初中数学公式导图.docx

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初中数学公式导图

初中数学公式和规律口诀大全：

最简根式的条件：

最简根式三条件，

号内不把分母含，

幂指（数）根指（数）要互质，

幂指比根指小一点。

特殊点的坐标特征：

坐标平面点（x，y），横在前来纵在后；

（＋，＋），（－，＋），（－，－）和（＋，－），四个象限分前后；

x轴上y为0，x为0在y轴。

象限角的平分线：

象限角的平分线，

坐标特征有特点，

一、三横纵都相等，

二、四横纵确相反。

平行某轴的直线：

平行某轴的直线，

点的坐标有讲究，

直线平行x轴，纵坐标相等横不同；

直线平行于y轴，点的横坐标仍照旧。

对称点的坐标：

对称点坐标要记牢，

相反数位置莫混淆，

x轴对称y相反，

y轴对称，x前面添负号；

原点对称最好记，

横纵坐标变符号。

自变量的取值范围：

分式分母不为零，

偶次根下负不行；

零次幂底数不为零，

整式、奇次根全能行。

函数图象的移动规律：

若把一次函数解析式写成y＝k（x＋0）＋b，二次函数的解析式写成y＝a（x＋h）2＋k的形式，则可用下面的口诀

左右平移在括号，

上下平移在末稍，

左正右负须牢记，

上正下负错不了。

一次函数的图象与性质的口诀：

一次函数是直线，图象经过三象限；

正比例函数更简单，经过原点一直线；

两个系数k与b，作用之大莫小看，

k是斜率定夹角，b与y轴来相见，

k为正来右上斜，x增减y增减；

k为负来左下展，变化规律正相反；

k的绝对值越大，线离横轴就越远。

二次函数的图象与性质的口诀：

二次函数抛物线，图象对称是关键；

开口、顶点和交点，它们确定图象现；

开口、大小由a断，c与y轴来相见，

b的符号较特别，符号与a相关联；

顶点位置先找见，y轴作为参考线，

左同右异中为0，牢记心中莫混乱；

顶点坐标最重要，一般式配方它就现，

横标即为对称轴，纵标函数最值见。

若求对称轴位置，符号反，

一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

反比例函数的图象与性质的口诀：

反比例函数有特点，双曲线相背离得远；

k为正，图在一、三（象）限，

k为负，图在二、四（象）限；

图在一、三函数减，两个分支分别减。

图在二、四正相反，两个分支分别增；

线越长越近轴，永远与轴不沾边。

巧记三角函数定义：

初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是直角三角形的边的比值，可以把两个字用／隔开，再用下面的.

