地球的速度为，按v,0.999c,
地球上的时钟计算要用多少时间,如以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少年,
解:
按地球上的时钟计算，飞船飞到星所需时间（非固有时间）为,
16s4.3，10（年）,t,,,4.558v0.999，3，10，365，24，3600用飞船上的钟测量，飞船飞到星所需时间（固有时间）为,
12,t,,,t,1,0.999，4.55,0.203（年）0
L,90m8-12一艘宇宙飞船的船身固有长度为，相对于地面以，（c为真空v,0.8c0
中光速）的匀速度在一观测站的上空飞过。
问
（1）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少,
（2）宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少,
解:
（1）由相对论效应，观测站测出船身的长度为
12L,,L,1,0.8，90,54（m）0
观测站测得飞船船身通过观测站的时间间隔为
L54,7,t,,,2.25，10（s）8v0.8，3，10
L
（2）宇航员测得船身长度即固有长度，通过观测站的时间间隔为0
L90,70,t,,,3.75，10（s）08v0.8，3，10
8-13一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图。
设想一列车以极高的速度
v沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观察，
（1）隧道的尺寸如何,
l
（2）设列车的长度为，它全部通过隧道的时间是多少,0
解:
（1）根据相对论效应，从列车上观察，隧道长度缩短，其它尺寸不变，长度变为
2v,,题8-13图,L,L1,,,c,,
（2）从列车上观察，隧道以速率经过列车，全部通过所需时间为v
73
2v,,Ll1,，,,0cl,L,,0,t,,，,vvv
8-14在惯性系K中，有两件事件同时发生在x轴上相距1000m的两点，而在另一惯
,性系（沿x方向相对K系运动）中测得这两个事件发生的地点相距2000m，求在系KK
中测得这两个事件的时间间隔。
,t,0,,x,1000m,,x,2000m解:
已知，所以有
,x,,,2,x
2v1,,,11,,,,,,c2,,
从而得到系相对于K系运动的速度大小K
33v,c,c42
根据洛仑兹变换，系中测量两个事件发生的时间间隔为K
vv,,,,t,,,t,,x,,,,x,,22cc,,
3，1000,62,,2，,,5.77，10（s）83，10
6,,,即（事件2先发生）t,t,,,t,5.77，10（s）12,318-15一电子（静止质量为）以0.99c的速率运动，问m,9.11，10kg0
（1）电子的总能量是多少,
（2）电子的经典力学动能与相对论动能之比是多少,解:
（1）由相对论质能关系，电子的能量为
22E,mc,mc,0
1,3182,13,，9.11，10，（3，10）,5.81，10（J）21,0.99
（2）按经典理论，电子的动能为
12Emv,k002
按照相对论理论，电子的动能为
74
222E,E,E,mc,mc,（,,1）mck000
1,,,7.09其中，21,0.99
二者之比为
12mv220Ev0.99k02,,,,0.080622E2，6.09,,（,1）mc2（,1）ck0
Vm8-16一体积为、质量为的立方体沿其一棱的方向相对于观察者A以速度v运00
动。
求观察者A测得其密度是多少,
解:
按照相对论效应，观察者A测量该物体的长、宽、高分别为
1y,yz,zx,x,000
质量为
m,,m0
所以观察者A测得该物体的密度为
2mmm,,m000,,,,,,12Vxyz,,xyz,v0000,,V1,02,,c,,
8-17观察者甲以的速度（为真空中光速）相对于静止的观察者乙运动，若甲4c/5c
携带一长度为L、截面积为S、质量为m的棒，这根棒安放在运动方向上，试问:
（1）甲测得此棒的密度为多少,
（2）乙测得此棒的密度为多少,
解:
（1）棒相对于观察者甲静止，甲测得此棒的密度为
m,,LS
（2）根据相对论效应，乙测量棒的长度为
2v,,,L,1,L,,c,,
棒的质量为
m,m,2v,,1,,,c,,
所以，乙测得棒的密度为
75
mm1m,,,,,22,LSLS,,v4,,,,LS1,1,,,2,,5c,,,,
25,,,2.78,9
8-18在什么速度下粒子的动量等于其非相对论动量的两倍,又在什么速度下粒子的
动能等于其非相对论动能的两倍,
p,mvm解:
（1）设粒子速度为v，静止质量为。
则其经典动量大小为，相对论000
p,,mv动量大小为，令0
p1,,,,22p0v,,1,,,c,,可得
3v,c,0.866c2
12222
（2）粒子的经典动能为，相对论动能为，EmvE,mc,mc,（,,1）mc,kk00002令
2E（,,1）mck0,,21E2k0mv02
于是
21v,1,22cv,,1,,,c,,
得到
5,1v,c,0.786c2
E,3000MeV8-19设快速运动的介子的能量约为，而这种介子在静止时的能量为
6E,100MeV，若这种介子的固有寿命是，求它运动的距离。
（真空中光速,,2，10s008,1c,2.9979，10m,s）
解:
由质能关系
76
22E,mc,,mc0
得
2mc3000,,,,302100mc0
1又由,,2v1,2c
知介子的速率为
1188,1v,1,c,1,，2.997，10,2.9962，10（m,s）22,30
这种介子的寿命在实验室测量为
,,,0
所以它能运动的距离为
86,,,,2.9962，10，30，2，10Lv,v,,04,1.80，10（m）
8,18,18-20要使电子的速度从增加到，必须对它做v,1.2，10m,sv,2.4，10m,s12,31多少功,（电子静止质量）m,9.11，10kge
解由质点的动能定理，得到功为
22A,,E,,E,mc,mck21
，，
,
,112,,mc0,,22vv,,,,,,211,1,,,,,,,cc,,,,，，
，，11,3182s,9.11，10，（3，10）,,,22,,1,0.81,0.4，，
145,4.72，10（J）,2.95，10（eV）
77
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