计算机组成原理——浮点数表示及运算.ppt
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计算机组成原理,2023年6月3日,浮点数表示及运算,一、浮点数的表示,N=Rem=2EM=2e（m）,E0,M0,91028=0.910-2721033=0.21034任意一个十进制数可以写成=10E（十进制表示）,计算机中一个任意进制数可以写成,m：
尾数，是一个纯小数。
e：
浮点的指数,是一个整数。
R：
基数，对于二进计数值的机器是一个常数，一般规定为2，8或16,浮点数的表示范围,负上溢,N=2EM|N|产生正上溢或者负上溢|N|0产生正下溢或者负下溢,尾数：
用定点小数表示，给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度阶码：
用定点整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。
一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成：
最大正数,最小正数,最小负数,最大负数,8位定点小数可表示的范围0.0000001-0.11111111/128-127/128设阶码2位，尾数4位可表示2-11*0.0001-211*0.11110.0000001-111.1设阶码3位，尾数3位可表示2-111*0.001-2111*0.1110.0000000001-1110000,机器字长一定时，阶码越长，表示范围越大，精度越低浮点数表示范围比定点数大，精度高,一个浮点数有不同的表示：
0.5；0.05101；0.005102；5010-2,为提高数据的表示精度，需做规格化处理。
浮点数是数学中实数的子集合，由一个纯小数乘上一个指数值来组成。
二、浮点数规格化,把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。
在计算机内，其纯小数部分被称为浮点数的尾数，对非0值的浮点数，要求尾数的绝对值必须=1/2，即尾数域的最高有效位应为1,称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示：
0.1000101010,规格化目的：
为了提高数据的表示精度为了数据表示的唯一性尾数为R进制的规格化：
绝对值大于或等于1/R二进制原码的规格化数的表现形式：
正数0.1xxxxxx负数1.0xxxxxx,正数0.1xxxxxx负数1.1xxxxxx,补码尾数的规格化的表现形式：
尾数的最高位与符号位相反。
解：
12310=11110112=0.11110110002277移=10000+00111=101110.1111011000补=0.1111011000123浮=1011101111011000=BBD8H,例：
对数据12310作规格化浮点数的编码，假定1位符号位，基数为2，阶码5位，采用移码，尾数10位，采用补码。
S尾数符号，0正1负；M尾数,纯小数表示,小数点放在尾数域的最前面。
采用原码表示。
E阶码，采用“移码”表示（移码可表示阶符）;阶符采用隐含方式，即采用移码方法来表示正负指数。
为便于软件移植，使用IEEE（电气和电子工程师协会）标准IEEE754标准：
尾数用原码；阶码用“移码”；基为2。
三、浮点数的标准格式IEEE754,规格化浮点数的真值,x=（-1）s（1.）2127e=127,一个规格化的32位浮点数的真值为：
32位浮点数格式：
x=
（1）s（1.）21023,一个规格化的64位浮点数的真值为：
这里e是真值，是机器数,1.隐藏位技术,2.阶码用“移码”偏移值127而不是128,Emin=1,Emax=254/2046,原码非0值浮点数的尾数数值最高位必定为1，则在保存浮点数到内存前，通过尾数左移,强行把该位去掉,用同样多的位数能多存一位二进制数，有利于提高数据表示精度，称这种处理方案使用了隐藏位技术。
当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢复该隐藏位。
例：
若浮点数x的二进制存储格式为（41360000）16，求其32位浮点数的十进制值。
解：
0100,0001,0011,0110,0000,0000,0000,0000数符：
0阶码：
1000,0010尾数：
011,0110,0000,0000,0000,0000指数e阶码127100000100111111100000011=（3）10包括隐藏位1的尾数：
1.M1.011011000000000000000001.011011,于是有x
（1）s1.M2e（1.011011）231011.011（11.375）10,例:
