三年级数学 奥数讲座 算式谜.docx

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三年级数学奥数讲座算式谜

2019-2020年三年级数学奥数讲座算式谜

专题简析：

小朋友都喜欢猜谜语，你们知道数学中也有一种有趣的谜吗？

一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。

算式谜又被称为“虫食算”，意思是说算式中的一些数字像是被虫子咬去了。

算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。

解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情况，逐一尝试。

分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，抓准解题的突破口。

例题1在下面算式的□内，填上适当的数字，使算式成立。

思路导航：

已知被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数可能是4或9，但积的百位上是7，因而乘数只能是4，被乘数百位上是1，那么十位上只能是9。

所以算式是：

198×4=792。

练习一：

在□里填上适当的数，使算式成立。

例题2□里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？

思路导航：

已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可从商的末位上的数与除数相乘的积想起，5×6=30，可知这个被除数个位为0；再想商十位上的数与6的乘积为一位数，这个数只能为1.这样确定商十位上为1，最后被除数十位上的数为3＋6=9。

练习二：

在□里填上适当的数，使等式成立。

例题3在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。

思路导航：

要求□里填哪些数，我们可以先想商的个位上是多少，商个位上的数与除数7相乘积是两位数的有14、21、28、35、42、49、56、63，由此可确定被除数个位与商个位有八种情况：

商个位上的数确定后，再想被除数十位上是多少，被除数十位上的数是商十位上的数乘除数加上第一次除后所得的余数。

我们可以发现，商为15、16、17、18、19时，被除数十位上的数不是一位数，而是两位数，不合要求，所以这题有三种填法：

练习三：

□里可填哪些数字？

例题4在下面竖式的□里，填入合适的数字，使算式成立。

思路导航：

这道题我们可以从商百位上的4与除数8的乘积来考虑，4×8=32，由此可确定被除数千位和百位上的数；再想商十位上的数与8相乘接近61，而小于61，7×8=56可得商十位上为7。

最后想，几与8相乘得五十几，7×8=56，这样全题可填出。

练习四：

在□里填上合适的数，使竖式成立。

例题5在下面□中填入适当的数，使算式成立。

思路导航：

通过观察我们可以发现，商的个位数字是9与除数的乘积为657，由此可以求出除数为657÷9=73；再根据商十位数字是5，可求出除数与商十位数字积为73×5=365，也就可求出被除数前三位是365＋65=430，个位是7。

练习五：

□里应填几才能使算式成立？

附送：

2019-2020年三年级数学奥数讲座能被2，5整除的数的特征

　　同学们都知道，自然数和0统称为（非负）整数。

同学们还知道，两个整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，当被减数不小于减数时，差还是整数。

两个整数相除时，情况就不那么简单了。

如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除。

例如，

　　84能被2，3，4整除，因为84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，21都是整数。

　　而84不能被5整除，因为84÷5=16……4，有余数4。

也不能被13整除，因为84÷13=6……6，有余数6。

　　因为0除以任何自然数，商都是0，所以0能被任何自然数整除。

　　这一讲的内容是能被2和5整除的数的特征，也就是讨论什么样的数能被2或5整除。

　　1.能被2整除的数的特征

　　因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，4，6，8五种情况，所以，能被2整除的数的个位数一定是0，2，4，6或8。

也就是说，凡是个位数是0，2，4，6，8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1，3，5，7，9的整数一定不能被2整除。

　　例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除。

　　能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。

　　0，2，4，6，8，10，12，14，…就是全体偶数。

　　1，3，5，7，9，11，13，15，…就是全体奇数。

　　偶数和奇数有如下运算性质：

　　偶数±偶数=偶数，

　　奇数±奇数=偶数，

　　偶数±奇数=奇数，

　　奇数±偶数=奇数，

　　偶数×偶数=偶数，

　　偶数×奇数=偶数，

　　奇数×奇数=奇数。

例1在1～199中，有多少个奇数？

有多少个偶数？

其中奇数之和与偶数之和谁大？

大多少？

分析与解：

由于1，2，3，4，…，197，198，199是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：

　　（1，2），（3，4），…，（197，198），

　　还剩一个199。

共有198÷2=99（对），还剩一个奇数199。

所以

　　奇数的个数=198÷2+1=100（个），

　　偶数的个数=198÷2=99（个）。

　　因为每对中的偶数比奇数大1，99对共大99，而199-99=100，所以奇数之和比偶数之和大，大100。

　　如果按从大到小两两配对：

　　（199，198），（197，196），…，（3，2），那么怎样解呢？

例2

（1）不算出结果，判断数（524+42-429）是偶数还是奇数？

（2）数（42□+30-147）能被2整除，那么，□里可填什么数？

（3）下面的连乘积是偶数还是奇数？

　　1×3×5×7×9×11×13×14×15。

解：

根据奇偶数的运算性质：

（1）因为524，42是偶数，所以（524+42）是偶数。

又因为429是奇数，所以（524+42-429）是奇数。

（2）数（42□+30-147）能被2整除，则它一定是偶数。

因为147是奇数，所以数（42□+30）必是奇数。

又因为其中的30是偶数，所以，数42□必为奇数。

于是，□里只能填奇数1，3，5，7，9。

（3）1，3，5，7，9，11，13，15都是奇数，由1×3为奇数，推知1×3×5为奇数……推知

　　1×3×5×7×9×11×13×15

　　为奇数。

因为14为偶数，所以

　　（1×3×5×7×9×11×13×15）×14为偶数，即

　　1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数。

　　由例2得出：

（1）在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数的个数是奇数，则结果是奇数。

（2）在连乘运算中，只要有一个因数是偶数，则整个乘积一定是偶数。

例3在黑板上先写出三个自然数3，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和。

照这样进行100次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？

它们的乘积是奇数还是偶数？

为什么？

解：

根据奇偶数的运算性质知：

　　第一次擦后，改写得到的三个数是6，3，3，是“二奇一偶”；

　　第二次擦后，改写得到的三个数是6，3，3或6，9，3或6，3，9，都是“二奇一偶”。

　　以后若擦去的是偶数，则改写得到的数为二奇数之和，是偶数；若擦去的是奇数，则改写得到的数为一奇一偶之和，是奇数。

总之，黑板上仍保持“二奇一偶”。

　　所以，无论进行多少次擦去与改写，黑板上的三个数始终为“二奇一偶”。

它们的乘积

　　奇数×奇数×偶数=偶数。

　　故进行100次后，所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数，它们的乘积一定是偶数。

　　2.能被5整除的数的特征

　　由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5=40，…可以推想任何一个偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0。

　　由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5=45，…可以推想，任何一个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。

　　因此，能被5整除的数的个位数一定是0或5。

也就是说，凡是个位数是0或5的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0或5的整数一定不能被5整除。

例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264，3588等都不能被5整除。

例4由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？

解：

因为个位数为0或5的数才能被5整除，所以由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，只有350，530，305三个数能被5整除。

例5下面的连乘积中，末尾有多少个0？

　　1×2×3×…×29×30。

解：

因为2×5=10，所以在连乘积中，有一个因子2和一个因子5，末尾就有一个0。

连乘积中末尾的0的个数，等于1～30中因子2的个数与因子5的个数中较少的一个。

而在连乘积中，因子2的个数比因子5的个数多（如4含两个因子2，8含三个因子2），所以，连乘积末尾0的个数与连乘积中因子5的个数相同。

连乘积中含因子5的数有5，10，15，20，25，30，这些数中共含有七个因子5（其中25含有两个因子5）。

所以，1×2×3×…×29×30的积中，末尾有七个0。