正方形的性质与判定课内精炼+课时达标.docx

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正方形的性质与判定课内精炼+课时达标

1.3　正方形的性质与判定

第1课时　正方形的性质

1．有一组邻边__相等__，并且有一个角是__直角__的平行四边形叫做正方形．

2．正方形的四个角都是__直角__，四条边__相等__，对角线__相等__且__互相垂直平分__．

知识点一：

正方形的定义

1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是（　D　）

A．平行四边形　　　　　　B．矩形

C．菱形D．正方形

2．如图，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那么四边形DECF是__正方形__．

知识点二：

正方形的性质

3．（2014·泉州）正方形的对称轴的条数为（　D　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　B　）

A．对角线互相平分B．对角线相等

C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角

5．（2014·福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　C　）

A．45°B．55°C．60°D．75°

第5题图）　　

第6题图）

6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝（　B　）

A.

B．2

C．2D．1

7．（2014·苏州）已知正方形ABCD的对角线AC＝

，则正方形ABCD的周长是__4__．

8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则图中共有__8__个等腰直角三角形．

第8题图）　　　

第9题图）

9．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__22.5°__．

10．（易错题）如图，已知正方形纸片ABCD，点M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ＝__30°__．

11．（2014·济宁）如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.

（1）求证：

BF＝DF；

（2）连接CF，请直接写出BE∶CF＝__

__．

　解：

（1）∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°，∵BE＝AB－AE，DG＝AD－AG，∴BE＝DG，∴△BEF≌△DGF，∴BF＝DF　

12．（2014·安徽）如图，正方形ABCD的对角线BD长为2

，若直线l满足：

①点D到直线l的距离为

；

②A，C两点到直线l的距离相等．

则符合题意的直线l的条数为（　B　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

第12题图）　　　　

第13题图）

13．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为__8__cm2.

14．（2014·资阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．

15．（2014·鄂州）在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.

求证：

（1）BH＝DE；

（2）BH⊥DE.

　解：

证明：

（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，即∠BCH＝∠DCE，∴△BCH≌△DCE，∴BH＝DE

（2）由

（1）得，∠CBH＝∠CDE，∴∠DMB＝∠BCD＝90°，∴BH⊥DE　

16．（教材例4改编）已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.

（1）四边形ADCE为__矩形__；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？

并给出证明．

　解：

（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，.理由：

∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形，∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形　

17．将正方形（图①）作如下操作：

第1次：

分别连接各边中点（如图②），得到5个正方形；第2次：

将图②左上角正方形按上述方法再分割（如图③），得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（　B　）

A．502B．503C．504D．505

18．如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E，F移动过程中：

（1）∠EAF的大小是否发生变化？

请说明理由；

（2）△ECF的周长是否发生变化？

请说明理由．

　解：

（1）∠EAF的大小不变，理由如下：

在正方形ABCD中，∵AH⊥EF，∴∠AHF＝∠D＝90°.∵AF＝AF，AH＝AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL）．∴∠HAF＝∠DAF.同理∠HAE＝∠BAE.∵∠HAF＋∠DAF＋∠HAE＋∠BAE＝90°，∴∠EAF＝∠HAF＋∠HAE＝45°.∴∠EAF的大小不会发生变化　

（2）△ECF的周长不会发生变化，理由如下：

由

（1）知：

Rt△AHF≌Rt△ADF，Rt△AHE≌Rt△ABE，∴FH＝FD，EH＝EB.∴EF＝EH＋FH＝EB＋FD.∴CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋EB＋FD＝BC＋CD.∴△ECF的周长总等于正方形ABCD边长的2倍，不会发生变化　

第2课时　正方形的判定

1．对角线__相等__的菱形是正方形．

2．对角线__垂直__的矩形是正方形．

3．有一个角是__直角__的菱形是正方形．

知识点：

正方形的判定

1．下列说法不正确的是（　C　）

A．对角线互相垂直的矩形是正方形

B．对角线相等的菱形是正方形

C．有一个角是直角的平行四边形是正方形

D．一组邻边相等的矩形是正方形

2．对角线相等且互相垂直平分的四边形是（　D　）

A．平行四边形　B．矩形　C．菱形　D．正方形

3．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　C　）

A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD

B．AD∥BC，∠A＝∠C

C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC

4．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　D　）

A．BC＝ACB．CF⊥BF

C．BD＝DFD．AC＝BF

第4题图）　　

第5题图）

5．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　A　）

A．邻边相等的矩形是正方形

B．对角线相等的菱形是正方形

C．两个全等的直角三角形构成正方形

D．轴对称图形是正方形

6．如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它一定是__正方形__．

7．（易错题）当四边形的两条对角线满足条件__垂直且相等__时，顺次连接它的各边中点可以得到一个正方形．

8．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为__45°__．

9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是BC边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且BF＝CE，求证：

四边形AFDE是正方形．

　解：

证明：

∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD＝∠CED＝90°，又点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵BF＝CE，∴△BFD≌△CED（HL）．∴DF＝DE，∵∠A＝∠AFD＝∠AED＝90°，∴四边形AFDE为矩形，∵DF＝DE，∴矩形AFDE是正方形　

10．（2014·株州）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　B　）

A．选①②　B．选②③　C．选①③　D．选②④

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，EF，要使四边形DECF是正方形，只需增加一个条件为__AC＝BC__．

12．小明想检查一个四边形的框架是不是正方形，但手头仅有一把卷尺．你能帮他设计一个检查方案吗？

说说你的做法和理由．

　解：

方法：

测量四边形的框架的四边长及四边形的框架的对角线长；理由：

若四边形的框架满足四边长相等，则是菱形，若再满足对角线相等，则是正方形，否则不是　

13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（－2，0），B（0，－2），C（2，0），D（0，2），求证：

四边形ABCD是正方形．

　解：

证明：

由四边形ABCD的顶点坐标分别是A（－2，0），B（0，－2），C（2，0），D（0，2），可知OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴四边形ABCD为矩形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形　

14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC交DE于点G，连接AF，CG.

