材料力学复习总结很全面的材料力学期末考试复习资料.ppt

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第一部分杆件的强度与刚度,下面框图表示了求解过程：

杆件的强度与刚度,包括了基本变形与组合变形,一、杆件的内力,1.内力的概念2.内力的计算方法3.内力图作法,内力截面法,一、内力物体受外力作用，物体内各部分之间因相对位置的变化而引起的相互作用.必须注意：

1内力不是物体内各质点间相互作用力.2内力是由外力引起的物体内部各部分之间附加相互作用力，即附加内力.,3作用在截面上的内力是一连续的分布力系.,通常杆件的内力有6个分量，它们是轴力FN、剪力Fsy、Fsz，扭矩T和弯矩My、Mz等，称之为内力分量，如图所示。

应用截面法,符号规定：

拉伸为正，压缩为负.,轴向拉伸,一个内力参数：

轴力,P,P,P,FN,P,FN,FN=P,FN=P,扭转变形,一个内力参数：

扭矩,m,m,m,T,m,T,扭矩T的符号规定：

n,n,m,T,m,T,弯曲变形,弯曲变形有几个内力参数？

弯曲变形有两个内力参数：

剪力Fs和弯矩M,1、求支反力,2、1-1面上的内力,1,1,Fs,Fs,Fs=RA=,Pb,l,剪力符号规定：

弯矩符号规定：

左上右下为正,下侧受拉（上凹下凸、左顺右逆）为正,或使该段梁顺时针转动为正,M,M,M,M,Fs,Fs,Fs,Fs,1、轴力、轴力方程、轴力图,

（1）集中外力多于两个时，分段用截面法求轴力，作轴力图。

（2）轴力图中：

横坐标代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。

标出轴力值及正负号（一般：

正值画上方，负值画下方）。

（3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。

例作图示杆件的轴力图，并指出|FN|max,|FN|max=100kN,FN2=-100kN,FN1=50kN,2、扭矩及扭矩图,1.横截面上的内力：

扭矩（MT）2.扭矩图：

与轴力图作法完全相同（纵坐标改为扭矩大小）。

例二计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。

解：

已知,477.5Nm,955Nm,637Nm,作扭矩图如左图示。

1.剪力、弯矩方程：

2.剪力、弯矩图：

剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。

例1作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。

、剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图,例2图示简支梁受均布荷载Fs的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。

解：

1、求支反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,例3在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。

由剪力、弯矩图知：

在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。

解：

1、求支反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,由剪力、弯矩图知：

在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。

例4在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。

解：

1、求支反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,载荷集度、剪力和弯矩的微分关系:

剪力图和弯矩图是内力图的难点和重点,杆件的应力与强度,1.应力的概念2.应力的计算方法3.强度条件,假设：

平面假设横截面上各点处仅存在正应力并沿截面均匀分布。

拉应力为正，压应力为负。

对于等直杆当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面-危险截面。

危险截面上的正应力-最大工作应力,一、轴向拉压杆横截面上的应力,根据强度条件可进行强度计算：

强度校核（判断构件是否破坏）设计截面（构件截面多大时，才不会破坏）求许可载荷（构件最大承载能力）,-许用应力u-极限应力FN-安全因数,强度条件,拉（压）杆的强度条件,1.由校核杆件的强度；,2.由设计截面的尺寸；,3.由确定许可载荷。

二、圆轴横截面应力与强度,1）横截面上任意点：

2）横截面边缘点：

其中：

强度条件,强度条件：

，t许用切应力；,根据强度条件可进行：

强度校核;选择截面;计算许可荷载。

当中性轴是横截面的对称轴时：

三、

（1）梁的弯曲正应力及强度条件,Wz：

抗弯截面系数（模量）,公式适用条件：

1）符合平面弯曲条件（平面假设，横截面具有一对称轴）2）p（材料服从胡克定律）,对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。

弹性力学精确分析结果指出：

当梁的跨高比大于5时，切应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。

因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中，误差不超过1%。

横力弯曲时，弯矩不再是常量。

梁的正应力强度条件,强度条件：

等直梁强度条件,对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。

强度条件为：

请注意：

梁的最大工作拉应力和最大工作压应力有时并不发生在同一截面上。

三.

