初中数学轴对称图形知识点加习题总结.docx

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初中数学轴对称图形知识点加习题总结

知识点1轴对称图形

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴;这时,我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。

知识点2对称轴的性质

1.对称轴是一条直线。

2.在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。

3.在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。

4.图形对称

例1下面哪些图形是轴对称图形？

画出轴对称图形的对称轴。

例2.推理游戏：

下面应该是什么图形？

知识点3线段垂直平分线定义及其性质

定义：

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

逆定理：

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

例3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6，则线段PB的长度为（　　）

A．3B．5C．6D．8

解析：

∵直线CD是线段AB的垂直平分线，

∴PB=PA，

∵PA=6，

∴PB=6．

答案C．

例4如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（　　）

A．ED=CD

B．∠DAC=∠B

C．∠C＞2∠B

D．∠B+∠ADE=90°

分析：

∵DE是线段AB的垂直平分线，

∴AD=BD．

∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．

∴∠B+∠ADE=90°

答案D

课堂练习1

1．点A，B关于直线a对称，P是直线a上的任意一点，下列说法不正确的是（）

A．直线AB与直线a垂直

B．直线a是点A和点B的对称轴

C．线段PA与线段PB相等

D．若PA=PB，则点P是线段AB的中点

2.三角形中到三边的距离相等的点是（）

A．三条边的垂直平分线的交点

B．三条高的交点

C．三条中线的交点

D．三条角平分线的交点

3.已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB等于（）

A、95°B、15°C、95°或15°D、170°或30°

4.已知：

如图，线段AB垂直平分线段CD则AC＝。

若线段AB,CD互相垂直平分，则AC=。

第四题第五题

5．已知：

如图，∠O=34°,BD垂直平分AO，求∠ABC的度数.

6.已知：

如图，AC=BC,AD=BD，求证：

AE=BE

知识点1画轴对称图形

例1已知直线AB和直线l，要画出AB关于l的对称图形只需要在直线AB上选两个不同的点，这

两点关于l的对称点就可以确定直线AB的对称图形CD。

点构成线，线构成面，类似的，作出构成这

个平面图形的直线的轴对称图形即可确定这个平面的对称图形。

··

例2．△ABC在平面直角坐标系中如图所示，

（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；若P（a，b）是△ABC一点，请用a，b表示出点P关于x轴对称的点P1的坐标；

（2）作出△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，写出点C2的坐标．

（3）△A2B2C2能否由△A1B1C1通过某种变换而得到？

若能，请指出是何种变换．

分析：

（1）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数写出点P1的坐标；

（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C2的坐标；

（3）观察图形可知关于y轴对称．

解：

（1）△A1B1C1如图所示，点P1的坐标为（a，-b）；

（2）△A2B2C2如图所示，点C2的坐标（2，0）；

（3）△A2B2C2能由△A1B1C1通过变换得到，是关于y轴对称．

知识点3用坐标表示轴对称

坐标轴对称

　　点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）

　　点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）

　　原点对称

　　点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）

　　坐标轴夹角平分线对称

　　点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）

　　点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y=-x对称的点的坐标是（-y，-x）

例3在平面直角坐标系中，A点的坐标（-4，3）

（1）求出点A关于y轴对称的点B的坐标；

答案

（1）∵A点的坐标（-4，3），B与A关于y轴对称，

∴二者纵坐标相同，横坐标互为相反数

故B点坐标为B（4，3）；

课堂练习2

1．点A（-3，2）关于y轴对称点的坐标是（）

　　A　（-3，-2）　B　（3，2）　C　（-3，2）　D　（2，-3）

2．点P（a，b）关于x轴的对称点为P＇（1，-6），则A、B的值分别为（）

　　A　1，6　 B　-1，-6　 C　-1，6　 D　1，-6

3.点P 关于x轴对称点P＇的坐标为（4，-5）,那么点 P 关于y轴对称点 P" 的坐标为：

　　A （-4，5）　B（4，-5） 　　　C（-4，-5）　　　D（-5，-4）

4.已知A、B两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则下面四个结论：

①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4，

其中正确的有（    ）      

A.1个       B.2个       C.3个       D.4个

5.已知M（0，2）关于x轴对称的点为N，线段MN的中点坐标是（    ）     

 A.（0，-2）    B.（0，0）    C.（-2，0）    D.（0，4）

6.平面点A（-1，2）和点B（-1，6）的对称轴是（    ）   

   A.x轴     B.y轴    C.直线y=4    D.直线x=-1

7.下列关于直线x=1对称的点是（）

　　A　点（0，-3）与点（-2，-3）　 B　点（2，3）与点（-2，3）

    C　点（2，3）与点（0，3）　　　D　点（2，3）与点（2，-3）

二、填空题:

8.已知A（-1，-2）和B（1，3），将点A向______平移_______个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．

