计算机实时控制系统的设计-Z平面根轨迹法.ppt

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Z平面根轨迹设计,黄国放庞士君,GD（z）,Z平面根轨迹定义为：

当系统的某个参数（如开环增益））由零到无穷大变化时，其闭环特征根的集合。

该系统的闭环Z传递函数为闭环系统的特征方程式为（1.1）,将系统的开环Z传递函数写成零极点形式（1.2）式中和分别为开环零极点数，m为零点数，n为极点数，K为根轨迹增益。

根据（1.1）特征方程式，根轨迹特征方程为即上式可表示为模值方程和相角方程：

（1.3）,及（1.4）其中,（1.4）式决定闭环系统根轨迹的充分必要条件,而（1.3）式主要是确定根轨迹上各点对应的开环增益值.根轨迹法是一种图解法,在已知系统开环传递函数零、极点分布的情况下,研究系统的某个参数变化时,对闭环传递函数极点分布的影响（闭环极点能决定系统的稳定与否。

）,Z平面上根轨迹的特点：

（1）Z平面极点的密集度很高（因为无限大的S左半平面映射到有限的单位圆内），Z平面上2个很接近的极点，对应的系统性能却有较大的差别，因此，要求根轨迹的计算精度较高，如表1.1所示。

（2）在S平面中，临界放大系数是由根轨迹与虚轴的交点求得，Z平面的临界放大系数则由根轨迹与单位圆的交点求得。

（3）在离散系统中，只考虑闭环极点位置对系统动态性能的影响是不够的，还需考虑零点对动态响应的影响。

表1.1Z平面极点的密集度,、2.系统的动态指标和Z域极点位置的关系,以二阶系统为例（高阶系统可近似二阶系统）（1.5）其特征根为,其实部和虚部的绝对值分别为：

（1.6）（1.7）,动态指标,单位阶跃响应：

超调量：

上升时间：

峰值时间：

调节时间（5%误差带）：

（1.8）,（1.9）,（1.10）,（1.11）,（1.12）,设计方法,根据性能指标（即、n等）完全可以确定S平面上主导极点位置范围，进而根据确定Z平面极点位置的范围。

在Z平面上，有3条典型轨迹：

等线对数螺旋线，等Re（s）线同心圆，等Im（s）线射线所包围的区域，则应满足给定的动态指标要求。

（1.13）,等线,根据超调量%指标要求，由式（1.9）式，可确定阻尼比的值。

在S平面，阻尼比相同的特征根轨迹是从原点出发的射线，且与负实轴的夹角为等线映射至Z平面，则为对数螺旋线。

（1.14）,等Re（s）线,根据调节时间指标要求，由式（1.12）,可得平面实部绝对值，映射至Z平面,其特征根的模应为：

即为同心圆。

等Im（s）线,根据峰值时间或上升时间要求，均可求到S平面特征根的虚部（式（1.10）或式（1.11），映射至Z平面，其特征根相角则是通过原点的射线。

设计思路,根轨迹法实质上是一种闭环极点的配置技术，也即通过反复试凑的办法，设计控制器的结构和参数，使整个闭环系统的主导极点配置在期望的位置上。

设计步骤,第1步根据给定的时域指标，在Z平面画出期望极点的允许范围第2步设计数字控制器D（z）第3步进行数字仿真验证，检验闭环系统的动态响应第4步在计算机上编程实现D（z）的算法,第1步期望极点的允许范围,如前分析二阶主导极点范围的方法,第2步设计数字控制器D（z）,（a）求出组合对象脉冲传递函数，即,（b）试探法确定控制器D（z）的结构形式，常用的控制器有相位超前及相位滞后的一阶形式，其脉冲传递函数为,其中，zc为实零点、pc为实极点,（1.15）,（1.16）,Kc选取,若要求数字控制器不影响系统的稳态性能，则,即,零、极点关系,zcpc：

相位超前控制器,又可称为高通滤波器，这时Kc1Zcpc：

是相位滞后控制器，又可称为低通滤器，这时Kc1它们与相应的连续控制器的零、极点相对位置是一致的。

控制器零、极点分布图示,控制器的设计常用方法零极点对消法,用控制器的零极点对消控制对象不希望的极零点，从而使整个闭环系统具有满意的品质注意：

不能用D（z）去对消对象在单位圆外、圆上以及接近单位圆的零极点，否则可能产生不稳定现象。

第3步进行数字仿真验证,即使将希望的闭环极点配置在允许域之内，仍有可能出现系统的动态性能不满足指标要求。

这是因为离散系统脉冲传递函数的零点数多于对应的连续系统，因为系统的性能还受零点的影响；所得极点范围是按二阶系统的品质指标近似绘制的。

而实际系统经常是高于二阶的，高阶系统的响应尽管主要取决于它的一对主导极点，但其他非主导极点也有一定的影响。

设计例子,某数字随动系统，被控对象的传递函数是,采样周期T=0.2s,试设计一数字控制器,使系统满足下列品质指标:

（a）超调量,（b）上升时间,（c）调节时间,（d）静态速度误差系数,（1.17）,

（1）期望的闭环极点允许范围,

（2）设计数字控制器D（z）,（1.18）,令D（z）=1，此时系统的开环传递函数为,其中，根轨迹增益,画出闭环根轨迹，系统的闭环根轨迹不能穿过允许域，因而不可能满足动态品质要求。

第1次试探,第2次试探,令,其中,第3次试探,令,其中,根据闭环增益计算控制器增益,若希望控制器不影响系统的稳定性能，则满足：

系统的开环增益,系统的开环增益,（3）数字仿真验证,控制器1,控制器2,指标合格，满足设计要求！