回归分析方法总结全面Word文件下载.docx

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四、一元线性回归分析

1.一元线性回归分析的特点

1）两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。

2）如果x和y两个变量无明显因果关系，那么存在着两个回归方程：

一个是以x为自变量，y为因变量建立的回归方程；

另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。

假设绘出图形，那么是两条斜率不同的回归直线。

3）直线回归方程中，回归系数b可以是正值，也可以是负值。

假设0b>

，表示直线上升，说明两个变量同方向变动；

假设0b<

，表示直线下降，说明两个变量是反方向变动。

任何一种数学模型的运用都是有前提条件的，配合一元线性回归方程应具备以下两个条件：

1）两个变量之间必须存在高度相关的关系。

两个变量之间只有存在着高度相关的关系，回归方程才有实际意义。

2）两个变量之间确实呈现直线相关关系。

两个变量之间只有存在直线相关关系，才能配合直线回归方程。

一元线性回归方程是用于分析两个变量〔一个因变量和一个自变量〕线性关系的数学表达式，一般形式为：

yc=a+bx

式中：

x代表自变量；

yc代表因变量y的估计值（又称理论值）；

ab为回归方程参数。

其中，a是直线在y轴上的截距，它表示当自变量x等于0时，因变量所到达的数值；

b是直线的斜率,在回归方程中亦称为回归系数,它表示当自变量x每变动一个单位时，因变量y平均变动的数值。

一元线性回归方程应根据最小二乘法原理建立，因为只有用最小二乘法原理建立的回归方程才可以同时满足两个条件：

1）因变量的实际值与回归估计值的离差之和为零；

2）因变量的实际值与回归估计值的离差平方和为最小值。

只有满足这两个条件，建立的直线方程的误差才能最小，其代表性才能最强。

现在令要建立的一元线性回归方程的标准形式为yc=a+bx,依据最小二乘法原理，因变量实际值y与估计值yc的离差平方和为最小值,即Q=∑（y-yc）2取得最小值。

为使Q=∑（y-yc）2=最小值

根据微积分中求极值的原理，需分别对a,b求偏导数，并令其为0，经过整理，可得到如下方程组：

∑y=an+b∑x

∑xy=a∑x+b∑x2

解此方程组，可求得a,b两个参数

4.计算估计标准误差

回归方程只反映变量x和y之间大致的、平均的变化关系。

因此，对每一个给定的x值，回归方程的估计值yc与因变量的实际观察值y之间总会有一定的离差，即估计标准误差。

估计标准误差是因变量实际观察值y与估计值yc离差平方和的平均数的平方根，它反映因变量实际值y与回归直线上各相应理论值yc之间离散程度的统计分析指标。

估计标准误差：

sy——估计标准误差；

y——因变量实际观察值；

yc——因变量估计值；

n-2——自由度

如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？

利用相关系数r来衡量

当r>

0时，表示x与y为正相关;

当r<

0时，表示x与y为负相关。

5.残差分析与残差图：

残差是指观测值与预测值〔拟合值〕之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差

在研究两个变量间的关系时，

a）要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关；

b）判断是否可以用回归模型来拟合数据；

c）可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作就称为残差分析。

6.残差图的制作及作用。

坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；

假设模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。

对于远离横轴的点，要特别注意。

7.几点注解：

第一个样本点和第6个样本点的残差比拟大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。

如果数据采集有错误，就应该予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；

如果数据采集没有错误，那么需要寻找其他的原因。

另外，残差点比拟均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较适宜，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。

还可以用判定系数r2来刻画回归的效果，该指标测度了回归直线对观测数据的拟合程度，其计算公式是：

其中：

SSR-回归平方和；

SSE-残差平方和；

Sst=ssr+sse总离差平方和。

由公式知，R〔相关指数〕的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。

在含有一个解释变量的线性模型中r2恰好等于相关系数r的平方，即R2=r2

在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的奉献率。

R2越接近1，表示回归的效果越好〔因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强〕。

如果某组数据可能采取几种不同回归方程进展回归分析，那么可以通过比拟R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。

总的来说：

相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。

在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。

五、多元线性回归分析

在一元线性回归分析中，因变量y只受某一个因素的影响，即只由一个自变量x来估计。

但对于复杂的自然界中的问题，影响因素往往很多，在这种情况下，因变量y要用多个自变量同时进展估计。

例如，某种产品的总本钱不仅受原材料价格的影响，而且也与产品产量、管理水平等因素有关；

农作物产量的髙低受品种、气候、施肥量等多个因素的影响。

描述因变量与两个或两个以上自变量之间的数量关系的回归分析方法称为多元线性回归分析。

它是一元线性回归分析的推广，其分析过程相对复杂一些，但根本原理与一元线性回归分析类似。

多元线性回归方程的一般表达式为：

为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2。

其线性回归方程标准式为：

yc为二元回归估计值；

a为常数项；

b1和b2分别为y对x1和x2的回归系数，b1表示当自变量x2为一定时，由于自变量x1变化一个单位而使y平均变动的数值，b2表示当自变量x1为一定时，由于自变量x2变化一个单位而使y平均变动的数值，因此，b1和b2称为偏回归系数。

