福州高三诊断性练习数学福州二模参考答案.docx
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福州高三诊断性练习数学福州二模参考答案
评分说明：
高三诊断性练习
数学参考答案及评分细则
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：
本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分40分。
1．C2．D3．D4．B5．A6．A7．C8．C
二、选择题：
本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分20分。
全部选对的得5
分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．AD10．BD11．ABD12．BCD
三、填空题：
本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分20分。
13．yx
143
2
1573
2
16．2πR2；πR2
四、解答题：
本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．
解法一：
选①bsinAacosB0，
32
cosA
52
所以ABπ，与△ABC内角和为π矛盾.
44444
55
又因为ABCπ，
所以sinCsin（AB）sin（A3π）2（sinAcosA）20，（*）
4210
解法三：
选①bsinAacosB0，
所以BA.（*）
a
sinA
5
b
sinB
5
basinB5sinA
2
解法四：
选②5cos2C3cosC0，
所以2
5cos2C3cosC
50，
解得cosC
5cosC
5
由a
5
c，得casinC2
5
sinA
sinC
sinA
又因为ABCπ，
SacsinB425
225
解法五：
选③sinBsinC2sinA
因为cosA3，所以
16b2
c2
6bc5
55
所以△ABC的面积114
SbcsinA156225
18．本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和创新性．满分12分．
解法一：
（1）由Sn11Sn2an，
1
②当a10时，an12（an11）22（an21）2n1（a11）0，
所以an112，所以a1是首项为a1，公比为2的等比数列，与已知矛盾.
an1
（2）因为a11，则a112，由
（1）知an1是首项为a11，公比为2的等比数列，
1238945，45105550，
（21）（221）L（291）41141402
2
2（129）
12
91681210
解法二：
（1）由Sn11Sn2an①,
n2时，Sn1Sn12an1②,
所以a
n1
2ana
2an2,nN*．
当n1时，S21S12a1，得a
22a1
1，所以a
n1
2an
所以a12a122（a1）2n（a1），
事实上，若a10，则a10，从而an112，
1n1
解法三：
（1）由Sn11Sn2an①，
n2时，Sn1Sn12an1②，
则an1an2（anan1）2n1（a2a1），所以ana1（a2a1）（a3a2）（anan1）
a1（a2a1）（12222n2）
所以an1（a11）2n1，
若a10,则an112，
an1
19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．
解法一：
（1）如图，过点E作EF∥AB，交BC于点F，
因为底面ABCD为矩形，且ABAE，P
所以四边形ABFE为正方形.
又因为PBAPBC，PBPB，D
所以△PBA≌△PBF，所以PAPF．
因为POIBEO，PO,BE平面PBE，
（2）设DE1，则PBABAE2．
因为PBA60，所以PAB为等边三角形，所以PA2．
在正方形ABFE中，AFBE2，AOBO2,
在Rt△POA中，PO2PA2OA22，所以PO2.
所以PO2OB2PB2，所以POB90，所以POBE．
则B（1,1,0），P（0,0,2），C（1,2,0），D（1,2,0），
所以BP（1,1,2），DP（1,2,2），PC（1,2,
设平面BPD的法向量为n（x,y,z），
则BPn0,即xy2z0,
uuur
DPn0,
2
x2y
2z0.
取n（3,2,
设直线PC与平面PBD所成
角为，则B
sin
uuur
PCn6
cosPC,n
PCn
21.
解法二：
（1）同解法一；
z
（2）设DE1，则PBABAE2，
因为PBA60，所以PAB为等边三角形，所以PA2，P
在正方形ABFE中，AFBE2，AOBO2,
A
E
在Rt△POA中，PO2PA2OA22，所以PO2.
D
O
所以PO2OB2PB2，所以POB90，所以POBE，
又由
（1）知，AFBE，POAF，
xBFC
y
则B（
2,0,0），P（0,0,
2），C（
2,3
2
2,0）D（32,
22
2,0）
2
所以BP（
2,0,
2），DP（3
2,2,
22
2），PC（
2,3
2
2,
2
设平面BPD的法向量为n（x,y,z），
uuur
则BPn0,即
xz0,
uuur
DPn0,
3xy2z0,
设直线PC与平面PBD所成
角为，则
uuur
sincosPC,n
PCn
PCn
21.
则POAB，因为OGIPOO，PO,OG平面POG，所以AB平面POG，
连结OB，所以△OBG≌△OBH，AMED
所以OBGOBH，所以点O在ABC的平分线上，GO
因为ABAE且底面ABCD为矩形，
BHFC
（2）设DE1，则PBABAE2，
因为PBA60，所以△PAB为等边三角形，所以PA2，由
（1）知，ABPG，所以G为AB中点.
因为在矩形ABCD中，OGAB，ADAB，所以OG∥AD，所以O为BE中点.
在正方形ABFE中，AFBE2，AOBO2,
在Rt△POB中，PO2PB2OB22，所以PO2.
过O作OMAD于M，连接OD，则OM2AB1,ME2AE2AB1，
MDMEED2，在Rt△OMD中，OD
OM2MD2．
在Rt△POD中，PD连接OC，同理可得PC在Rt△BCD中，BD
PO2OD2，
．
在△PBD中，cosPDB
PD2BD2PB2
2PDBD
8，
所以sinPDB
，所以S
1
PDB2PDDBsinPDB
设C到平面PBD的距离为h，
由VCPBD
VPBCD
，得1S
1
BCDPO3SPDB
h，解得h
26
设直线PC与平面PBD所成角为，则sinh
32
7
42.