（1）求证：

AF＝BF；

（2）如果AB＝AC，求证：

四边形AFCG是正方形．

　解：

（1）证明：

∵AD＝CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC，即DE垂直平分线段AC，∴∠FAC＝∠ACB.在Rt△ACB中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF　

（2）∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE.又∠AEG＝∠CEF，∴△AEG≌△CEF（AAS），∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形　

15．（2014·随州）已知：

如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是线段BM，CM的中点．

（1）求证：

△ABM≌△DCM；

（2）填空：

当AB∶AD＝__1∶2__时，四边形MENF是正方形，并说明理由．

　解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，又∵点M为AD的中点，∴AM＝DM，在△ABM和△DCM中，

∴△ABM≌△DCM（SAS）　

（2）当AB∶AD＝1∶2时，四边形MENF是正方形，理由是：

∵AB∶AD＝1∶2，AM＝DM，AB＝CD，∴AB＝AM＝DM＝DC，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，∴∠MBC＝∠MCB＝45°，∴BM＝CM，∠BMC＝90°，∵点N，E，F分别是BC，BM，CM的中点，∴BE＝CF＝ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四边形MENF是平行四边形，∵ME＝MF，∠BMC＝90°，∴四边形MENF是正方形，即当AB∶AD＝1∶2时，四边形MENF是正方形　

专题

（一）　特殊平行四边形的性质与判定

一、特殊平行四边形与折叠

1．如图，矩形纸片ABCD，AB＝2，∠ADB＝30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A，E两点间的距离为__2__．

第1题图）　　

第2题图）

2．（2014·龙东）如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点M，N分别是BC，CD的中点，点P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是__5__．

3．（2014·绥化）矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，点E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为__3或6__．

二、特殊平行四边形的判定与性质

4．（2014·厦门）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为点M，AN⊥DC，垂足为点N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：

四边形ABCD是菱形．

　解：

证明：

∵AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°，∠D＋∠C＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB＝∠AND＝90°，又AM＝AN，可证得△ABM≌△ADN，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形　

5．（2014·枣庄）如图，四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，已知点O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.

（1）求证：

△BOE≌△DOF；

（2）若OD＝

AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？

请证明你的结论．

　解：

（1）证明：

∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵点O为AC的中点，即OA＝OC，AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（AAS）　

（2）若OD＝

AC，则四边形ABCD是矩形，理由：

∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.∴四边形ABCD为平行四边形．∵OD＝

AC，∴OA＝OB＝OC＝OD，即BD＝AC，∴四边形ABCD为矩形　

6．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上的任意一点，DE⊥AG，BF∥DE交AG于点F.

（1）求证：

AF－BF＝EF；

（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′.若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．

　解：

（1）易证△AED≌△BFA，∴BF＝AE，∵AF－AE＝EF，∴AF－BF＝EF　

（2）如图，根据题意知，∠FAF′＝90°，DE＝AF＝AF′，∴∠F′AE＝∠AED＝90°，∴∠F′AE＋∠AED＝180°，∴A′F∥ED，∴四边形AEDF′为平行四边形．又∠AED＝90°，∴四边形AEDF′是矩形，∴EF′＝AD＝3　

三、特殊平行四边形与探究

7．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.

（1）求证：

四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：

①当AM的值为__1__时，四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为__2__时，四边形AMDN是菱形．

　解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.又∵点E是AD边的中点，∴DE＝AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND＝MA.又∵ND∥MA，∴四边形AMDN是平行四边形　

8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足BP＝AQ，点D是BC的中点．

（1）求证：

△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．

　解：

（1）证明：

连接AD.∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠DAQ＝∠B.又∵BP＝AQ，∴△BPD≌△AQD.∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP.∵∠BDP＋∠ADP＝90°，∴∠ADQ＋∠ADP＝∠PDQ＝90°.∴△PDQ为等腰直角三角形　

（2）当点P运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形．理由：

由

（1）知△ABD为等腰直角三角形．当点P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90°.又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°，∴四边形APDQ为矩形．又∵DP＝AP＝

AB，∴四边形APDQ为正方形　

9．（2014·日照）

（1）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF＝BE.

求证：

CE＝CF；

（2）如图②，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用

（1）的启示证明：

GE＝BE＋GD；

（3）运用

（1）

（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC>AD），∠B＝90°，AB＝BC，点E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，AE＝8，DE＝10，求四边形ABCD的面积．

　解：

（1）略　

（2）证明：

如图②，延长AD至点F，使DF＝BE.连接CF.由

（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE＝GF，∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD　（3）如图③，过点C作CG⊥AD，交AD延长线于点G.∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG＝BC.已知∠DCE＝45°，根据

（1）

（2）可知，ED＝BE＋DG.所以10＝4＋DG，即DG＝6，AD＝12－6＝6，所以四边形ABCD的面积为S＝

（AD＋BC）·AB＝

×（6＋12）×12＝108.答：

四边形ABCD的面积为108