要建立二元回归方程，关键问题是求出参数a，b1和b2的值，求解方法仍用最小二乘法，即分别对a，b1和b2求偏导数，并令函数的一阶导数等于零，可得如下方程组：

（二）

在回归分析中，通常称自变量为回归因子，一般用

表示，而称因变量为指标，一般用

表示。

预测公式：

，称之为回归方程。

回归

模型，按照各种原那么可以分为各种模型：

1.当n=1时，称为一元（单因子）回归；

当n≥2时，称为多元（多因子）回归。

2.当f为线性函数时，称为线性回归；

当f为非线性函数时，称为非线性（曲线）回归。

最小二乘准那么：

假设待定的拟合函数为

，另据m个数据点，相当于求解以下规划问题：

即使得总离差平方和最小。

具体在线性拟合的过程中，假设拟合函数为y=a+bx，a与b为待定系数，有m个数据点，分别为

，应用最小二乘法，就是要使：

到达最小值。

把S看成自变量为a和b的连续函数，那么根据连续函数到达及致电的必要条

件，于是得到：

因此，当S取得最小值时，有：

可得方程组为：

称这个方程组为正规方程组，解这个二元一次方程组，得到：

如果把已有数据描绘成散点图，而且从散点图中可以看出，各个数据点大致分布在一条直线附近，不妨设他们满足线性方程：

其中，x为自变量，y为因变量，a与b为待定系数；

ε成为误差项或者扰动项。

这里要对数据点做线性回归分析，从而a和b就是待定的回归系数，ε为随机误差。

不妨设得到的线性拟合曲线为：

这就是要分析的线性回归方程。

一般情况下，得到这个方程以后，主要是描绘出

回归曲线，并且观测拟合效果和计算一些误差分析指标，例如最大点误差、总方差和标准差等。

这里最缺乏的就是一个统一的评价系统，以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评价系统。

在实际的线性回归分析中，除了估计出线性回归系数a和b，还要计算y和x的相关程度，即相关性检验。

相关性检验主要通过计算相关系数来分析，相关系数的计算公式为：

其中n为数据点的个数，

为原始数据点，r的值能够很好地反映出线性相关程度的上下，一般来说，存在以下一些标准：

1.当r→1或者r→−1时，表示y与x高度线性相关，于是由原始数据描绘出的散点图中所有数据点都分布在一条直线的附近，分别称为正相关和负相关；

2.当r→0时，表示y与x不相关，由原始数据描绘出的散点图的数据点一般呈无规律的特点四散分布；

3.当−1<

r<

0或者0<

r<

1时，y与x的相关程度介于1与2之间；

4.如果r→1，那么y与x线性相关程度越高；

反之，如果r→0，那么y与x线性相关程度越低。

实际计算r值的过程中，长列表计算，即：

在实际问题中，一般要保证回归方程有最低程度的线性相关。

因为许多实际问题中，两个变量之间并非线性的相关关系，或者说线性相关程度不高，此时硬给他建立线性回归方程，显然没有太大意义，也没有什么实用价值。

一般来说，把这个最低限度的值记为临界值

，称之为相关性检验标准。

因此，如果计算出r的值，并且满足

，那么符合相关性要求，线性回归方程作用显著。

反之，如果

，那么线性回归方程作用不显著，就尽量不要采用线性回归方程。

临界值的数值表如下：

其中，自由度可以由原始数据点的个数减去相应的回归方程的变量个数，例如线性回归方程中有两个变量，而数据点的个数为n个，那么自由度为n−2.自由度一般记为f，但不要与一般的函数发生混淆。

显著性水平一般取为0.01,0.02,0.05等，利用它可以计算y与x之间相关关系的可信程度或者称为置信水平，计算公式为：

（这里取显著性水平为α=）

现在介绍置信区间的问题，由于实际误差的存在，由线性拟合得到的计算值跟实际值之间必然存在一定的差距，其差值就是计算误差。

假设原始数据点为

，计算得到的数据点为

，再给定

附近的一个区间：

那么实际值yi可能落在这个区间内，也可能落在这个区间外。

如果所有的这些区间

（以

为中心，长度为

）包含实际值的个数占总数的比例到达95%或者以上，那么称这些区间的置信水平不少于95%

根据以上的分析，可以知道置信区间的概念，如果确定了置信水平为95%，从而可以找到相应的最小的Δt值，使得95%以上的实际值落在区间

内，那么

称为预测值

满足置信水平95%的置信区间。

一般情况下，如果不做特别说明，置信区间的相应置信水平默认为95%，置信区间反映了回归方程的适用范围和准确度，特别的，当所有离散数据分布在回归曲线的附件，大致呈现为正态分布时，置信区间为：

其中S为该回归模型的标准差，计算公式为：

或者为：

那么，如果回归方程为y=a+bx，那么有两条控制直线分别为

和

，他们代表了置信区间的上限和下限，如下列图所示：

那么，可以预料实际的数据点几乎全部（至少95%）落在上图两条虚线所夹的区域内。

这里对回归方程的应用做一个总结：

1.估计、预测指标值。

对于因子x的一个给定值x0，代入回归预测方程即可求出相应的指标值

，称

为指标y0的点估计，相应预测误差为

但是，真实指标y0的值一般无法确知，预测精度只能根据回归误差来做估计。

在回归预测中，预测的精度可以用均方差和标准差的比值来估计；

2.估计指标值范围。

估计指标值的范围，就是求给定x0，相应于某个给定的置信水平的置信区间。

具体的求法，要应用到t分布；

3.控制因子取值。

在某些实际问题中，特别当因子值可以人为的控制、调解时，也可以根据所要到达的指标值，反过来推出因子的取值，这就是因子值的控制。

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