最新人教版初二数学三角形知识点归纳.docx

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最新人教版初二数学三角形知识点归纳

三角形

几何A级概念：

（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）

1．三角形的角平分线定义：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

（2）∵∠BAD=∠CAD

∴AD是角平分线

2．三角形的中线定义：

在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵AD是三角形的中线

∴BD=CD

（2）∵BD=CD

∴AD是三角形的中线

3．三角形的高线定义：

从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.

（如图）

几何表达式举例：

（1）∵AD是ΔABC的高

∴∠ADB=90°

（2）∵∠ADB=90°

∴AD是ΔABC的高

※4．三角形的三边关系定理：

三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵AB+BC＞AC

∴……………

（2）∵AB-BC＜AC

∴……………

5．等腰三角形的定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵ΔABC是等腰三角形

∴AB=AC

（2）∵AB=AC

∴ΔABC是等腰三角形

6．等边三角形的定义：

有三条边相等的三角形叫做等边三角形.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵ΔABC是等边三角形

∴AB=BC=AC

（2）∵AB=BC=AC

∴ΔABC是等边三角形

7．三角形的内角和定理及推论：

（1）三角形的内角和180°；（如图）

（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）

（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）

※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

（1）

（2）（3）（4）

几何表达式举例：

（1）∵∠A+∠B+∠C=180°

∴…………………

（2）∵∠C=90°

∴∠A+∠B=90°

（3）∵∠ACD=∠A+∠B

∴…………………

（4）∵∠ACD＞∠A

∴…………………

8．直角三角形的定义：

有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵∠C=90°

∴ΔABC是直角三角形

（2）∵ΔABC是直角三角形

∴∠C=90°

9．等腰直角三角形的定义：

两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵∠C=90°CA=CB

∴ΔABC是等腰直角三角形

（2）∵ΔABC是等腰直角三角形

∴∠C=90°CA=CB

10．全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等；（如图）

（2）全等三角形的对应角相等.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵ΔABC≌ΔEFG

∴AB=EF………

（2）∵ΔABC≌ΔEFG

∴∠A=∠E………

11．全等三角形的判定：

“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.（如图）

（1）

（2）

（3）

几何表达式举例：

（1）∵AB=EF

∵∠B=∠F

又∵BC=FG

∴ΔABC≌ΔEFG

（2）………………

（3）在RtΔABC和RtΔEFG中

∵AB=EF

又∵AC=EG

∴RtΔABC≌RtΔEFG

12．角平分线的性质定理及逆定理：

（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）

（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵OC平分∠AOB

又∵CD⊥OACE⊥OB

∴CD=CE

（2）∵CD⊥OACE⊥OB

又∵CD=CE

∴OC是角平分线

13．线段垂直平分线的定义：

垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵EF垂直平分AB

∴EF⊥ABOA=OB

（2）∵EF⊥ABOA=OB

∴EF是AB的垂直平分线

14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：

（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）

（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵MN是线段AB的垂直平分线

∴PA=PB

（2）∵PA=PB

∴点P在线段AB的垂直平分线上

15．等腰三角形的性质定理及推论：

（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）

（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一；（如图）

（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图）

（1）

（2）

（3）

几何表达式举例：

（1）∵AB=AC

∴∠B=∠C

（2）∵AB=AC

又∵∠BAD=∠CAD

∴BD=CD

AD⊥BC

………………

（3）∵ΔABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C=60°

16．等腰三角形的判定定理及推论：

（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）

（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）

（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）

（1）

（2）（3）

（4）

几何表达式举例：

（1）∵∠B=∠C

∴AB=AC

（2）∵∠A=∠B=∠C

∴ΔABC是等边三角形

（3）∵∠A=60°

又∵AB=AC

∴ΔABC是等边三角形

（4）∵∠C=90°∠B=30°

∴AC=

AB

17．关于轴对称的定理

（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）

（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称

∴ΔABC≌ΔEGF

（2）∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称

∴OA=OEMN⊥AE

18．勾股定理及逆定理：

（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；（如图）

（2）如果三角形的三边长有下面关系:

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）

overcome克服overcameovercome

meet遇到metmet几何表达式举例：

undo撤消undidundone

（1）∵ΔABC是直角三角形

speak说spokespoken∴a2+b2=c2

see看sawseen

（2）∵a2+b2=c2

∴ΔABC是直角三角形

19．RtΔ斜边中线定理及逆定理：

forecast预报forecastforecast

（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）

（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）

spring跳跃sprang/sprungsprung

几何表达式举例：

go去wentgone∵ΔABC是直角三角形

∵D是AB的中点

begin开始beganbegun∴CD=

AB

（2）∵CD=AD=BD

∴ΔABC是直角三角形

几何B级概念：

（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

dig挖dugdug一基本概念：

三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.

二常识：

1．三角形中，第三边长的判断：

另两边之差＜第三边＜另两边之和.

2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：

三角形的角平分线、中线、高线都是线段.

3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：

若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA.

4．三角形能否成立的条件是：

最长边＜另两边之和.

5．直角三角形能否成立的条件是：

最长边的平方等于另两边的平方和.

6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：

（1）AC·CB=CD·AB；

（2）∠1=∠B，∠2=∠A.

8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.

9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.

10．等边三角形是特殊的等腰三角形.

11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.

12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.

13．几何习题经常用四种方法进行分析：

（1）分析综合法；

（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.

14．几何基本作图分为：

（1）作线段等于已知线段；

（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.

15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.

16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：

每步作图都应该是几何基本作图.

17．几何画图的类型：

（1）估画图；

（2）工具画图；（3）尺规画图.

※18．几何重要图形和辅助线：

（1）选取和作辅助线的原则：

①构造特殊图形，使可用的定理增加；

②一举多得；

③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；

④作辅助线必须符合几何基本作图.

（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）

①在BA上截取BE=BC构造全等，转移线段和角；

②过D点作DE∥BC交AB于E，构造等腰三角形.

（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）

①过D点作DE∥AC交AB于E，构造中位线；

②延长AD到E，使DE=AD

连结CE构造全等，转移线段和角；

③∵AD是中线

∴SΔABD=SΔADC

（等底等高的三角形等面积）

（4）已知等腰三角形ABC中，AB=AC

①作等腰三角形ABC底边的中线AD

（顶角的平分线或底边的高）构造全

等三角形；

②作等腰三角形ABC一边的平行线DE，构造

新的等腰三角形.

（5）其它

作等边三角形ABC

一边的平行线DE，构造新的等边三角形；

②作CE∥AB，转移角；

③延长BD与AC交于E，不规则图形转化为规则图形；

④多边形转化为三角形；

⑤延长BC到D，使CD=BC，连结AD，直角三角形转化为等腰三角形；

⑥若a∥b,AC,BC是角平

分线,则∠C=90°.