多采样率MIMO网络时滞控制系统的建模与稳定性研究.docx
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多采样率MIMO网络时滞控制系统的建模与稳定性研究
多采样率MIMO网络时滞控制系统的建模与稳定性研究
摘要：
首先建立一个MIMO网络控制系统，然后利用提升技术使系统由线性时变的多采样率系统转化为高维的线性时不变的单采样率系统，推导出了该类网络控制系统的时滞离散时间数学模型。
将整个MIMO网络控制系统分成若干个子系统进行稳定性分析，若每一个子系统都是稳定的，则整个系统是稳定的。
最后给出了系统稳定的条件，并导出了使系统稳定的最大时延。
通过MATLAB进行系统仿真，实验结果证明本文所设计的多采样率MIMO网络控制系统是稳定的。
关键词：
多采样率；MIMO网络控制系统；时滞；稳定性
0引言
网络控制系统（NCS，NetworkedControlSystem）是指以网络作为信息传输的通道从而将被控对象、传感器、控制器和执行器连接起来而形成的反馈控制系统。
目前，对MIMO（MultiInput&MultiOutput,MIMO）网络控制系统的研究也有了一些研究成果。
ZhangW针对传感器采用多包传输的网络控制系统，在不考虑网络时延情况下建立了切换系统模型，分析了传感器数据封装为两个数据包时系统的稳定性；李静等针对MIMO网络控制系统中同时存在时延、数据包丢失以及多包传输问题进行了研究，根据数据寄存和静态调度方法建立系统模型，并利用Lyapunov函数和线性矩阵不等式方法（LMIs）导出了系统稳定的充分条件；张俊等针对多延时的MIMO网络控制系统进行了建模与稳定性分析，并用Lyapunov函数和Razumikhin定理得出了系统稳定的时延参数和稳定性条件。
本文将针对一类多采样率MIMO网络时滞控制系统，利用提升技术建立准确合理的多采样周期NCSs数学模型，并对所建立的模型进行了稳定性分析，并利用Lyapunov函数和线性矩阵不等式方法（LMIs）导出了系统稳定的充分条件。
通过MATLAB仿真实验，证明系统在多采样率的情况下，不仅具有较强的分散控制能力并仍可以保持较高的稳定性。
1多采样率MIMO网络控制系统的数学模型
MIMO网络控制系统结构图如图1所示。
在建立数学模型时先做如下假设：
①假设同一回路采用相同的周期采样和保持，且各回路状态参数之间相互独立；②通过网络传输数据时，同一回路的输入或输出数据用单包传输，不考虑数据包错序与丢失；③假设传感器、控制器和执行器都为时钟驱动。
图1MIMO网络控制系统结构
被控对象为线性时不变连续控制系统，其状态方程描述如下：
p（t）=Apxp（t）+Bpup（t）yp（t）=Cpxp（t）
（1）
其中，xp（t）∈Rnp，up（t）∈Rm，yp（t）∈Rr分别是被控对象的状态向量、输入向量和输出向量。
设第i个输入通道的输入采样周期为Ti，Ti=qiT,其中T为基本采样周期，整个系统的循环周期为T0=qT，q=LCM（q1,q2,…
qr）。
以T0为采样周期，并设图1中所有的保持器均是零阶保持器，可以得到连续时间被控对象Gp在采样各采样点时刻的离散时间状态方程为：
xp［（k+1）T0］=Axp（kT0）+Bup（kT0）yp（kT0）=Cxp（kT0）
（2）
被控对象状态方程中的系数矩阵都是以T0为周期的时变矩阵，这就给闭环系统的分析和控制系统的分析带来了很大的不便，为了克服这一困难，可以利用提升技术定义被控对象状态方程中的扩展输入与输出向量：
u∧p（kT0）=u1p（kT0）u1p（kT0+T1）u1p［kT0+（M1－1）T1］ump（kT0）ump（kT0+Tm）ump［kT0+（Mm－1）Tm］，
y∧p（kT0）=y1p（kT0）y1p（kT0+T1）y1p［kT0+（M1－1）T1］ymp（kT0）ymp（kT0+Tm）ymp［kT0+（Mm－1）Tm］
同时定义相应的矩阵：
A∧p=A；B∧p=［B1,…,Bm］为np×∑rj=1Mj矩阵，C∧p为∑mi=1Mi×np矩阵。
由此我们得到多采样率MIMO网络控制系统被控对象的状态空间描述为：
xp［（k+1）T0］=A∧pxp（kT0）+Bp∧up∧（kT0）yp∧（kT0）=Cp∧xp（kT0）（3）