9.一个点的纵坐标不变，把横坐标乘以-1，得到的点与原来的点的关系是__________．

10.点M（-2，1）关于x轴对称的点N的坐标是_______，直线MN与x轴的位置关系是________．

11.如下图：

若正方形ABCD关于x轴与y轴均成轴对称图形，

点A的坐标为（2，1），标出点B、C、D的坐标分别为：

B（，），C（，），D（，）。

12.若A（m-1，2n+3）与B（n-1，2m+1）关于y轴对称，则m=,n=

13.已知a＜0，那么点P（-a²-2，2-a）关于x轴对称的对应点P'在第象限

三、解答题

14.已知点M（1-a，2a+2），若点M关于x轴的对称点在第三象限，求a的取值围？

15.已知点A的坐标为（2x+y-3，x-2y）。

它关于x轴对称的点A'的坐标为（x+3，y-4），求点A关于y轴对称的点的坐标。

知识点1等腰三角形

有两边相等的三角形叫等腰三角形。

等腰三角形中，相等的两个边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

知识点2等腰三角形的性质

1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

8.等腰三角形中腰大于高

知识点3等腰三角形的判定

定义法：

在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。

判定定理：

在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：

等角对等边）。

例1

如图，△ABC中，点D在边AC上，且∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，

（1）找出图中图中所有的等腰三角形：

（2）请在你第

（1）小题所找的三角形中，说明它是等腰三角形的理由．

解：

（1）∵∠A=36°，∠C=72°，

∴∠ABC=180°-36°-72°=72°，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形，

∵∠DBC=36°，∠C=72°，

∴∠BDC=72°，

∴DB=CB，

∴△DBC是等腰三角形，

∵∠BDC=72°，

∴∠ABD=36°，

∴AD=DB，

∴△ABD是等腰三角形，

故答案为：

△ABC，△DAB，△BCD；

知识点4等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

（注意：

若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。

知识点5等边三角形的性质

⑴等边三角形的角都相等，且均为60度。

⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。

⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

知识点6等边三角形的判定

⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。

⑵三个角都相等的三角形是等边三角形。

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

例2如图：

△ABC和△ADE是等边三角形．证明：

BD=CE．

证明：

∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°（等边三角形的性质）．

∴∠BAD=∠CAE（等式的性质）．

在△BAD与△CAE中，

∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

知识点7含30º角的直角三角形的性质

在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

例3如果直角三角形的一个锐角为30°，而斜边与较短的直角边之和为18cm，那么斜边长为（　　）

A．6cmB．9cmC．12cmD．14cm

解析：

：

设直角三角形的30°角对的边为a，

另一直角边为b，斜边为2a，

由题意知，3a=18，∴a=6，2a=12cm.

答案C

课堂练习3

1．已知等腰三角形一个角的度数为30°，那么它的底角的度数是_________．

　　2．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．

　　3．等腰三角形的两边长分别为3厘米和6厘米，这个三角形的周长为_________．

　　4．如图，在中，平分，则D点到AB的距离为________．

　　5．如图，在中，平分，若，则．

　　6．如图，，AB的垂直平分线交AC于D，则．

7.等边三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴。

8.等边三角形两个角的平分线所成的钝角的度数是_____________.

9.若一个三角形有两个外角都是120°，则这个三角形是__________三角形。

10.等边三角形的两条中线相交所成的锐角的度数是_________。

11.若等腰三角形腰上的中线垂直于腰，则这个三角形是_________三角形。

12.若右图所示，已知点D在BC上，点E在AD上，BE=AE=CE,并且∠1=∠2=60°.求证：

△ABC是等边三角形。

13.如右图所示，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截出AD=AE，△ADE是等边三角形吗？

说明理由。

课后作业

1．下列命题中：

①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有（　　）个

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．下列图形中：

①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形.其中是轴对称图形有（　　）个

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的部，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则△P1OP2是（　　）

A．含30°角的直角三角形；B．顶角是30的等腰三角形；

C．等边三角形D．等腰直角三角形.

4．如图：

等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则

∠APE的度数是（　　）

A．45°B．55°　　

C．60°D．75°

5.等腰梯形两底长为4cm和10cm，面积为21cm2，则这个梯形较小

的底角是（　　）度.

A．45°B．30°C．60°D．90°

6．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则（　　）

A．PA+PB＞QA+QBB．PA+PB＜QA+QB

D．PA+PB＝QA+QBD．不能确定

7．已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交与直线MN上一点O，

则（　　）

A．点O是BC的中点B．点O是B1C1的中点

C．线段OA与OA1关于直线MN对称

D．以上都不对

8．如图：

已知∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，

PD⊥OA，若PC=4，则PD=　（）

　A．4B．3

C．2D．1

9．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离

为5，Q是OB上任一点，则（　　）

A．PQ＞5B．PQ≥5

C．PQ＜5D．PQ≤5

10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（　　）

　A．3cm或5cmB．3cm或7cmC．3cmD．5cm

11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴．

12．等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．

13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距离是__________．

14．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于___________．

15．如图：

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，AD=5，BC=8，且AB∥DE，则△DEC的周长是____________．

16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为

60°，则它的两底长分别为____________．

17．若D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD，

则∠BAC=____________．

18．△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________．

19．如图：

已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

20．如图：

AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称图形说明：

CD=AB+BD．

21．有一本书折了其中一页的一角，如图：

测得AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60°，求折痕EF的长．