将十进制数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储。
解：
首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：
20.5937510100.10011然后移动小数点，使其在第1，2位之间10100.100111.01001001124e4于是得到：
e=127S0，E4127131=1000,0011，M010010011最后得到32位浮点数的二进制存储格式为01000001101001001100000000000000（41A4C000）16,解：
-0.75=-3/4=-0.112=-1.12-1=（-1）1（1+0.10000000000000000000000）2-1=（-1）1（1+0.10000000000000000000000）2126-127s=1，E=12610=011111102，F=1000000。
1011,1111,0100,0000,0000,0000,0000,0000BF400000H,例：
将十进制数-0.75表示成单精度的IEEE754标准代码。
单精度浮点数编码格式,+0/-0,0,0,0/1,（-1）S（0.f）2（-126）,f（非零）,0,0/1,（-1）S（1.f）2（e-127）,f,1254,0/1,-,0,255,1,+,0,255,0,sNaNSignalingNaN,非零0xxxx,255,0/1,NaNNotaNumber,非零1xxxx,255,0/1,表示,尾数,阶码,符号位,IEEE754规格化浮点数表示范围,Emax=2046,f=1.1111,1.111122046-1023=21023（2-2-52）,Emin=1,M=0,1.021-1023=2-1022,双精度,Emax=254,f=1.1111,1.11112254-127=2127（2-2-23）,Emin=1,M=0,1.021-127=2-126,单精度,最大值,最小值,格式,设有两个浮点数和,它们分别为:
浮点加减法运算,其中Ex和Ey分别为数和的阶码，Mx和My为数和的尾数。
两浮点数进行加法和减法的运算规则是:
（Mx2ExEyMy）2EyEx=Ey,2ExM2EyM,完成浮点加减运算的操作过程大体分为：
（1）0操作数的检查；,
（2）比较阶码大小并完成对阶；,（3）尾数进行加或减运算；,（4）结果规格化。
（5）舍入处理。
（6）溢出处理。
使二数阶码相同（即小数点位置对齐），这个过程叫作对阶。
先求两数阶码Ex和Ey之差，即E=ExEy若E=0，表示Ex=Ey若E0,ExEy若E0,ExEy,通过尾数的移动来改变Ex或Ey，使其相等。
对阶原则阶码小的数向阶码大的数对齐；对阶过程小阶的尾数右移，每右移一位,其阶码加1（右规）。
（2）对阶,
（1）0操作数检查,210*（0.11000）+28*（0.00110）大阶对小阶210*（0.11000）-28*（11.000）11.000+0.00110?
小阶对大阶28*（0.00110）-210*（0.00001）0.00001+0.11000=0.11001,例:
x=2010.1101,y=211（-0.1010）,求x+y=?
解：
为便于直观了解，两数均以补码表示，阶码、尾数均采用双符号位。
x补=0001,00.1101y补=0011,11.0110E补=Ex补Ey补=0001+1101=1110E=-2,表示Ex比Ey小2,因此将x的尾数右移两位.右移一位,得x补=0010,00.0110再右移一位,得x补=0011,00.0011至此,E=0,对阶完毕.,尾数求和方法与定点加减法运算完全一样。
对阶完毕可得:
x补=0011,00.0011y补=0011,11.0110对尾数求和:
00.0011+11.011011.1001即得:
x+y补=0011,11.1001,（3）尾数求和运算,（4）结果规格化,求和之后得到的数可能不是规格化了的数,为了增加有效数字的位数,提高运算精度,必须将求和的结果规格化。
规格化的定义:
（二进制）,对正数:
S=00.1对负数:
S=11.0,采用双符号位的补码：
采用原码：
正数:
S=0.1负数：
S=1.1,规格化规则,运算结果产生溢出时，必须进行右归如变形补码结果出现10.XX或者01.XXX如运算结果出现0.0XXX或1.1XX必须左归左归时最低数据有效位补0右归时连同符号位进位位一起右移左归时，阶码作减法，右归时，阶码作加法,00.0XXXX-00.1XXX0左规11.1XXXX-11.0XXX0左规01.XXXXX-00.1XXXX右规10.XXXXX-11.0XXXX右规,规格化方法,例：