一句话记定义：

一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话：

“正对鱼磷（余邻）直刀切。

”正：

正弦或正切，对：

对边即正是对；余：

余弦或余弦，邻：

邻边即余是邻；切是直角边．

三角函数的增减性：

正增余减

特殊三角函数值记忆：

首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀“123，321，三九二十七”既可。

平行四边形的判定：

要证平行四边形，两个条件才能行

，一证对边都相等，或证对边都平行，

一组对边也可以，必须相等且平行。

对角线，是个宝，互相平分“跑不了”，

对角相等也有用，“两组对角”才能成。

梯形问题的辅助线：

移动梯形对角线，两腰之和成一线；

平行移动一条腰，两腰同在“△”现；

延长两腰交一点，“△”中有平行线；

作出梯形两高线，矩形显示在眼前；

已知腰上一中线，莫忘作出中位线。

添加辅助线歌：

辅助线，怎么添？

找出规律是关键，题中若有角（平）分线，可向两边作垂线；

线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形两边中点，连接则成中位线；

三角形中有中线，延长中线翻一番。

圆的证明歌：

圆的证明不算难，常把半径直径连；

有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；

直径是圆最大弦，直圆周角立上边，

它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边；

还有与圆有关角，勿忘相互有关联，

圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连；

同弧圆周角相等，证题用它最多见，

圆中若有弦切角，夹弧找到就好办；

圆有内接四边形，对角互补记心间，

外角等于内对角，四边形定内接圆；

直角相对或共弦，试试加个辅助圆；

若是证题打转转，四点共圆可解难；

要想证明圆切线，垂直半径过外端，

直线与圆有共点，证垂直来半径连，

直线与圆未给点，需证半径作垂线；

四边形有内切圆，对边和等是条件；

如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，

两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

圆中比例线段：

遇等积，改等比，横找竖找定相似；

不相似，别生气，等线等比来代替，

遇等比，改等积，引用射影和圆幂，

平行线，转比例，两端各自找联系。

正多边形诀窍歌：

份相等分割圆，n值必须大于三，

依次连接各分点，内接正n边形在眼前。

经过分点做切线，切线相交n个点。

n个交点做顶点，外切正n边形便出现。

正n边形很美观，它有内接、外切圆，

内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，

它的图形轴对称，n条对称轴都过圆心点，

如果n值为偶数，中心对称很方便。

正n边形做计算，边心距、半径是关键，

内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，

分成直角三角形2n个整，依此计算便简单。

函数学习口决：

正比例函数是直线，图象一定过原点，

k的正负是关键，决定直线的象限，

负k经过二四限，x增大y在减，

上下平移k不变，由引得到一次线，

向上加b向下减，图象经过三个限，

两点决定一条线，选定系数是关键。

反比例函数双曲线，待定只需一个点，

正k落在一三限，x增大y在减，

图象上面任意点，矩形面积都不变，

对称轴是角分线，x、y的顺序可交换。

二次函数抛物线，选定需要三个点，

a的正负开口判，c的大小y轴看，

△的符号最简便，x轴上数交点，

a、b同号轴左边，抛物线平移a不变，

顶点牵着图象转，三种形式可变换，

初中常见数学公式大全：

1过两点有且只有一条直线 

2两点之间线段最短 

3同角或等角的补角相等 

4同角或等角的余角相等 

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 

7平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 

8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 

9同位角相等，两直线平行 

10内错角相等，两直线平行 

11同旁内角互补，两直线平行 

12两直线平行，同位角相等 

13两直线平行，内错角相等

14两直线平行，同旁内角互补 

15定理 三角形两边的和大于第三边 

16推论 三角形两边的差小于第三边 

17三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 

18推论1 直角三角形的两个锐角互余 

19推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 

20推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 

21全等三角形的对应边、对应角相等 

22边角边公理（SAS） 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 

23角边角公理（ASA） 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 

24推论（AAS） 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 

25边边边公理（SSS） 有三边对应相等的两个三角形全等 

26斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 

27定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 

28定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角） 

31推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 

33推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 

34等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 

35推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 

36推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 

39定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 

42定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 

43定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 

44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 

46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 

 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形 

48定理 四边形的内角和等于360° 

49四边形的外角和等于360° 

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 

51推论 任意多边的外角和等于360° 

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等 

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等 

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等 

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 

57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 

58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 

59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 

60矩形性质定理1    矩形的四个角都是直角 

61矩形性质定理2    矩形的对角线相等 

62矩形判定定理1    有三个角是直角的四边形是矩形 

63矩形判定定理2  对角线相等的平行四边形是形   

64菱形性质定理1    菱形的四条边都相等 

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2     

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形 

68菱形判定定理2  对角线互相垂直的平行四边形是菱形 

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 

70正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 

72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 

73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 

74等腰梯形性质定理  等腰梯形在同一底上的两个角相等 

75等腰梯形的两条对角线相等 

76等腰梯形判定定理  在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 

77对角线相等的梯形是等腰梯形 

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 

79推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 

80推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 

81三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 

82梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h 

83

（1）比例的基本性质 如果a:

b=c:

d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:

b=c:

d 

84

（2）合比性质 如果a／b=c／d,那么（a±b）／b=（c±d）／d 

85（3）等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n（b+d+…+n≠0）,那么（a+c+…+m）／（b+d+…+n）=a／b 

86平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 

87推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的应线段成比例 

88定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 

90定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 

91相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA） 

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 

93判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 

94判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 

95定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 

96性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 

97性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 

98性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 

101圆是定点的距离等于定长的点的集合 

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 

104同圆或等圆的半径相等 

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 

109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 

111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 

112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 

114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 

115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 

116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 

117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 

118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 

119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 

120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 

121①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r 

   ③直线L和⊙O相离 d＞r 

122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 

123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 

124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 

125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 

126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 

127圆的外切四边形的两组对边的和相等 

128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 

129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 

130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 

131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 

132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 

133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 

135①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r（R＞r） ④两圆内切d=R-r（R＞r） ⑤两圆内含d＜R-r（R＞r） 

136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 

137定理 把圆分成n（n≥3）:

  ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 

  ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 

138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 

139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 

140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 

141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 

142正三角形面积√3a／4a表示边长 

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×（n-2）180°／n=360°化为（n-2）（k-2）=4 

144弧长计算公式：

L=n兀R／180 

145扇形面积公式：

S扇形=n兀R^2／360=LR／2 

146内公切线长=d-（R-r） 外公切线长=d-（R+r） 

实用工具:

常用数学公式 

    公式分类公式表达式 

    乘法与因式分解 a2-b2=（a+b）（a-b）     a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2） 

  a3-b3=（a-b（a2+ab+b2） 

    三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b 

  |a-b|≥|a|-|b|  -|a|≤a≤|a| 

 一元二次方程的解 -b+√（b2-4ac）/2a-b-√（b2-4ac）/2a 

 根与系数的关系  X1+X2=-b/aX1*X2=c/a 注：

韦达定理 

 判别式 

  b2-4ac=0 注：

方程有两个相等的实根 

  b2-4ac>0 注：

方程有两个不等的实根 

  b2-4ac<0 注：

方程没有实根，有共轭复数根 

    三角函数公式 

     两角和公式 

    sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA 

    cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB 

tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB） 

ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA）ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA） 

   倍角公式 

   tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga 

    cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 

    半角公式 

    sin（A/2）=√（（1-cosA）/2）    sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2） 

    cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）    cos（A/2）=-√（（1+cosA）/2） 

    tan（A/2）=√（（1-cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-√（（1-cosA）/（（1+cosA）） 

    ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1-cosA））ctg（A/2）=-√（（1+cosA）/（（1-cosA）） 

    和差化积 

    2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）     2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B） 

    2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）    -2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B） 

    sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2 

    cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2） 

    tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB     tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB 

    ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB     -ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB 

    某些数列前n项和 

 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）