万有引力定律及其应用.docx
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万有引力定律及其应用
万有引力定律及其应用
目标认知
学习目标
1.了解开普勒行星运动定律
2.理解万有引力定律的内容及使用条件
3.会计算天体表面的重力加速度问题
4.了解引力常量的测定及其意义
5.会用万有引力定律公式计算中心天体的质量
学习重点、难点
1.万有引力定律的内容及使用条件
2.中心天体质量的计算
知识要点梳理
知识点一．开普勒行星运动三定律
要点诠释：
1.开普勒第一定律
所有的行星围绕太阳运动的轨迹都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等。
3.开普勒第三定律
所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等，即
4、说明
（1）研究天体运行时，太阳系中的八大行星及卫星运功的椭圆轨道的两个焦点相距很近，因此行星的椭圆轨道都很接近圆。
在要求不太高时，通常可以认为行星以太阳为圆心做匀速圆周运动。
这样做使处理问题的方法大为简化，而得到的结果与行星的实际运行情况相差并不大。
（2）在上述情况下，
的表达式中a就是圆的半径R，利用
的结论解决某些问题很方便。
在太阳系中，比例系数k是一个与行星无关的常量，但不是恒量。
在不同的星系中，k值不相同，k值与中心天体有关。
（3）该定律不仅使用于行星，也使用于其他天体。
如对绕地球飞行的卫星来说，它们的k值相同与卫星无关。
：
某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，
、
是椭圆轨道的两个焦点，太阳在焦点
上，A、B是两点
、
连线与椭圆的交点。
已知A到
的距离为a，B到
的距离为b，则行星在A、B两点处的速率之比多大？
思路点拨：
用开普勒定律分析
分析：
由开普勒行星运动第二定律，太阳和行星的连线在相等时间内扫过的面积相等。
设在时间
内行星在A、B两点处与太阳连线所扫过的面积相等，如下图中的阴影部分所示：
当
很小时，则行星运动轨迹弧线很短，
可以认为是线段，阴影部分的形状可近似为直角三角形，所以有：
即：
答案：
知识点二．万有引力定律
要点诠释：
1.内容
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积
成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比。
2.公式
，其中G为万有引力常量，
3.适用条件
适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。
质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可以用此公式计算，其中r为两球心之间的距离。
4.重力与万有引力的关系
在地球表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受的重力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力
，其中
，而
。
（1）当物体在赤道上时
F、mg、
三力同向，此时
达到最大值
，
重力加速度达到最小值
（2）当物体在两极的极点时
，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最大值为
。
因地球自转角速度很小，
，所以在一般情况下进行计算时认为
。
5、要点深化
（1）普遍性：
任何客观存在的物体间都存在着相互作用的吸引力，即“万有引力”
（2）相互性：
两物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们的大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上。
（3）宏观性：
在通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的星体间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义，故在分析地球表面的物体受力时，不考虑地面物体间的万有引力，只考虑地球对地面物体的万有引力。
知识点三．引力常量的测定及其意义
要点诠释：
1.扭秤实验
1798年英国物理学家卡文迪许巧妙地利用扭秤，经过多次实验，通过对两个铅球之间万有引力的测量，比较精确得测出G的数值。
实验中采用多次放大思想。
2.引力常量
3.利用万有引力定律计算天体的质量
假设质量为m的某星体A，围绕质量为
的星体B做匀速圆周运动，
星体A所需要的向心力为
此向心力由星体B对星体A的万有引力提供，即
由此可得星体B的质量为
规律方法指导
1．补偿法
对某些物理题，当待求的A直接求解困难时，可想法补上一个B，补偿的原则是使得A+B变得易于求解，而且补上去的B也容易求解，那么，待求的A从两者的差值获得，问题就迎刃而解了，此法称为“补偿法”
2．星体表面及某一高度处的重力加速度的求法
设天体表面的重力加速度为
，天体的半径为R，
则
，即
（或
）（此法称作为黄金代换）
若物体距星体表面高度为
，
则重力
，即
3．求天体的质量的两种方法
一种是根据重力加速度求天体的质量，
即
，则
，g为离M距离为R处的重力加速度；
一种是根据天体的圆周运动求天体的质量，天体做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，
，
，M是位于圆心处天体的质量。
经典例题透析
类型一——万有引力的计算
1.已知太阳的质量M=2.0×1030kg，地球的质量m=6.0×1024kg，太阳与地球相距r=1.5×1011m，求
（1）太阳对地球的万有引力；
（2）地球对太阳的万有引力。
解析：
根据万有引力定律有：
根据作用力与反作用力的关系，地球对太阳的引力与太阳对地球的引力大小相等，方向相反，即F'=F=3.56×1022N
总结升华：
根据万有引力定律，任何两个物体之间都相互吸引，引力的大小与两物体质量的乘积成正比，与其距离的平方成反比，即
，地球对太阳的引力与太阳对地球的引力大小相等，方向相反，二者的关系是作用力与反作用力。
举一反三
【变式】已知地球的质量m=5.89×1024kg，赤道半径为R=6.38×106m，一个质量为m=50kg的人站在赤道地面上，求地球对人的万有引力多大？
又已知赤道附近的重力加速度为9.78m/s2，求受到的重力多大？
解析：
根据万有引力定律有：
人受到的重力G=mg=50×9.78=489（N）
可见地球上物体所受的地球的引力约等于物体的重力。
2.甲、乙两物体之间的万有引力大小为F，若乙物体质量不变，甲物体质量减少1/2，同时甲、乙物体间距离也减少1/2，则甲、乙物体之间万有引力的大小变为：
（ ）
A、F B、F/2 C、F/4 D、2F
解析：
根据万有引力定律有：