（2）梁的弯曲切应力强度条件,等直梁：

注意：

梁的抗弯强度条件,梁的弯曲正应力强度条件,等截面直梁,变截面梁,注意：

如,分别是梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。

梁的弯曲切应力强度条件：

截面直梁,变截面梁,在以下几种特殊情形下，应校核梁的切应力：

1）梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大时。

2）在焊接或铆接的组合截面钢梁中，当其横截面腹板部分的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值时。

3）木梁，木材在其顺纹方向的抗剪强度较差，在横力弯曲时可能因中性层上的切应力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。

四、剪切和挤压的实用计算,剪力Fs=P,式中，Fs为受剪面上的剪力,为受剪面的面积。

假设受剪面上各点的切应力相等，则受剪面上的名义为切应力为,铆钉剪切应力,1、剪切,剪切的强度条件为,为材料的许用切应力。

且,极限切应力,安全系数,螺栓与钢板相互接触的侧面上，发生的彼此间的局部承压现象，称为挤压。

2、挤压,在接触面上的压力，称为挤压力，并记为Pbs。

挤压破坏的两种形式

（1）螺栓压扁

（2）钢板在孔缘压皱,在挤压实用计算中，假设名义挤压应力的计算式为,为计算挤压面的面积,为接触面上的挤压力,d,h,挤压现象的实际受力如图c所示。

实际接触面,直径投影面,铆钉挤压,杆原长为l，直径为d。

受一对轴向拉力F的作用，发生变形。

变形后杆长为l1，直径为d1。

其中：

拉应变为正，压应变为负。

1、纵向应变：

3.研究一点的线应变：

取单元体积为xyz,该点沿x轴方向的线应变为：

x方向原长为x，变形后其长度改变量为x,一、轴向拉（压）杆的变形胡克定律,2.横向应变：

纵向和横向应变,横向应变与纵向应变之比为一常数-称为泊松比,胡克定律,其中：

E-弹性模量，单位为Pa;EA-杆的抗拉（压）刚度。

胡克定律的另一形式：

4.横向应变与纵向应变的关系,计算目的：

刚度计算、为解超静定问题作准备。

相对扭转角：

GIp抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。

刚度条件,其中：

，许用扭转角，取值可根据有关设计标淮或规范确定。

二、圆轴扭转时的变形刚度条件,单位长度的扭转角：

rad,rad/m,d,一、单位长度相对扭转角相对扭转角,比较拉压变形：

公式适用条件：

1、当p（剪切比例极限）公式才成立,2、仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）,4、对于小锥度圆杆（截面缓慢变化）可作近似计算,3、扭矩、面积沿杆轴线不变化（T、Ip为常量）,称为抗扭刚度,若圆轴的（T/GIP）分段为常数，其两端面间的相对扭转角为,除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。

在工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：

梁的刚度条件为：

通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。

但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。

三、梁的刚度校核,1.梁的挠曲线：

梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。

2.梁位移的度量：

挠度：

梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正,转角：

梁横截面绕中性轴转动的角度q，逆时针转动为正,转角方程（小变形下）：

转角与挠度的关系,图中与w的正负？

梁的挠曲线,积分法求梁的挠曲线,2.支承条件与连续条件:

1.,式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。

1）支承条件：

2）连续条件：

挠曲线是光滑连续唯一的,在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。

当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。

若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。

叠加法求梁的位移,第二部分应力状态与强度理论,一点的应力状态,1.一点的应力状态：

通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。

2.研究应力状态的目的：

找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。

一、应力状态的概念,研究应力状态的方法单元体法,1.单元体：

围绕构件内一所截取的微小正六面体。

（1）应力分量的角标规定：

第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。

（2）面的方位用其法线方向表示,3.截取原始单元体的方法、原则,用三个坐标轴在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体,单元体各个面上的应力已知或可求；,几种受力情况下截取单元体方法：

2.单元体上的应力分量,平面应力分析的解析法,1.平面应力状态图示：

二、平面应力状态下的应力研究,2.任意a角斜截面上的应力,符号规定：

a角以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负s拉为正，压为负t使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负,3.主应力及其方位：

由主平面定义，令t=0，得：

可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。

即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。

主应力大小：

由s、s、0按代数值大小排序得出：

s1s2s3,判断s、s作用方位（与两个a0如何对应）,txy箭头指向第几象限（一、四），则s（较大主应力）在第几象限，即先判断s大致方位，再判断其与算得的a0相对应，还是与a0+90o相对应。