两浮点数x=0.1101210,y=（0.1011）201,求x+y。
解：
x补=0010，00.1101y补=0001，00.1011对阶：
E补=Ex补Ey补=0010+1111=0001y向x对齐，将y的尾数右移一位，阶码加1。
y补=0010，00.0101,x+y补=0010，01.0010,右归：
运算结果两符号位不同，其绝对值大于1，右归。
x+y补=0011，00.1001,求和：
00.1101+00.010101.0010,在对阶或向右规格化时,尾数要向右移位,这样,被右移的尾数的低位部分会被丢掉,从而造成一定误差,因此要进行舍入处理。
简单的舍入方法有两种：
“0舍1入”法即如果右移时被丢掉数位的最高位为0则舍去，反之则将尾数的末位加“1”。
“恒置1”法即只要数位被移掉，就在尾数的末位恒置“1”。
从概率上来说,丢掉的0和1各为1/2。
（5）舍入处理,在IEEE754标准中,舍入处理提供了四种可选方法：
就近舍入其实质就是通常所说的四舍五入。
例如,尾数超出规定的23位的多余位数字是10010,多余位的值超过规定的最低有效位值的一半,故最低有效位应增1。
若多余的5位是01111,则简单的截尾即可。
对多余的5位10000这种特殊情况：
若最低有效位现为0,则截尾；若最低有效位现为1,则向上进一位使其变为0。
朝0舍入即朝数轴原点方向舍入,就是简单的截尾。
无论尾数是正数还是负数,截尾都使取值的绝对值比原值的绝对值小。
这种方法容易导致误差积累。
朝舍入对正数来说,只要多余位不全为0则向最低有效位进1;对负数来说则是简单的截尾。
朝舍入处理方法正好与朝舍入情况相反。
对正数来说,只要多余位不全为0则简单截尾;对负数来说,向最低有效位进1。
（6）溢出处理,与定点加减法一样，浮点加减运算最后一步也需判溢出。
在浮点规格化中已指出，当尾数之和（差）出现01或10时，并不表示溢出，只有将此数右规后，再根据阶码来判断浮点运算结果是否溢出。
若机器数为补码，尾数为规格化形式，并假设阶符取2位，阶码取7位、数符取2位，尾数取n位，则它们能表示的补码在数轴上的表示范围如图所示。
图中A，B，a，b分别对应最小负数、最大正数、最大负数和最小正数。
它们所对应的真值分别是：
A最小负数2+127（-1）B最大正数2+127（1-2-n）a最大负数2-128（-2-1-2-n）b最小正数2-1282-1,最小负数,最大正数,最大负数,最小正数,图中a,b之间的阴影部分，对应阶码小于128的情况，叫做浮点数的下溢。
下溢时浮点数值趋于零，故机器不做溢出处理，仅把它作为机器零。
图中的A、B两侧阴影部分，对应阶码大于127的情况，叫做浮点数的上溢。
此刻，浮点数真正溢出，机器需停止运算，作溢出中断处理。
一般说浮点溢出，均是指上溢。
可见，浮点机的溢出与否可由阶码的符号决定：
阶码j补=01,为上溢，机器停止运算，做中断处理；阶码j补=10,为下溢，按机器零处理。
例：
若某次加法操作的结果为X+Y补=11.010,00.0000110111,则应对其进行向左规格化操作：
尾数为：
00.1101110000，阶码减4：
11.010+11.100-4补10.110,例：
若某次加法操作的结果为X+Y补=00.111,10.1011100111,则应对其进行向右规格化操作：
尾数为：
11.0101110011，阶码加1：
01.000阶码超出了它所能表示的最大正数（+7），表明本次浮点运算产生了溢出。
阶码超出了它所能表示的最小负数（-8），表明本次浮点运算产生了溢出。
例:
两浮点数x=21010.11011011，y=2111（-0.10101100）。
假设尾数在计算机中以补码表示，可存储10位尾数，2位符号位，阶码以补码表示，双符号位,求x+y。
解：
将x,y转换成浮点数据格式x浮=00101,00.11011011Y浮=00111,11.01010011+100111,11.01010100步骤1：
对阶，阶差为Ex-Ey=Ex补+-Ey补-Ey补=11000111001Ex-Ey001011100111110（000011）0001020Ex-Ey0ExEy小阶对大阶，X阶码加2X尾数右移2位,解：
将x,y转换成浮点数据格式x浮=00101,00.11011011Y浮=00111,11.01010011+100111,11.01010100步骤1：
对阶，阶差为Ex-Ey=Ex补+-Ey补Ex-Ey20Ex-Ey0ExEy小阶对大阶，X阶码加2X尾数右移2位x浮=00111,00.00110110（11）步骤2：
尾数求和X+Y浮=00111,00.00110110（11）+00111,11.01010100=00111,11.10001010（11）,步骤2：
