东南大学计算力学习题及答案讲解.docx

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东南大学计算力学习题及答案讲解

第三章

1如图所示一三角形钢板，两个结点固定，对第三个结点施以单位水平位移，测出所施加的力，从而得出相应的刚

度系数。

其他点依此类推，这样测得的刚度系数所组成的刚度矩阵，是否与按照常规三角形单元刚度矩阵计算公式

所得结果一样？

用这样实测所得的刚度矩阵能否进行有限元分析？

为什么？

解：

不一样。

单元刚度矩阵中每个元素的物理意义：

Kj表示单元第j个自由度产生单位位移，其它自由度固定时，

第i个自由度产生的节点力。

单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的，单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必是平衡力系，然而研究单元平衡时没有引入约束承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定，但位移是不能确定的，即单元可发生任意的刚体位移。

不能。

因为与有限元中单元与单元之间的约束情况不一样，不能进行有限元分析。

2以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证明之。

解：

系统总位能的离散形式np=l{a}TK{a}-{a}T{p}

将求解的方程［KFa-4带入可得

Up=丄£}丁【KKa}-{a}TkKa}=-」3【KKa}=-U

在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。

在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般来说总与精确解有差别的。

设近似解为二p、U、［K］、活1、K真实解为二p、U、［K］、「a?

、〔Kl「a；—P：

且根据最小势能原理，得到的系统的总位能总会比真正的总位能要大，故-p二p则U

k〈argJ〔k心？

=falpliaLp?

则近似解的位移总体上小于精确解的位移

解释如下：

单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，弓I入了更多的约束和限制，使得单元刚度较实际连续体加强了，连续体的整体刚度随之增加，所以有限元解整体上较真实解偏小。

3请分别阐述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵中任一元素的物理意义。

解：

在单刚l-Ke中，坏表示单元第j个位移产生一单位位移，其它位移为零时，第i个位移方向上引起的节点力。

在整体刚度中，Kj表示第j个自由度产生一单位位移，其它自由度为零时，第i个自由度上引起的节点力。

4简述虚功原理，且使用虚功原理导出外荷载与节点荷载的等效关系式。

解：

虚功原理：

变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。

设gf为外荷载（此处为体力），：

pf为节点荷载，twf为单元内位移场，匕『为结点位移场

根据虚功原理「：

e•p[-〕w：

°qfdV

由于{w}e=[N]佃}e故j{{w}ef{q}edV=j{{3}e}T[N]T{q}edV={{§}e}TJ[N]T{q}edV

VVV

则{{§門{p}e={{§汀J[N]t{q}edVn{p}e=J[N]T{q}edV

5试述弹性力学中按位移求解与有限单元法中按位移求解之间的异同点。

解：

弹性力学

有限单元法

物理模型

连续体

离散化结构

基本方程

几何方程

物理方程

平衡微分方程

结点平衡方程

解法

解微分方程

解代数方程

解答形式

用函数表示

用数值表示

解答精度

精确解

近似解

6如果三节点三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，其转角为二，证明单元内所有的应力均为零。

解：

在三角形单元中士T-idHbiIJ

由于三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，各节点的位移可表示为:

则可知节点位移向量J=：

0,0,-*j,^Xj,-VymJXm』

由于弹性矩阵［D］为常量矩阵，应变向量

［为零向量，故「CdK；［为零向量，即单元内所有的应力为零。

刚度矩阵相同。

在平面内旋转时，刚度矩阵也相同。

7二维单元在X,y坐标内平面平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？

在平面内旋转时又怎样？

试证明之。

解：

二维单元在x,y坐标内平面移到不同位置时，

单元平移或旋转时，b，G不变，故单元刚度矩阵不变。

8判断有限元网格离散合理性

a）对图1（a）所示的有限元网格，评论网格的优劣性，指出模型中的错误，并加以改正。

b）评论图1（b）的网格划分合理吗？

为什么？

请加以改正。

（。

）

图1

解：

（a）网格划分不合理。

1）无过渡单元

2）无边界条件

3）夹角区应力集中，应适当加密风格

4）对称结构网格应对称划分

（b）不合理。

1）左部网格应适当加密

2）由于三角形单元会造成局部精度不够，过渡区可采用其它单元划分

3）右部单元的长宽比较大，就进行适当调整。

9如图2所示，平面三角形构件以x-y坐标系表示的刚度矩阵方程如下

■10

-2.5

1.83

2.51

Ux1〕

>X11

“亠4

1.83

2.5

5.0

-2.5

Vy1

Py1

—

Px2

-2.5

4.5

2.5

-2.5

Ux2

■

一2.5

-2.5

2.5一

W一

Py2一

'Ux1'