4.极值切应力：

令：

，可求出两个相差90o的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。

极值切应力：

主应变：

沿主应力方向的应变，分别用e1e2e3表示；正应力只引起线应变，切应力只引起剪应变；,以主应力表示,二、广义胡克定律,一般情况,以主应力表示,一般情况,若为平面应力状态,四个强度理论的相当应力表达式,第4强度理论形状改变比能理论,第1强度理论最大拉应力理论,第2强度理论最大伸长线应变理论,第3强度理论最大剪应力理论,按某种强度理论进行强度校核时，要保证满足如下两个条件:

1.所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应;2.用以确定许用应力的,也必须是相应于该破坏形式的极限应力。

第一、二部分的应用组合变形,1.组合变形：

2.分类-两个平面弯曲的组合（斜弯曲）拉伸（或压缩）与弯曲的组合，以及偏心拉、压扭转与弯曲或扭转与拉伸（压缩）及弯曲的组合,3.一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。

杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形的组合。

组合变形的概念,用强度准则进行强度计算,1.叠加原理：

在线弹性、小变形下，每一组载荷引起的变形和内力彼此不受影响，可采用代数相加；,基本解法（叠加法）,2.基本解法：

外力分解或简化：

使每一组力只产生一个方向的一种基本变形,分别计算各基本变形下的内力及应力,将各基本变形应力进行叠加（主要对危险截面的危险点）,对危险点进行应力分析（s1s2s3）,基本研究步骤,1、分解：

简化荷载：

用静力等效的载荷，使每一组只引起一种基本变形。

2、分别计算：

按基本变形求解每组载荷作用下的应力、位移。

3、叠加：

按叠加原理叠加求出组合变形的解。

一、斜弯曲,对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面，最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。

可直接根据梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压应力所在位置，无需确定中性轴位置。

对于圆截面,合成后总弯矩为：

二、拉伸（压缩）与弯曲组合变形当杆上的外力除横向力外，还受有轴向拉（压）力时，所发生的组合变形。

计算方法：

1.分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；,2.按叠加原理求正应力的代数和。

注意,如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算。

偏心拉伸（压缩）也归结为拉（压）与弯曲组合变形的问题,1.求内力,2.求应力,3.建立强度条件,拉伸与平面弯曲的组合,偏心拉伸或压缩,横截面上任意点的应力：

压缩与斜弯曲的组合,三、弯曲与扭转组合变形,P,这类问题与前面两类问题有很大的不同，即危险点处于平面应力状态，必须应用应力状态与强度理论来解决,A截面为危险截面,一、简化外力：

二、分析危险截面：

三、分析危险点：

t,解组合变形的一般步骤,第三部分压杆稳定,稳定性主要针对细长压杆,稳定性：

构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力，是杆件承载能力的一个方面。

干扰力去除，恢复直线,a）直线稳态,干扰力去除，保持微弯,干扰力去除，继续变形，直至倒塌,c）失稳,b）微弯平衡,受压直杆平衡的三种形式,如何判断杆件的稳定与不稳定？

临界载荷欧拉公式的一般形式:

一端自由，一端固定:

2.0一端铰支，一端固定:

0.7两端固定:

0.5两端铰支:

1.0,柔度（细长比）：

1.细长压杆的临界应力：

临界力除以压杆横截面面积得到的压应力，用scr表示；,横截面对微弯中性轴的惯性半径；,欧拉公式.经验公式.临界应力总图,欧拉临界应力公式：

欧拉公式应用范围：

线弹性状态：

scrsp，即,llp细长杆（大柔度杆），欧拉公式的适用范围；,对于Q235钢，E=200GPa，sp=200MPa：

用柔度表示的临界压力：

2.非细长压杆临界应力的经验公式,ssscrsp时采用经验公式：

1）scrss，,2）lpllS中长杆（中柔度杆）；,3）对于A3钢：

scr=sS时:

强度破坏，采用强度公式。

llS粗短杆（小柔度杆）；,直线公式,得到：

采用直线经验公式的临界应力总图,三、临界应力总图,压杆按柔度分类：

中长杆（中柔度杆）,细长杆（大柔度杆）,粗短杆（小柔度杆）,直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。

细长杆发生弹性屈曲中长杆发生弹塑性屈曲粗短杆不发生屈曲，而发生屈服,三类不同的压杆,例：

1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆为一端固定、一端铰支的压杆。

已知杆长l=2m,直径d=65mm,材料的E=210GPa,=288MPa,顶杆工作时承受压力F=18.3吨，取稳定安全系数=3.0。

试校核该顶杆的稳定性。

解：

1、计算顶杆的柔度,2、计算临界柔度,3、稳定性校核,应用欧拉公式,该杆满足稳定性要求,第四部分动载荷与动应力,前述各章有关构件的工作情况的分析以及强度、刚度、稳定性的计算都是在静荷载作用下进行的，即认为荷载从零开始缓慢增加，杆件上各点加速度很小，可以不加考虑，荷载加到最终值后也不再变化。