尾数求和X+Y浮=00111,00.00110110（11）+00111,11.01010100=00111,11.10001010（11）步骤3：
计算结果规格化X+Y浮为非规格化数，左归一位,阶码减一，00110,11.00010101
（1）步骤4：
舍入处理X+Y浮=00110,11.00010110（0舍1如法）X+Y浮=00110,11.00010101（截去法）步骤5：
溢出判断无溢出X+Y浮=2110x（-00.11101011）,例设=20100.11011011,=2100（-0.10101100）,求+。
解：
阶码采用双符号位,尾数采用单符号位,则它们的浮点表示分别为x浮=00010,0.11011011y浮=00100,1.01010100
（1）求阶差并对阶,E=Ex-Ey=Ex补+-Ey补=00010+11100=11110,x浮00100,0.00110110（11）,其中（11）表示M右移2位后移出的最低两位数。
即E为-2,x的阶码小,应使Mx右移两位,Ex加2,
（2）尾数求和,（4）舍入处理,采用0舍1入法处理,则有:
1.00010101+11.00010110,0.00110110（11）+1.010101001.10001010（11）,（3）规格化处理尾数运算结果的符号位与最高数值位为同值，应执行左规处理，结果为1.00010101（10），阶码为00011。
（5）判断溢出阶码符号位为00，不溢出，故得最终结果为x+y=2011（-0.11101010）,例：
两浮点数x=2010.1101，y=211（-0.1010）。
假设尾数在计算机中以补码表示，可存储4位尾数，2位保护位，阶码以原码表示，求x+y。
解：
将x,y转换成浮点数据格式x浮=0001,00.1101y浮=0011,11.0110步骤1：
对阶，阶差为11-01=10，即2，因此将x的尾数右移两位，得x浮=0011,00.001101步骤2：
对尾数求和，得:
x+y浮=0011,11.100101步骤3：
由于符号位和第一位数相等，不是规格化数，向左规格化，得x+y浮=0010,11.001010步骤4：
截去。
x+y浮=0010,11.0010步骤5:
数据无溢出，因此结果为x+y=210（-0.1110）,浮点乘除法运算,1.浮点乘法、除法运算规则,设有两个浮点数和：
2ExMx2EyMy浮点乘法运算的规则是：
2（Ex+Ey）（MxMy）即：
乘积的尾数是相乘两数的尾数之积;乘积的阶码是相乘两数的阶码之和。
浮点除法运算的规则是:
2（ExEy）（MxMy）即：
商的尾数是相除两数的尾数之商;商的阶码是相除两数的阶码之差。
2.浮点乘、除法运算步骤,浮点数的乘除运算大体分为四步：
（1）0操作数检查；
（2）阶码加/减操作；（3）尾数乘/除操作；（4）结果规格化及舍入处理。
（2）浮点数的阶码运算,对阶码的运算有1、1、两阶码求和、两阶码求差四种,运算时还必须检查结果是否溢出。
在计算机中,阶码通常用补码或移码形式表示。
移码的运算规则和判定溢出的方法,移码的定义为x移=2n+-2nx2n,x移+y移=2n+2n+,=2n+移,按此定义,则有,=2n+（2n+（+）,+移=-2n+x移+y移,考虑到移码和补码的关系：
对同一个数值,其数值位完全相同,而符号位正好完全相反。
y补的定义为y补=2n+1+则求阶码和用如下方式完成：
=2n+1+（2n+（+）,x移+y补=2n+2n+1+,即：
+移=x移+y补（mod2n+1）,同理：
-移=x移+-y补（mod2n+1）,混合使用移码和补码,使用双符号位的阶码加法器,并规定移码的第二个符号位,即最高符号位恒用0参加加减运算,则溢出条件是结果的最高符号位为1：
当低位符号位为0时,（10）表明结果上溢,当低位符号位为1时,（11）表明结果下溢。
当最高符号位为0时,表明没有溢出:
低位符号位为1,（01）表明结果为正;为0,（00）表明结果为负。
阶码运算结果溢出处理,例：
=+011,=+110,求x+y移和x-y移,并判断是否溢出。
解：
阶码取3位（不含符号位），其对应的真值范围是-8+7,x移=01011,y补=00110,-y补=11010,x+y移=x移+y补=,x-y移=x移+-y补=,01011+0011010001,结果上溢。
结果正确,为-3。
01011+1101000101,（3）尾数处理,浮点加减法对结果的规格化及舍入处理也适用于浮点乘除法。
第一种方法是：
无条件地丢掉正常尾数最低位之后的全部数值。
这种办法被称为截断处理,好处是处理简单,缺点是影响结果的精度。
第二种办法是：
运算过程中保留右移中移出的若干高位的值,最后再按某种规则用这些位上的值修正尾数。
这种处理方法被称为舍入处理。
当尾数用原码表示时:
