秋苏科版数学八年级上期中复习复习专题一动点问题.docx
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秋苏科版数学八年级上期中复习复习专题一动点问题
初二数学期中复习专题一：
动点问题
1、运动中构造全等
1.（13中）已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=16，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，动点P以每秒一个单位速度从点B出发沿射线BC方向运动，设点P的运动时间为t,连接PA.
（1）如图1，动点Q同时以每秒4个单位速度从点A出发沿正方形的边AD运动，求t为何值时，以点Q
及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等；
（2）
如图2，在
（1）的基础上，当点Q到达点D以后，立即以原速沿线段DC向点C运动，当Q到达点C时，两点同时停止运动，求t为何值时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等.
2．（45南摄山月考）（8分）如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．
（1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，
①CP的长为cm（用含t的代数式表示）；
②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．
（2）
若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？
若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？
3．（67南南航第一）如图
（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s
的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图
（2），将图
（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？
若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
4.（一中）（8分）如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，∠B=∠C，点D为AB的中点.
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明；
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？
（2）
若点Q以②的运动速度从点C出发，点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，求多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
5.（钟英）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动秒时，△DEB与△BCA全等.
6.（67南玄华中第一）如图，AB＝12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．
7.（67南29中期中）（2分）已知：
如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE
＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为秒时，△ABP和△DCE全等．
8.（45南摄山月考）（（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t＝秒时，△PEC与△QFC全等．
2、运动中产生等腰三角形
9.（78南建期中）（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，若AD＝3，AB＝4，CD＝8，点P为线段CD上的一动点，若△ABP为等腰三角形，求DP的长．
10.（78南鼓求真期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）
在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
11.（求真）（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90︒，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A——C——B——A运动，设运动时间为t秒（t>0）
（1）当点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）当点P在∠BAC的角平分线上时，求出此时t的值；
（3）当P在运动过程中，求出t为何值时，△BCP为等腰三角形.（直接写出结果）
（4）
若M为AC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M、N使得BM+MN的值最小？
如果有请求出最小值，如果没有请说明理由.
初二数学期中复习专题一：
动点问题
1、运动中构造全等
1.
（1）当Q在DA上时，如图所示：
此时△APB≌△CQD，
∴BP＝DQ，即t=16-4t，
解得t=16；
5
（2）当Q在CD上时，有两种情况
如图1，当Q在上边，则△QAD≌△PAB，
∴BP＝QD，即4t-16=t，
解得t=16；
3
当Q在下边，如图2，则△APB≌△BQC，则BP＝CQ，即32-4t=t，
解得t=32；
5
2.【分析】
（1）①根据正方形边长为10cm和点P在线段BC上的速度为4cm/秒即可求出CP的长；
②分△BPE≌△CPQ和△BPE≌△CQP两种情况进行解答；
（2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：
（1）①PC＝BC﹣BP＝10﹣4t；
②当△BPE≌△CPQ时，
BP＝PC，BE＝CQ，即4t＝10﹣4t，at＝6，解得a＝4.8；
当△BPE≌△CQP时，BP＝CQ，BE＝PC，即4t＝at，10﹣4t＝6，解得a＝4；
（2）当a＝4.8时，
由题意得，4.8t﹣4t＝30，
解得t＝37.5，
∴点P共运动了37.5×4＝150cm，
∴点P与点Q在点A相遇，
当a＝4时，点P与点Q的速度相等，∴点P与点Q不会相遇．
∴经过37.5秒点P与点Q第一次在点A相遇．
3.【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠
APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：
①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．
【解答】解：
（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）
①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，
，
解得
；
②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，
，
解得
；
综上所述，存在或
使得△ACP与△BPQ全等．
4.