在工程实际问题中：

一些高速运动的构件或零部件，以及加速提升的构件，其质点具有明显加速度。

再如锻锤的锤杆、受重物沿铅直或水平方向冲击的构件，更是在瞬间速度发生急剧改变。

显然这些倩况不能作为静荷载来考虑，称之为动荷载，在动荷载作用下的构件的计算称为构件的动力计算。

概述,构件的动力计算，包括构件的荷载和内力分析；应力与强度、变形与刚度的分析与计算。

对动力学的学习与研究（基本定理与动静法）提供了构件动力计算分析的前提。

在静荷载下对杆件基本变形及组合变形的内力、应力、变形分析，为构件的动荷载下的应力与变形计算奠定了基础。

把两方面结合起来应用于杆件的动力计算。

对动荷载作用下的构件，只要应力不超过比例极限F，胡克定律仍然适用弹性模量也与静载下相同：

其强度、刚度和稳定性的条件均与静荷载作用下相同，只不过将其公式中的静荷载与静应力、静变形以动荷载与动应力、动变形代之。

一、作匀加速直线运动构件,一、匀加速运动构件的应力与强度惯性力法,设有等直杆：

长L，截面积A,比重，受拉力F作用,以等加速度a运动，求：

构件的应力、变形（摩擦力不计）。

m,a,P,dx,1.动静法（达朗贝尔原理）,对作等加速度运动或等速转动构件进行受力分析时，可以认为构件的每一质点上作用着与加速度a方向相反的虚加惯性力,其大小等于质量与加速度的乘积。

从而使质点系上的真实力系与虚加的惯性力系在形式上组成平衡力系，这就是达朗贝尔原理即动静法。

当构件作匀速直线运动时，加速度等于零，惯性力也等于零；就惯性力而言与构件处于静止状态是相同的。

对这类运动下的构件，可视为静荷载的作用。

例1一吊车以匀加速度起吊重物Q,若吊索的横截面积为A，材料比重为，上升加速度为a，试计算吊索中的应力。

Q,x,解：

惯性力为：

，,吊索截面上的内力：

根据动静法，列平衡方程：

解得：

重物与吊索的重力：

吊索中的动应力为：

当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面上的静荷应力为：

代入上式，并引入记号，称为动荷系数，则：

于是，动载荷作用下构件的强度条件为：

式中得仍取材料在静载荷作用下的许用应力。

动荷系数的物理意义：

是动载荷、动荷应力和动荷变形与静载荷、静荷应力和静荷变形之比。

因此根据胡克定律，有以下重要关系：

分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。

式中分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移；,v,a,冲击问题的特点：

结构（受冲击构件）受外力（冲击物）作用的时间很短，冲击物的速度在很短的时间内发生很大的变化，甚至降为零，冲击物得到一个很大的反向加速度，结构受到冲击力的作用。

采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。

二、构件受冲击时的应力与强度,根据能量守恒定律，即,:

冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；,:

冲击物接触被冲击物后，所减少的势能；,:

被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的应变能。

计算冲击问题时所作的假设：

（1）冲击物无回弹，并且不计冲击物的变形，冲击物和被冲击物在冲击后共同运动，形成一个运动系统。

（2）不考虑被冲击物的质量，冲击力瞬间传遍构件，且材料服从胡克定律,（3）冲击过程中，忽略声、光、热能的转化，即只有势能与动能的转化。

式中为冲击时的动荷系数，,其中是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量）作用下的垂直位移。

因为,所以冲击应力为,强度条件为,1.若冲击物是以一垂直速度v作用于构件上，则由可得：

关于动荷系数的讨论:

2.当h=0或v=0时，重物突然放在构件上，此时。

3.不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关，更与有关。

这也是与静应力的根本不同点。

构件越易变形，刚度越小，即“柔能克刚”。

水平冲击时的动荷系数为,（表示水平冲击时假设以冲击物重量大小的力沿水平方向以静载荷作用于冲击点时，该点沿水平方向的位移。

）,关于其它章节,交变应力能量方法超静定结构,材料的力学性能截面的几何性质,