答案：
D
总结升华：
正确理解万有引力定律中的万有引力大小跟什么有关系，正确应用比例的方法求解。
举一反三
【变式】两大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力是F，若两个半径是小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为：
（ ）
A、2F B、4F C、8F D、16F
解析：
小铁球之间的万有引力：
大铁球的半径是小铁球的2倍，其质量
对小铁球：
对于大铁球：
则两大铁球间的万有引力：
∴正确答案选D
答案：
D
类型二——补偿法计算万有引力
3.如图所示，在一个半径为R，质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为
的球形空穴后，剩余的阴影部分对位于球心和空穴中心连线上，与球心相距d的质点m的引力是多大？
思路点拨:
此题可用补偿法，将挖去的部分填补上，变成均质球后，由万有引力公式可求解，再根据力的合成与分解求剩余部分对m的引力。
解析：
把整个球体对质点的引力F看成是挖去的小球体对质点的引力
和剩余部分对质点的引力
之和，即
填补上空穴的完整球体对质点m的引力
挖去的半径为
的小球体的质量为
，
则
挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力
总结升华：
物体不能看作质点时，不能应用万有引力公式求解，想办法建立理想模型后再应用公式求解。
万有引力遵循力的合成与分解原则。
举一反三
【变式】如图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分。
所挖去的小圆球的球心
和大球体球心间的距离是
。
求球体剩余部分对球体外离球心
距离为
、质量为m的质点P的引力。
解析：
将挖去的球补上，则完整的大球对球外质点P的引力：
半径为
的小球的质量
补上的小球对质点P的引力
因而挖去小球的阴影部分对P质点的引力
类型三——天体表面重力加速度问题
4.1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km。
若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。
已知地球半径R=6400km，地球表面重力加速度为g。
这个小行星表面的重力加速度为（）
A.400g B.
C.20g D.
思路点拨:
此题属于天体表面重力加速度问题，需用黄金代换法求解。
解析：
质量分布均匀的球体的密度
地球表面的重力加速度：
吴健雄星表面的重力加速度：
故B选项正确。
答案：
B
总结升华：
对天体来说，可以认为重力等于万有引力。
随着高度的增加重力加速度减小，物体所受的重力减小。
举一反三
【变式1】如果地球表面的重力加速度为g，物体在距地面3倍的地球半径时的重力加速度为g'。
则二者之比是
A、1：
91 B、9：
1 C、1：
16 D、16：
1
解析：
距地面的高度为3R，则距地心为4R，根据万有引力公式有：
解上述方程得
答案：
D
【变式2】假定Z星和地球都是球体。
Z星质量
和地球质量
之比为p，Z星的半径
与地球半径
之比为q。
那么离Z星表面
高处的重力加速度
和离地球表面
高处的重力加速度
之比等于多少？
解析：
因物体的重力来自万有引力，所以离Z星表面
高处有：
可得：
同理可得：
故
类型四——天体质量、密度的计算
5.月球绕地球转动的周期为T，轨道半径为r，地球半径为R，引力常量为G，请写出地球质量和地球密度的表达式。
思路点拨:
本题属于计算天体质量问题，要考虑天体质量的计算公式
和
的应用。
解析：
地球对月球的万有引力提供月球绕地球运动的向心力，由
解得
地球密度
总结升华：
（1）利用这种方法可以比较精确地测出地球的质量和密度。
（2）利用这种方法求解的是中心天体的质量，而不是绕中心天体运转的天体的质量。
（3）这种通过可直接测量的量（轨道半径和周期），间接测量出原本无法直接测量的量的方法，是科学研究的重要方法。
举一反三
【变式】太阳光经500s到达地球，地球半径为
，试估算太阳质量与地球质量的比值。
解析：
地球到太阳的距离
，地球绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，向心力为太阳对地球的引力，地球绕太阳公转的周期
由
得
地球表面的重力加速度
，在忽略地球自转的情况下，
物体在地球表面所受的重力等于地球对物体的引力，即
可得地球的质量
太阳质量和地球质量的比值
代入数据得
类型五——双星问题
6.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。
（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比。
（2）设两者的质量分别为
和
，两者相距L，试写出它们角速度的表达式。
思路点拨:
双星之间的作用力是两星之间的万有引力，要做稳定的匀速圆周运动，只有依靠万有引力提供向心力，又因以两者连线上某点为圆心，所以半径之和不变，故运动过程中角速度不变，再由万有引力定律可以解得。
解析：
（1）要保持两天体间距L不变，两者做圆周运动的角速度
必须相同。
设两者轨迹圆心为O，圆半径分别为
和
，如图所示，
所以
根据线速度与角速度的关系
得
所以
（2）由
得
由
得
且
联立解得
总结升华：
解决双星问题的关键，要抓住两点：
（1）两星的角速度相同；
（2）所需向心力的大小相等
举一反三
【变式】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。
天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。
两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。
引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率
和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力
可等效为位于O点处质量为
的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为
，试求
（用
表示）
（2）求暗星B的质量
与可见星A的速率
、运行周期T、和质量
之间的关系式。
解析：
（1）设A、B的圆轨道半径分别为
，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为
。
由牛顿运动定律，有
，
，
设A、B之间的距离为r,又
，由上述各式得
由万有引力定律，有
令
比较可得
（2）由牛顿第二定律，有
又可见星A的轨道半径
综上可得
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