解：

用坐标变换

｛芳｝=T]佃｝则丿

Vy1

\=“

vy1

'y1卜

Ux2

Ux2cosot|

企sinetJ

其中T]=

cosa

sina

试建立以UmUyi,Ux2（与图中巳2侗向的位移）及PXl,Py1,Px2

来表示的刚度矩阵方程。

由kIK]P

1.83

-2.5

2.5

1.83

5.0

2.51

-2.5

IK]It]=

-2.5

4.5

2.5

-2.5

2.5

-2.5

2.5一

1000

0100

■10-2.52.9640[

1.832.52.50

00工0

-2.54.50.50

2.5-2.5-0.50一

00—0

5一

101.83

3所示。

试求结点2的等效

-2.52.964Ux1PX1

2.52.5皿〉十1>

20j|uxj[Px2”

10某平面结构采用四节点矩形单元和三节点三角形单元建立有限元计算模型，其如图荷载列阵*2：

解：

单元①，荷载作用于1-2边上，故等效节点力只与1、号节点有关

则Py=jN^ydsuqlj£2d匕='

l03

丨°]

在1-2边上，傀.；工〒s

iqrj

故节点2的等效荷载列阵

「R2，ql2

13J

1,且设Ke表示第e个单元的单元

11试求如图4所示的有限元网格的整体刚度矩阵，假设每个节点的自由度数为

刚度矩阵（注意：

结果应该用k：

表示）。

解：

单元刚度矩阵「K[⑴-

-6

-2

-6

-12

-4

-3

0、

（1）=

对

13.5

-7.5

-3

（1）=

-3

-1

13.5

-3

-1.5

-0.5

1.5」

9.5

-3

•

称

5.5j

12图5中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元①按局部编码

i,j,m的单元刚度矩阵

按图5示单元②的局部编码写出K②，S②。

K①和应力矩阵S①是

解：

由图可知m⑴>i

（2）,i

（1）>j⑵,j

（1）>m

（2）

-3

（2）=

-1

-3

1-0.5

1.5

-1.5

13如图6所示8结点矩形单元（每边中点为结点）,3点为坐标原点,元厚为t。

1求该单元的位移函数和形函数和并检验其是否满足收敛性条件。

2求在2-6-3边作用均布水平荷载q时的等效结点荷载。

解：

（1）位移函数：

-Lu=5Lx：

3y：

jx2：

5xy：

6y2：

7x2y：

8xy2

■2222

VToX11y：

12X：

13xy：

14y：

15Xy16xy

引入无量纲的局部坐标

X1X3屮y

则n=3,X2,、2：

故1=0,2,3=1,1=0,2:

11=2（-1）（

3=1

-1）,12一（-1）」3

=2（_2）,p—2（--）（-1），p--4（-1），p3

2（--）

则n=2时，^0,2=1,4=0,2=1h=1-」2二，P1=1-，P2虫：

则角节点的形函数为

11“11

2222

N3=4（-2）（一1）（_才）（_1）,N4=4（—£）（-1）（-1）

边中节点的形函数为

N5=一4（-1）,N^-4（一1）（1一）,N7=-4（一1）（1一）,N8=-4（-1）

证明收敛性：

位移函数中

厂2222

+a5xy+G6y+a7xy+a8Xy

2222

丫=。

9+。

10*+口11丫+0（12乂+ct13xy+c（14y+a15xy+c（16xy

>1,-S表示刚体位移，-：

：

2,二3和二9,二10表示常应变，故位移函数具有完备性

设相邻单元公共边界上的直线方程是y=b（或x=a），代入位移函数中

r222

u予+a3b+°6b+（a2+°5b+°8b）x+（o4+a7b）x

222

y=C（9+c（11b+c（14b+（O（10+c（13b）+c（16bX+（。

伐+G^b）X

为x（或y）的2次函数，而边界上三点确定的位移函数为也为二次曲线，故单元在公共边界连续，故位移函数收敛

（2）荷载作用在2-3边上，故等效节点力只与2,6,3号节点有关

1111

N2=4（-一）（一一）（一1）,N6=—4（-1）（1一），N3=4（-一）（一1）（一一）「一1）

222

N2?