若考虑控制器的处理时延，即采样τc来表示，多采样率MIMO网络控制系统控制单元采用状态反馈方程控制方式，其状态反馈控制方程可以描述为：
xc［（k+1）T0］=Acxc（kT0）+Bcuc∧（kT0）yc∧（kT0）=K∧cu∧c（kT0－τc）（4）
其中，xc∈Rnc，u∧c,y∧c∈R∑mi=1Mi分别是控制器的状态、输入和输出向量。
当考虑网络时延且其值小于一个采样周期时，根据图1的信号关系，并利用（3）和（4）式，则：
u∧c（kT0－τc（kT0））=y1p（kT0－τ11sc－τ11c）y1p（kT0－τ12sc－τ12c）y1p（kT0－τ1M1sc－τ1M1c）ymp（kT0－τm1sc－τm1c）ymp（kT0－τm2sc－τm2c）ymp（kT0－τmMmsc－τmMmc）=
∑ri=1Eiixp（kT0－τ11sc－τ11c）xp（kT0－τ12sc－τ12c）xp（kT0－τ1M1sc－τ1M1c）xp（kT0－τm1sc－τm1c）xp（kT0－τm2sc－τm2c）xp（kT0－τmMmsc－τmMmc）（5）
u∧p（kT0）=y∧c（kT0－τca（kT0））=∑mζ=1∑ri=1FζEi
xp（kT0－τ11sc－τ11ca－τ11c）xp（kT0－τ12sc－τ12ca－τ12c）xp（kT0－τ1M1sc－τ1M1ca－τ1M1c）xp（kT0－τm1sc－τm1ca－τm1c）xp（kT0－τm2sc－τm2ca－τm2c）xp［kT0－τmMmsc－τmMmca－τmMmc）（6）
将上面u∧p（kT0）与xp的关系式代入式被控对象Gp和控制单元Gc状态方程中，被控对象Gp状态方程变为：
xp［（k+1）T0］=A∧pxp（kT0）+B∧P∑mζ=1∑ri=1FζEi
xp（kT0－τ11sc－τ11ca－τ11c）xp（kT0－τ12sc－τ12ca－τ12c）xp（kT0－τ1M1sc－τ1M1ca－τ1M1c）xp（kT0－τm1sc－τm1ca－τm1c）xp（kT0－τm2sc－τm2ca－τm2c）xp（kT0－τmMmsc－τmMmca－τmMmc）（7）
控制单元Gc的状态方程变为：
xc［（k+1）T0］=Acxc（kT0）+Bc∑ri=1Ei
xp（kT0－τ11sc）xp（kT0－τ12sc）xp（kT0－τ1M1sc）xp（kT0－τm1sc）xp（kT0－τm2sc）xp［kT0－τmMmsc（kT0）］（8）
取x（kT）=xp（kT0）xc（kT0）∈Rnp+nc作为网络控制系统的广义状态空间向量，则有：
x［（k+1）T0］=A∧p00Acxp（kT0）xc（kT0）+
00Bc∑ri=1Ei0
xp（kT0－τ11sc）xp（kT0－τmMmsc）xc（kT0－τ11sc）xc（kT0－τmMmsc）
+B∧P∑mζ=1∑ri=1FζEi000
xp（kT0－τ11sc－τ11ca－τ11c）xp（kT0－τmMmsc－τmMmca－τmMmc）xc（kT0－τ11sc－τ11ca－τ11c）xc（kT0－τmMmsc－τmMmca－τmMmc）（9）
其中，令A0=A∧p00Ac，A1=00Bc∑ri=1Ei0，A2=B∧P∑mζ=1∑ri=1FζEi000。
2网络控制系统的稳定性分析
多采样率多输入多输出网络控制系统是由多个采样和保持周期不同的控制回路组成，若将每个回路看成一个子系统，若其中的任意一个子系统稳定则整个系统是稳定的。
从系统（9）中取其中的第j条子系统网络控制回路来分析，其状态方程描述为：
x［（k+1）T0］=Aj0x（kT0）+Aj1x（kT0－τjsc）+Aj2x（kT0－τjsc－τjca－τjc）（10）
其中，Aj0=A∧p00Ac，Aj1=BcEi00，Aj2=B∧pFζEi000。
为便于讨论令kT0=k，则式（10）可以表示成：
x（k+1）=Aj0x（k）+∑2i=1Ajix（k－τi）（11）
网络中由于受网络带宽的限制，总会存在一定大小的时延，由上述式（11）为一个时延不一致的时滞系统。
子系统（11）稳定的条件是：
λ（Aj0） 网络控制系统极点落在以坐标原点为圆心，以r为半径的圆形区域内，则称该子系统为稳定的。
其中α=1rτi+1∑2i=1‖Q－10AjiQ0‖，0 证明：
