全国各地中考数学试题《平行四边形》解答题试题汇编含答案解析.docx

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全国各地中考数学试题《平行四边形》解答题试题汇编含答案解析

2018年全国各地中考数学试题

《平行四边形》解答题试题汇编（含答案解析）

1．（2018•连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）求证：

四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

2．（2018•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．

（1）求证：

△ADE≌△BCE；

（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．

3．（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．

（1）求证：

△DAF≌△ABE；

（2）求∠AOD的度数．

4．（2018•泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．

（1）求证：

△ECG≌△GHD；

（2）小亮同学经过探究发现：

AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．

（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．

5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB=AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．

（1）若AH=3，HE=1，求△ABE的面积；

（2）若∠ACB=45°，求证：

DF=

CG．

6．（2018•北京）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．

（1）求证：

GF=GC；

（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．

7．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB=45°，点E在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH=AG，连接EH．

（1）若BC=12

，AB=13，求AF的长；

（2）求证：

EB=EH．

8．（2018•玉林）如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．

（1）求证：

四边形EFNM是矩形；

（2）已知：

AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．

9．（2018•新疆）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．

（1）求证：

△DOE≌△BOF；

（2）若BD=EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

10．（2018•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：

OM=ON．

（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

11．（2018•舟山）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：

矩形ABCD是正方形．

12．（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：

OE=OF．

13．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：

AG=CH．

14．（2018•张家界）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．

（1）求证：

DF=AB；

（2）若∠FDC=30°，且AB=4，求AD．

15．（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．

（1）求证：

△ABE≌△ADF；

（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

16．（2018•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：

△ABE≌△BCF．

17．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：

∠ABF=∠CDE．

18．（2018•大连）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．

求证：

BE=DF．

19．（2018•淮安）已知：

如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：

AE=CF．

20．（2018•临安区）已知：

如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．

求证：

（1）△ADF≌△CBE；

（2）EB∥DF．

21．（2018•遂宁）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：

四边形AECF是菱形．

22．（2018•巴中）如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．

（1）求证：

四边形BMDN是平行四边形；

（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．

23．（2018•郴州）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：

四边形BFDE是菱形．

24．（2018•沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．

（1）求证：

四边形OCED是矩形；

（2）若CE=1，DE=2，则菱形ABCD的面积是　　．

25．（2018•北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）若AB=

，BD=2，求OE的长．

26．（2018•曲靖）如图：

在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．

（1）求证：

△AFN≌△CEM；

（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．

27．（2018•孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD．求证：

四边形ABED是平行四边形．

28．（2018•岳阳）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：

四边形BFDE是平行四边形．

29．（2018•乌鲁木齐）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．

（1）求证：

四边形AECD是菱形；

（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．

30．（2018•南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：

（1）∠BOD=∠C；

（2）四边形OBCD是菱形．

31．（2018•衢州）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：

AE=CF．

32．（2018•呼和浩特）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．

（1）求证：

△ABC≌△DEF；

（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．

33．（2018•内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．

求证：

（1）△AED≌△CFD；

（2）四边形ABCD是菱形．

34．（2018•黄冈）如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE．

（1）求证△ABF≌△EDA；

（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．

35．（2018•青岛）已知：

如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．

（1）求证：

AB=AF；

（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

36．（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若AC=2，求BD的长．

37．（2018•广西）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．

（1）求证：

▱ABCD是菱形；

（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．

38．（2018•白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．

（1）求证：

△BGF≌△FHC；

（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．

39．（2018•梧州）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：

AE=CF．

40．（2018•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．

（1）证明：

四边形CDEF是平行四边形；

（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．

参考答案与试题解析

1．（2018•连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）求证：

四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

【分析】

（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；

（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．

【解答】解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠FAE=∠CDE，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