N6：

亠44（—2）y

2=0，仝=0匹卫匹

ds二

（；X）2（；y）2d=2d

乐=t.Mqxds=2qt.弘在^-qtBx=t.Wqxds

第四章

1经典梁理论和Timoshenko梁理论有哪些相同点和哪些不同点？

基于以上两种理论的梁单元各有何特性?

解：

经典梁理论

Timoshenko梁理论

相同点

Kirchhoff假设

G型单元

C。

型单元

不同点

弯曲梁单兀

考虑剪切变形影响

截面转动8是挠度w的一阶导数，只有挠度w是独立的

挠度w和截面转动e各自独立插值

采用Hermite插值

采用拉格朗日插值

特性

梁的高度远小于跨度

梁很薄时，会造成剪切锁死现象

2写出杆件的应变能计算公式，并给出推导过程。

解：

将只考虑轴向变形的杆件划分成n个单元，节点坐标为.「iH'Xn

单元的位移函数u（x）+o2x（x」WxExi）

www_w

用形函数近似位移函数得u（x）=Nil（x）Ui」•NieUi，其中Ni/x）l,Nie（x）◎

x4一XiXi—Xi_j

单元的应力二二E；=E[B]^ue?

_X+

其中卜「=[B]TEA[B]dx-

还有什么方法可以实现以上条件，并比较这几种方

3在杆系系统中，除了采用凝聚自由度的方法实现铰接端条件,法的优缺点。

解:

优点

缺点

凝聚自由度法

0wvdx

w（x）

【1一一】

LlJLy1

—1

L12Lkfv

ilp=0尹（v"）2dx0〒dx「

图1

解：

根据最小势能原理可知-J【p=0

lll

故有I〕p=（Elv”）、v”dxkfvvdx-w、vdx=0

000

对第一项分部积分J（Elv”）§v”dx=（Elv”）6v'|；—J（Elv”）'6v'=（Elv”Wvf0—（Elv”）'§v0+J（EIv”）吒v

[（Elv''）''kfv-w]、vdx（Elv”）、v'0_（Elv”）'、v；=0

引入强制边界条件和自然边界条件使（Elv”）6v'|：

—（Elv”）'5v|0=0

由于v的任意性故控制微分方程为（EIv"）"•kfV-w=0

此梁的位移函数vh（x^N1e（x）v1N2（x^1N3（x）v3N：

（x）匕二[N]f，则:

v[=[N]、M

由于物理关系可知v”（x）-I.BEd*则/

lll

由（Elv”）v”dx亠Ikvvdx-wvdx=0得

000

TXi+TXi*TXi+

"{df}（J[B]TEI[B]dx）{d}e+b{dF}（J[N]Tkf[N]dx）{dF{df}（J[N]Twdx）

刍1xi1

（J[B]TEI[B]dx+J[N]Tkf[N]dx）{d}e

二[N]twdx

则梁单元刚度方程为川d—F严

x★x+

其中!