（1）①全等，若Vp=Vq，则BP=CQ
1s时，BP=CQ=3
∵BC=9
∴CP=9-3=6
∵D为AB中点，AB=12
∴BD=1AB=62
∴BD=CP
∴∆BPD≅∆CQP（SAS）
②4cm/s，当BP≠CQ时，设时间为t
要使∆BPD≅∆CPQ，只要BP=CP，BD=CQ即可
⎧3t=9-3t⎧t=3
⎪
⎩
⎨6=vt⎨
⎪⎩v=4
∴Q的速度为4cm/s
（2）24s，第一次在BC边上相遇
5.2s或6s或8s
6.【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：
①若BP＝AC，则x＝4，此时AP＝BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，得出x＝6，BQ＝12≠AC，即可得出结果．
【解答】解：
∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：
①若BP＝AC，则x＝4，AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP＝AP，则12﹣x＝x，解得：
x＝6，BQ＝12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：
运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：
4．
7.【分析】由条件可知BP＝2t，当点P在线段BC上时可知BP＝CE，当点P在线段DA上时，则有AD
＝CE，分别可得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：
设点P的运动时间为t秒，则BP＝2t，当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，此时有△ABP≌△DCE，
∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；当点P在线段AD上时，
∵AB＝4，AD＝6，
∴BC＝6，CD＝4，
∴AP＝BC+CD+DA＝6+4+6＝16，
∴AP＝16﹣2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；
综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．故答案为：
1或7．
8.【分析】根据题意化成三种情况，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，求出即可．
【解答】解：
分为三种情况：
①如图1，P在AC上，Q在BC上，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC＝∠QFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，则△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
即6﹣t＝8﹣3t，
t＝1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，
∵由①知：
PC＝CQ，
∴t﹣6＝3t﹣8，
t＝1；
t﹣6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，
CP＝6﹣t＝3t﹣8，
t＝
；
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC＝PC，t﹣6＝6时，解得t＝12．
P和Q都在BC上的情况不存在，∵P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
9.【分析】分AB＝AP、BP＝AP、BA＝BP三种情况，根据勾股定理计算．
【解答】解：
①AB＝AP时，DP＝
＝
；
②BP＝AP时，DP＝
AB＝
×4＝2；
③BA＝BP时，过点B作BH⊥CD于H，则BH＝AD＝3，
由勾股定理得，FP＝
＝
，
DP＝4﹣
，或者DP′＝4+
．
综上所述，DP的值为
，2，4﹣
，或4+
．
10.【解答】解：
（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：
25°；小．
（2）∵∠EDC+∠EDA+∠ADB＝180°，∠DAB+∠B+∠ADB＝180°，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．
∵∠B＝∠C，
∴△ABD≌△DCE．
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE．
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
11.解：
（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴由勾股定理得AC＝＝8，
如右图，连接BP，
当PA＝PB时，PA＝PB＝t，PC＝8-t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
（2）32
3
即（8-t）2+62＝t2，
解得：
t＝25，
4
∴当t＝25时，PA＝PB；
4
解：
如图1，过P作PE⊥AB，
又∵点P在∠BAC的角平分线上，且∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴CP＝EP，
∴△ACP≌△AEP（HL），
∴AC＝8cm＝AE，BE＝2，
设CP＝x，则BP＝6-x，PE＝x，
∴Rt△BEP中，BE2+PE2＝BP2，即22+x2＝（6-x）2
解得x＝8，
3
∴CP＝8，
3
∴CA+CP＝8+8
3
＝8，
3
∴t＝32÷1=32（s）；
33
（3）2s或20s或21.2s或19s
①如图2，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，则t＝8-6，
解得t＝2（s）；
②如图3，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，
∴t＝20÷1＝20（s）；
③如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD＝4.8，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝3.6，
∴PB＝2BD＝7.2，
∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，
此时t＝21.2÷1＝21.2（s）；
④如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，
∴AP＝BP＝1AB＝5，
2
∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，
∴t＝19÷1＝19（s）；
综上所述，t为2s或20s或21.2s或19s，△BCP为等腰三角形．
图2图3图4图5
（4）48
5
解：
如图，作点B关于AC的对称点D，过D作DN⊥AB于点N，交AC于点M，则DN就是BM+MN
最小值.
∵点B和点D关于AC对称
∴MC垂直平分BD
∴BM=DM
∴BM+MN=DM+MN
根据垂线段最短，D、M、N三点共线且垂直于AB时最短，则高DN长度为所求
∵SABD
=1⨯DB⨯AC=1⨯AB⨯DN
22
∴DN=DB⨯AC=12⨯8=48
AB105
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