最简便的方法是，只要尾数的最低位为1,或移出的几位中有为1的数值位,就使最低位的值为1。
另一种是0舍1入法,即当丢失的最高位的值为1时,把这个1加到最低数值位上进行修正,否则舍去丢失的的各位的值。
这样处理时,舍入效果对正数负数相同,入将使数的绝对值变大,舍则使数的绝对值变小。
舍入处理,当尾数是用补码表示时:
采用0舍1入法时，若丢失的位不全为0时：
对正数来说，舍入的结果与原码分析相同；对负数来说，舍入的结果与原码分析相反，即“舍”使绝对值变大，“入”使绝对值变小；为使原、补码舍入处理后的结果相同，对负数可采用如下规则进行舍入处理：
当丢失的各位均为0时,不必舍入；当丢失的最高位为0,以下各位不全为0时,或者丢失的最高位为1,以下各位均为0时,则舍去丢失位上的值；当丢失的最高位为1,以下各位不全为0时,则执行在尾数最低位入1的修正操作。
例:
设x1补=11.01100000,x2补=11.01100001,x3补=11.01101000,x4补=11.01111001,求执行只保留小数点后4位有效数字的舍入操作值。
解：
执行舍入操作后,其结果值分别为x1补11.0110（不舍不入）x2补11.0110（舍）x3补11.0110（舍）x4补11.1000（入）,例：
设有浮点数=250.0110011,=23（-0.1110010）,阶码用4位移码表示,尾数（含符号位）用8位补码表示。
求浮。
要求用补码完成尾数乘法运算,运算结果尾数保留高8位（含符号位）,并用尾数低位字长值处理舍入操作。
解：
移码采用双符号位,尾数补码采用单符号位,则有Mx补=0.0110011,My补=1.0001110,Ex移=00011,Ey移=01011,Ey补=00011,x浮00011,0.0110011,y浮01011,1.0001110,
（2）尾数乘法运算可采用补码阵列乘法器实现,即有,
（1）求阶码和,Ex+Ey移=Ex移+Ey补=00011+00011=00110,值为移码形式-2。
Mx补My补=0.0110011补1.0001110补,=1.1010010,1001010补,（4）舍入处理,（3）规格化处理,乘积的尾数符号位与最高数值位符号相同,不是规格化的数,需要左规,阶码变为00101（-3）,尾数变为1.0100101,0010100。
尾数为负数,取尾数高位字长，按舍入规则,舍去低位字长，故尾数为1.0100101。
最终相乘结果为,其真值为23（0.1011011）,浮00101,1.0100101,由于浮点运算分成阶码和尾数两部分，因此浮点运算器的实现比定点运算器复杂得多。
分析上述的浮点四则运算可以发现，对于阶码只有加减运算，对于尾数则有加、减、乘、除4种运算。
可见浮点运算器主要由两个定点运算部件组成，一个是阶码运算部件，用来完成阶码加、减，以及控制对阶时小阶的尾数右移次数和规格化时对阶码的调整；另个是尾数运算部件，用来完成尾数的四则运算以及判断尾数是否已规格化。
此外，还需要有溢出判断电路等。
浮点运算器的组成,1、浮点运算器的一般结构,两个操作数的阶码部分，分别放在寄存器1和2中，它们与并行加法器相连可以计算12。
阶码比较是通过12来实现的，相减结果放在计数器。
然后按的符号来决定哪一个阶码较大，并用来控制其中一个尾数的移位次数。
每递减次，相应的尾数右移一位，直到为止。
一旦尾数调整完毕，就可按通常的加、减方法处理，并将其结果的阶码放入寄存器中。
.,流水线原理计算机的流水处理过程同工厂中的流水装配线类似。
为了实现流水,首先必须把输入的任务分割为一系列的子任务,使各子任务能在流水线的各个阶段并发地执行。
将任务连续不断地输入流水线,从而实现了子任务的并行。
因此流水处理大幅度地改善了计算机的系统性能,是在计算机上实现时间并行性的一种非常经济的方法。
在流水线中,原则上要求各个阶段的处理时间都相同。
若某一阶段的处理时间较长,势必造成其他阶段的空转等待。
因此对子任务的划分,是决定流水线性能的一个关键因素,它取决于操作部分的效率、所期望的处理速度,以及成本价格等等。
假定作业T被分成k个子任务,可表达为TT1,T2,Tk各个子任务之间有一定的优先关系：
若ij,则必须在Ti完成以后,Tj才能开始工作。
具有这种线性优先关系的流水线称为线性流水线。
线性流水线处理的硬件基本结构如图所示。
2、浮点流水运算部件,图中,处理一个子任务的过程为过程段（Si）。
线性流水线由一系列串联的过程段组成,各个过程之间设有高速的缓冲寄存器（L）,以暂时保存上一过程子任务处理的结果。
在一个统一的时钟（C）控制下,数据从一个过程段流向相邻的过程段。
设过程段Si所需的时间为i,缓冲寄存器的延时为l,线性流水线的时钟周期定义为maxilm
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