-k『=EI[B]T[B]dxkf[N]T[N]dx

X十

「FJ[N]Twdx

5图2所示刚架

1）如何进行节点编号使整体刚度矩阵[K]的带宽最小？

2）冈慄的整体刚度矩阵中a节点的总刚度矩阵心和的总刚度矩阵心各由哪些单元的哪些分块矩阵叠加组成

（自行确定单元局部坐标方向）

3）试按照二维等带宽存储和一维变带宽存储方式确定Kaa中对角元素的在相应存储数组中的位置。

图2有铰点的刚架

解：

1）考虑每个节点有两个自由度

由于半带宽d=（相邻结点码的最大差值+1）*2

故节点编号如图所示可使单元内节点编码相差3，使得带宽d=8

2）Kaa二K务k22Ki（4K11Kb厂Kf

3）考虑单元①节点1自由度的凝聚

可知Kaa中对角线元素在原整体刚度矩阵中第6行第7列和第7行第8列

则用二维等带宽存储后在矩阵中的第6行第2列和第7行第2列

用一维变带宽存储后在Kaa中对角线元素在数组中的位置为9和10

（1）

K⑴

K⑴械⑵

K⑵

2211

（3）

（2）4K（3）

K⑵

K⑶

2222

K⑷

k（5）

水⑷4K（5）

1111

K⑷

K⑷4K（6）

k（6）

2211

⑺

K（5）廿⑺

k（5）

K（7）

2222

k（8）

本（8）4k（9）

1111

k（6）

k（8）

k（6）

4k（8）4k（10）

K（10）

2211

（11）

k（9）

K（11）

k（9）

+k（11）+k（12）

K（12）

2211

1亠

1X（10）

1X（12）

”（10）—（12）

K+K

2222

第五章

1根据以下形函数表达式

132313223

Ni3（2x-3xLL）N23（xL—2xLxL）

1321322

N^-3（-2x33x2L）叫二己（x3L—x2L2）画出形函数Ni和N以及导数（dN2/dx）和（dN/dx）,它们代表梁单元整个长度上形状变化2、对于图1中给出的四节点二次应变一维等参单元，试确定:

a）形函数N,N2,Ns，M；

b）单元刚度矩阵［k］。

-1

位X>=

：

「/X33

6（8F2°

[k^-EP

4（3©2亠1）

4（3W-1）

丄（8：

+12：

2+1）

、6

1（8-1221）

4（32

--1）4（32-1）

>1221）d

3试利用变节点数法构造插值函数的，构造出图2所示的三次三角形单元的形函数及相应的位移函数。

i十心丄,N3J

解：

位移函数:

-......223223

u-r：

2x，=3y：

4x：

5xy：

6y：

7x：

8xy：

9xy，=10y

v=0^4+ot12x+ot13y+ot14x2+ot15xy+ot16y2+□17x3+ot18x2y+ot19xy2+a20y3

（1）

构造不考虑边节点和内部节点的角节点的插值函数:

（4）修正角节点的插值函数：

211

N1=N1—JN4+N9）—邙^+^）—3N10

333

2991991

二L1[L1L2（3L1-1）L1l_3（3L1-1）][L1L2（3L2-1）1丄3（31_3-1）]27L1L2L3

3223223

1石©J-1）（3L1-2儿

211

N^N?

2--（N5N6）-3（N2）-加10

333

2991991

乱2-—[—L1L2（3L2-1）—L2L3（3L2-1）]-—[—L1L2（3L1-1）—L2L3（3L3-1）]-—27L1L2L3

3223223

二严-1）（3L2讥

211

n3=N3--（N7N8）-3（n入）一3口0

333

2991991

丄-§纭山3」1）汀的--1）］--［汁皿-1）严汎-1）匕274

1=2（3L-—1）（3L-一2儿3

4试构造如图3所示的15结点三棱柱体单元的插值函数，并判断其构造的位移函数是否收敛。

（4）修正角节点的插值函数：

2弋—（Ng弘2）-*7=九

（1）-£[2L1L2

（1）2JL-

（1）]-九（1-2）

22222

（1）（-2L2-2L-）

1111^1.2

2二©-―的。

NJ一―NgL2

（1）-—［2心1）2L2L3

（1）］——L2（1-）

22222

（1）（-2匚-2L3）

N^N?

3--（N11N12^-N^-L3

（1）—l［2L2L3

（1）2L』3

（1）^-L3（^2）

22222

（1）（-2匚-2L2）

N4=r?

4—］（N13N15）—’n?

11.1.2

9"）才Li"）2山（1一）匕"）

Ii>i>

Li（-1）（2L22L3）

111112

N5=N?

5（N13N14）NgL2（1-）［2LiL2（1-）2L2L3（1-）］L2（1-）

22222

L2（-1）（2Li2L3）

1111^.1.2

Ne皿-尹14讪-尹二"）才L2"）»3（1-）］才3（1-）

Iiru-

L3（-1）（2Li2L2）

第八早

1等参元的收敛性证明。

证明：

（1）协调性：

考察单元之间的公共边，为了保证协调性，相邻单元在这些公共边（或面）上应有完全相同的结点,

同时每一单元沿这些边的坐标和未知函数应采用相同的插值函数加以确定。

（2）完备性：

Z八Ni

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