新课标高中数学必修二导学案.docx
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新课标高中数学必修二导学案
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
1.1.1 多面体的结构特征…………………………………………1
1.1.2旋转体与简单组合体的结构特征………………………………………6
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图……………………………………………10
1.2.3 空间几何体的直观图.……………………………………………15
§1.3 空间几何体的表面积与体积
第1课时 柱体、锥体、台体的表面积…………………………………19
第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积…………………23
习题课 空间几何体…………………………………………27
第二章点直线平面之间的位置关系
2.1.1 平 面……………………………………………………29
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系…………………………………33
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系…………………………………………37
2.2.1 直线与平面平行的判定
2.2.2 平面与平面平行的判定………………………………………………40
2.2.3 直线与平面平行的性质………………………………………………44
2.2.4 平面与平面平行的性质………………………………………………47
2.3.1 直线与平面垂直的判定………………………………………………50
2.3.2 平面与平面垂直的判定………………………………………………53
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质………………………………………………57
第二章复习课………………………………………………60
第三章直线与方程
3.1.1 倾斜角与斜率…………………………………………………64
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定…………………………………………67
3.2.1 直线的点斜式方程……………………………………………………70
3.2.2 直线的两点式方程…………………………………………………73
3.2.3 直线的一般式方程……………………………………………………76
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离……………………………………………………79
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离………………………………………………82
第四章圆与方程
4.1.1 圆的标准方程………………………………………………………85
4.1.2 圆的一般方程………………………………………………………88
4.2.1 直线与圆的位置关系………………………………………………91
4.2.2 圆与圆的位置关系…………………………………………………94
4.2.3 直线与圆的方程的应用……………………………………………97
4.3.1 空间直角坐标系……………………………………………………100
4.3.2 空间两点间的距离公式…………………………………………103
章末复习……………………………………………………………………106
第一章 空间几何体
§1.1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
【学习目标】
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；
2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；
3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．
【知识梳理】
1．空间几何体
（1）概念：
如果只考虑物体的＿＿和＿＿，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
（2）特殊的几何体
①多面体：
一般地，由若干个围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的；相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点．
②旋转体：
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的
2．多面体的结构特征
（1）棱柱的结构特征：
一般地，有两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（2）棱锥的结构特征：
一般地，有一个面是，其余各面都是，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（3）棱台的结构特征：
用一个于棱锥底面的平面去截棱锥，之间的部分，这样的多面体叫做棱台．
思考探究
[情境导学] 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．本节课我们主要从结构特征方面认识最基本的空间几何体．
探究点一 空间几何体的类型
思考1 观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？
答:
思考2 如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型？
答:
思考3 观察图
（2）（5）（7）（9）（13）（14）（15）（16）中组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系，你能归纳出它们有何共同特点吗？
答:
[小结] 我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．
思考4 观察图
（1）（3）（4）（6）（8）（10）（11）（12）中组成几何体的每个面有何共同特点？
答:
[小结] 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．
探究点二 棱柱的结构特征
思考1 我们把下面的多面体取名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗？
图1 图2
答:
思考2 为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？
答:
思考3 棱柱上、下两个底面的形状大小如何？
各侧面的形状如何？
答:
思考4 一个棱柱至少有几个侧面？
一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？
有多少条侧棱？
有多少个顶点？
答:
思考5 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？
答:
[小结] 在棱柱中，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；思考1图1中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′.
例1 试判断下列说法是否正确：
（1）棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；
（2）棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形．
答:
[反思与感悟] 概念辨析题常用方法：
（1）利用常见几何体举反例；
（2）从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断．
跟踪训练1 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：
（1）由6个平行四边形围成的几何体．
（2）由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形．
答:
探究点三 棱锥的结构特征
思考1 我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？
答:
思考2 参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？
你能作图加以说明吗？
答:
思考3 类比棱柱的分类，棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类？
如何用棱锥各顶点的字母表示思考1中的三个棱锥？
答:
思考4 一个棱锥至少有几个面？
一个N棱锥分别有多少个底面和侧面？
有多少条侧棱？
有多少个顶点？
答:
思考5 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？
答:
思考6 棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？
答:
例2
如图，几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？
若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面．
答:
[反思与感悟] 认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开．
跟踪训练2 若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高．（过顶点向底面作垂线，顶点与垂足的距离）
答:
探究点四 棱台的结构特征
思考1 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台．那么棱台有哪些结构特征？
答:
思考2 仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义，如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶点呢？
答:
思考3 根据三棱锥、四棱锥、五棱锥……的定义，如何定义三棱台、四棱台、五棱台……？
如何用字母表示棱台？
答:
思考4 既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？
三者的关系如何？
当底面发生变化时，它们能否相互转化？
答:
例3有下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
其中正确的有（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
[反思与感悟] 一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判断几何体是否为棱台的依据．
跟踪训练3已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱长为
，求四棱台的高．
答:
【随堂练习】
1．下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
3．下列说法错误的是（ ）
A．多面体至少有四个面
B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C．长方体、正方体都是棱柱
D．三棱柱的侧面为三角形
4．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形．②所有的棱长都相等．③棱柱中至少有2个面的形状完全相同．④相邻两个面的交线叫做侧棱．
【课堂小结】
1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2．对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力．
第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征
【学习目标】 1.认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体；
2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．
【知识梳理】
1．圆柱及其有关的概念
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做．叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的．
2．圆锥的概念
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做＿
3．圆台的概念
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线．
4．球及其有关的概念
以半圆的直径所在直线为，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做，简称球．半圆的圆心叫做球的，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的．球常用表示球心的字母O表示．