由线性控制系统的相关理论知识可知，系统稳定的充要条件是系统极点必须分布在以坐标原点为圆心，r为半径的D（0,r），若极点值落在圆外，则系统不稳定。
|z|≥rdet（zI－Aj0－∑2i=1Ajiz－τi）≠0τi≥0,（13）
若令z=δr，则可得δ≥1并将之代入上述式（13），得：
δ≠λ［1r（Aj0）+1r∑2i=1Aji（δr）－τi］（14）
显然，只要不等式：
λ［1r（Aj0）+1r∑2i=1Aji（δr）－τi］<1（15）
成立，子系统极点便分布在圆D（0,r）内。
由文献中引理和定理和上述知δ≥1，所以0则式（16）可变为：
可以得到：
λ［1r（Aj0）］－λ［1r（Aj0）+1r∑2i=1Aji（δr）－τi］≤1r∑2i=1‖Q－10AjiQ0（δr）τi‖∞=α（16）
由上述说假设的条件λ（Aj0） λ［1r（Aj0）］<1－α（17）
由式（16）变化可得：
a≥λ［1r（Aj0）］－λ［1r（Aj0）+1r∑2i=1Aji（δr）－τi］≥λ［1r（Aj0）+1r∑2i=1Aji（δr）－τi］－λ［1r（Aj0）］（18）
由式（17）和式（18）可知：
λ［1r（Aj0）+1r∑2i=1Aji（δr）－τi］≤α+λ［1r（Aj0）］≤α－（1+α）=1（19）
即由上述式（19）可知，该子系统极点分布在以原点为圆心的单位圆内，所以可证上述整个多采样率MIMO网络时滞系统是稳定的。
3仿真实例
假设多采样率控制系统的线性时不变的状态空间模型为：
x［（k+1）T0］=Arx（kT0）+Brur（kT0）yr（kT0）=Crx（kT0）+Drur（kT0）（21）
其中系统中各常数矩阵为：
Ar=1.37670.42630.04130.80470.99170.19251.99470.71541.0603；
Br=0.15070.06540.13250.11760.10540.12480.03390.09830.07630.0580.25090.08460.18330.12470.0735
Cr=1011.47830.21831.00532.02220.47681.02252.64710.78201.0538；
Dr=000000.178800000.242300.1788000.315800.24230.17880
选择所要配置的特征向量集合为：
{0.1227,0.5219,0.6524}，它所对应的特征向量构成的矩阵P为：
p=0.7628－0.35370.44530.1925－0.0275－0.8935－0.6176－0.9350－0.0576
该系统中Cr为列满秩，Br为行满秩，根据Π2=defB+r（p∧p－1－Ar）和K（Cr+DrΠ2）=Π2两式可可计算出闭环系统的反馈增益K为：
K=－4.9320000.02070000－4.2298001.1231－0.7214－4.65150010.8761.846－22.0211
再结合上述稳定性分析可知：
λ=1,1.8326,0.6235；
Q0=1.000－0.02730.02560－0.0846－0.081300.95380.8724；
A1=－0.1203－1.2316－0.3216－0.2364－5.621－1.8320.33616.12422.1347。
根据上述所得结果与式（12）可知，当取半径r=0.9•，
使系统稳定时的最大时延的取值范围为：
τmax≤0.035s。
本文在MATLAB6.5环境下，得出了多输入多输出网络控制系统的状态曲线，如图2所示，实验结果表明多采样率在MIMO网络控制系统的应用能够使系统的具有较好的稳定性。
图2多输入多输出NCSs的状态曲线图
4结束语
本文对一类多采样率MIMO网络时滞控制系统进行了研究，通过采用提升技术将多采样率系统的时变特性转化为高维的时不变系统，建立基于状态反馈的离散时间数学模型。
从此数学模型中取其中任意一个子系统来分析，根据线性控制系统稳定性理论的相关知识，得到了单个子系统的极点分布在以原点为坐标原点的单位圆内，从而证明了整个系统的稳定性，并求出了使系统稳定的最大时延。
最后用MATLAB进行系统仿真，证明了本文所设计的多采样率MIMO网络控制系统是稳定的。
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