21
20．本小题主要考查回归分析等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及理解和表达能力等；考查统计与概率思想，函数与方程思想等；考查数学抽象，数学建模，数据分析和数学运算等核心素养；体现综合性，应用性和创新性．满分12分．
301630301630
解：
（1）因为xy=xy+xy=9434，x2=x2+x2=6840，
i1
i1
i17
i1
i1
i17
116
30
116
30
i1
i17
i1
i17
nn
xixyiyxiyinxy
94343014.224.4
所以bˆi1=i1=
2
n
xix
i1
n
xi
i1
2nx2
68403014.22
所以aˆybˆx=24.4+1.21414.241.64，
（2）由
（1）知aˆ41.64,bˆ1.21，所以L1的方程为y1.21x41.64.
y1.21x41.64
联立y0.02x14.64,
21．本小题主要考查导数，函数的单调性、极值，不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，数形结合思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现综合性和创新性．满分12分．
解法一：
又因为f'12e<0，f'00，f'220，
所以fx在,x0单调递增，在x0,0单调递减，在0,单调递增，所以fx恰有一个极大值点x0和一个极小值点0，
（2）由fxax23得，x3exax22x3，即ax22x3exx3，设gxax22x3exx3．
①当a1时，因为x2ex0，
所以2xx
12xx
gxaxe
32xe
x3xe
2
32xe
设hx12
x，则h'x12
x，
12x，
2x
2x3e
x3
2x
x1e1
h''x
xe0
2
所以h'x在,单调递增．又因为h'00，
所以当x0,时，h'x0，所以hx在0,单调递增，当x,0时，h'x0，所以hx在,0单调递减，
②当0a1时，则g'xax22a1x1ex1，
42a124a2a142a1a10，
所以x恰有两个零点x,x，且xx
2a10，
1212a
所以x10x2，且当x0,x2时，x0．
所以当x0,x2时，g''x0，所以g'x在0,x2单调递减，g'xg'00，所以gx在0,x2单调递减，
所以当x0,x2时，gxg00，
③当a0时，gx32xexx3，
所以g1e40，即f1a3与f1a3矛盾，不符合题意；
2
解法二：
（2）设gxfxax23x3exax22x3，则gx0，
当x,0时，g'''x0，所以g''x在,0单调递增，
①当a1时，因为g''x12a0，所以g'x单调递减，又因为g'00，所以当x0,时，g'x0，所以gx在0,单调递减，
当x,0时，g'x0，所以gx在,0单调递增，
②当0a1时，g''12a0，g''012a0，所以g''0g''10，又因为g''x在,0单调递增，
所以g''x在,0恰有一个零点x1，且当xx1,0时，g''x0，
所以g'x在x1,0单调递增，
所以当xx1,0时，g'xg'00，所以gx在x1,0单调递减，
③当a0时，当x0,时，g''xx1ex2a0，所以g'x在0,单调递增，所以g'xg'00，
所以gx在0,单调递增，所以gxg00，与gx0矛盾，不符合题意；
2
解法三：
（2）设gxfxax23x3exax22x3，则gx0，
g'xx2ex2ax2，g''xx1ex2a，g'''xxex．所以当x0,时，g'''x0，所以g''x在0,单调递减，
当x,0时，g'''x0，所以g''x在,0单调递增，
①当a1时，因为g''x12a0，所以g'x单调递减，又因为g'00，所以当x0,时，g'x0，所以gx在0,单调递减，
当x,0时，g'x0，所以gx在,0单调递增，
②当0a1时，设hxexx2x1，则h'xex2x，h''xex2e20，所以h'x在1,单调递增，所以h'xh'1e20，
所以hx在1,单调递增，所以hxh1e10，
所以当b12时，ebb2，所以g''bb12．
ab2
2a2a0
b
因为g''012a0，所以g''0g''b0，又因为g''x在0,单调递减，所以g''x在0,恰有一个零点x1，且当x0,x1时，g''x0，
所以g'x在0,x1单调递增，
所以当x0,x1时，g'xg'00，所以gx在0,x1单调递增，
③当a0时，gxx3ex2x3，
所以g25e210，与gx0矛盾，不符合题意；
2
解法四：
（2）设gxfxax23x3exax22x3，则gx0．又因为g00，所以0是gx的一个极大值点．
又g'xx2ex2ax2，
所以存在
且当
0，使得当x,0时g'x0，即2a
x2ex2
x2ex2
x
x0,时g'x0，即2a
设hx
x2ex2
x
，则h'x
x22x2ex2
x2．
设xx22x2ex2，则'xx2ex0，所以，x在,单调递减，
所以，当x,0时，x00，h'x0，hx在,0单调递增，
2alim
x0
x2ex2
x
．设uxx2ex
2，则u00，
u'xx1ex，u'01．
lim
x0
x2ex2
x
lim
x0
x2ex20
x0
lim
x0
uxu0
x0
u'01，
另一方面，当a1时，x2
x12．
2
设x
gx
12
x3e
ax
2x3
x
x3e
x2x32
mxx3e
2x2x3，则m'xx2e
x2，
当m''xx1ex1，m'''xxex．
所以当x0,时，m'''x0，所以m'''x在0,单调递减，
当x,0时，m'''x0，所以m''x在,0单调递增，
所以m''xm''00，所以m'x单调递减．又因为m'00，所以当x0,时，m'x0，所以mx在0,单调递减，当x,0时，m'x0，所以mx在,0单调递增，
所以mxm00，所以fxax23，符合题意．
2
22．本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，平面向量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，
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