5．简单组合体
（1）概念：
由组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．
（2）基本形式：
一种是由简单几何体而成，另一种是由简单几何体或一部分而成．
思考探究
[情境导学] 举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个着名景点．它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．
探究点一 圆柱的结构特征
思考1 如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？
与圆柱有关的几个概念是如何定义的？
答:
思考2 如图，平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形？
答:
探究点二 圆锥的结构特征
思考1 类比圆柱的定义，结合下图你能给圆锥下个定义吗？
答:
思考2 类比圆柱的轴、底面、侧面、母线的定义，如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线？
答:
思考3 经过圆锥的任意两条母线的截面是什么图形？
圆锥如何用字母表示？
答:
探究点三 圆台的结构特征
思考1 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台．圆台可以由什么平面图形旋转而形成？
答:
思考2 与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，它们的含义分别如何？
圆台如何用字母表示？
答:
思考3 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？
三者的关系如何？
当底面发生变化时，它们能否互相转化？
答:
例1 用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．
答:
[反思与感悟] 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程组而解得．
跟踪训练1 将例1中“截去的圆锥的母线长是3cm”改为“圆锥SO的母线长为16cm”其余条件不变，则结果如何？
答:
探究点四 球的结构特征
思考 类比圆柱、圆锥、圆台的定义，球是如何定义的？
球心及球半径是指什么？
如何用字母表示球？
答:
例2 判断下列各命题是否正确：
（1）三棱柱有6个顶点，三棱锥有4个顶点；
（2）圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
（3）一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
（4）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
（5）到定点的距离等于定长的点的集合是球．
答:
跟踪训练2下列叙述中正确的个数是（ ）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
A．0B．1C．2D．3
探究点五 简单组合体的结构特征
思考1 现实生活中的物体多数是由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．那么这些组合体是怎样构成的？
答:
思考2 观察教材图1.1－11中
（1）、（3）两物体所示的几何体，你能说出它们各由哪些简单几何体组合而成吗？
答:
例3 描述下列几何体的结构特征．
答:
跟踪训练3 数学奥林匹克竞赛中，若你获得第一名，被授予如图所示的奖杯，那么，请你介绍一下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的？
答:
【随堂练习】
1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
2．下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的母线长等于底面圆直径
B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
3．下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）
A．圆台B．球
C．圆柱D．棱柱
4．以下说法中：
①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1.
②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱．
③过圆台侧面上每一点的母线都相等．
正确的序号为________．
5.如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？
【课堂小结】
（1）圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆台的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点，若不满足该条件，则一定不是圆台或棱台．
（2）球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合．而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．
§1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图
【学习目标】 1.了解投影、中心投影和平行投影的概念；
2.能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型．
【知识梳理】
投影
（1）投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做，把留下物体影子的屏幕叫做．
（2）投影的分类
①中心投影：
光由向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于．
②平行投影：
在一束光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做，否则叫做．
2．三视图
（1）三视图的分类
①正视图：
光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的
②侧视图：
光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的
③俯视图：
光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的
（2）三视图的画法要求
①三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的、、看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．
②一个物体的三视图的排列规则是：
俯视图放在正视图的，长度与的长度一样，侧视图放在正视图的右边，高度与的高度一样，宽度与的宽度一样．
③在绘制三视图的时候，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡部分用虚线画出．
思考探究
[情境导学] 从不同角度看庐山，有古诗：
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中．”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图和直观图来把几何体画在纸上．
探究点一 中心投影与平行投影
导引 在建筑、机械等工程图中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第11页，然后思考下列问题．
思考1 什么是投影、投影线、投影面吗？
答:
思考2 不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？
答:
[小结] 我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影；把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．
思考3 用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？
答:
思考4 用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？
当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？
答:
思考5 用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？
当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？
答:
思考6 一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？
一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？
答:
例1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________．（填序号）
[反思与感悟] 画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影．如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成．
跟踪训练1 如图
（1）所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图
（2）中的________．
探究点二 柱、锥、台、球的三视图
导引 把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形．从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面．
思考1 如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么其三视图分别是什么？
答:
思考2 三视图，分别反映物体的哪些关系（上下、左右、前后）？
哪些数量（长、宽、高）?
答:
[小结] 一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为：
正侧等高，正俯等长，侧俯等宽．
思考3 圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？
答:
思考4 球的三视图是什么？
下列三视图表示一个什么几何体？
答:
探究点三 简单组合体的三视图
思考1 在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎样处理？
思考2 如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图如何画出？
（标出字母）
答:
例2如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图．（单位：
cm）
答:
[反思与感悟]
（1）在画三视图时，务必做到正（视图）侧（视图）高平齐，正（视图）俯（视图）长对正，俯（视图）侧（视图）宽相等．
（2）习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上，俯视图在正视图的正下方．
跟踪训练2 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
探究点四 将三视图还原成几何体
思考 下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图．
答:
例3 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征．
答:
[反思与感悟] 通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．
跟踪训练3 下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状．
答:
【随堂练习】
1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是（ ）
2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A．三棱锥B．四棱锥
C．四棱台D．三棱台
3．将正方体（如图
（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图
（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
5．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．
【课堂小结】
1．三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．
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