又∵∠FEA=∠CED，

∴△FAE≌△CDE，

∴CD=FA，

又∵CD∥AF，

∴四边形ACDF是平行四边形；

（2）BC=2CD．

证明：

∵CF平分∠BCD，

∴∠DCE=45°，

∵∠CDE=90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CD=DE，

∵E是AD的中点，

∴AD=2CD，

∵AD=BC，

∴BC=2CD．

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．

2．（2018•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．

（1）求证：

△ADE≌△BCE；

（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．

【分析】

（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）由

（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．

【解答】

（1）证明：

在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°．

∵E是AB的中点，

∴AE=BE．

在△ADE与△BCE中，

，

∴△ADE≌△BCE（SAS）；

（2）由

（1）知：

△ADE≌△BCE，则DE=EC．

在直角△ADE中，AE=4，AE=

AB=3，

由勾股定理知，DE=

=

=5，

∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

3．（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．

（1）求证：

△DAF≌△ABE；

（2）求∠AOD的度数．

【分析】

（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；

（2）利用

（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，

在△DAF和△ABE中，

，

∴△DAF≌△ABE（SAS），

（2）由

（1）知，△DAF≌△ABE，

∴∠ADF=∠BAE，

∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，

∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．

【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出△DAF≌△ABE是解本题的关键．

4．（2018•泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．

（1）求证：

△ECG≌△GHD；

（2）小亮同学经过探究发现：

AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．

（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．

【分析】

（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；

（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由

（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=

AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．

【解答】解：

（1）∵AF=FG，

∴∠FAG=∠FGA，

∵AG平分∠CAB，

∴∠CAG=∠FGA，

∴∠CAG=∠FGA，

∴AC∥FG，

∵DE⊥AC，

∴FG⊥DE，

∵FG⊥BC，

∴DE∥BC，

∴AC⊥BC，

∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，

∵F是AD的中点，FG∥AE，

∴H是ED的中点，

∴FG是线段ED的垂直平分线，

∴GE=GD，∠GDE=∠GED，

∴∠CGE=∠GDE，

∴△ECG≌△GHD；

（2）证明：

过点G作GP⊥AB于P，

∴GC=GP，而AG=AG，

∴△CAG≌△PAG，

∴AC=AP，

由

（1）可得EG=DG，

∴Rt△ECG≌Rt△GPD，

∴EC=PD，

∴AD=AP+PD=AC+EC；

（3）四边形AEGF是菱形，

证明：

∵∠B=30°，

∴∠ADE=30°，

∴AE=

AD，

∴AE=AF=FG，

由

（1）得AE∥FG，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴四边形AEGF是菱形．

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．

5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB=AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．

（1）若AH=3，HE=1，求△ABE的面积；

（2）若∠ACB=45°，求证：

DF=

CG．

【分析】

（1）利用勾股定理即可得出BH的长，进而运用公式得出△ABE的面积；

（2）过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，判定△AME≌△BNG（AAS），可得ME=NG，进而得出BE=

GC，再判定△AFO≌△CEO（AAS），可得AF=CE，即可得到DF=BE=

CG．

【解答】解：

（1）∵AH=3，HE=1，

∴AB=AE=4，

又∵Rt△ABH中，BH=

=

，

∴S△ABE=

AE×BH=

×4×

=

；

（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB=∠AME=∠BNG=90°，

∵∠ACB=45°，

∴∠MAC=∠NGC=45°，

∵AB=AE，

∴BM=EM=

BE，∠BAM=∠EAM，

又∵AE⊥BG，

∴∠AHK=90°=∠BMK，而∠AKH=∠BKM，

∴∠MAE=∠NBG，

设∠BAM=∠MAE=∠NBG=α，则∠BAG=∠45°+α，∠BGA=∠GCN+∠GBC=45°+α，

∴AB=BG，

∴AE=BG，

在△AME和△BNG中，

，

∴△AME≌△BNG（AAS），

∴ME=NG，

在等腰Rt△CNG中，NG=NC，

∴GC=

NG=

ME=

BE，

∴BE=

GC，

∵O是AC的中点，

∴OA=OC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠OAF=∠OCE，∠AFO=∠CEO，

∴△AFO≌△CEO（AAS），

∴AF=CE，

∴AD﹣AF=BC﹣EC，即DF=BE，

∴DF=BE=

CG．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．

6．（2018•北京）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．

（1）求证：

GF=GC；

（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．

【分析】

（1）如图1，连接DF，根据对称得：

△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；

（2）证法一：

如图2，作辅助线，构建AM=AE，先证明∠EDG=45°，得DE=EH，证明△DME≌△EBH，则EM=BH，根据等腰直角△AEM得：

EM=

AE，得结论；

证法二：

如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．

【解答】证明：

（1）如图1，连接DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠A=∠C=90°，

∵点A关于直线DE的对称点为F，

∴△ADE≌△FDE，

∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，

∴∠DFG=90°，

在Rt△DFG和Rt△DCG中，

∵

，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），

∴GF=GC；

（2）BH=

AE，理由是：

证法一：

如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE，

∵AD=AB，

∴DM=BE，

由

（1）知：

∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠ADC=90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，

∴2∠2+2∠3=90°，

∴∠2+∠3=45°，

即∠EDG=45°，

∵EH⊥DE，

∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，

∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，

∴∠1=∠BEH，

在△DME和△EBH中，

∵

，

∴△DME≌△EBH，

∴EM=BH，

Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，

∴EM=

AE，

∴BH=

AE；

证法二：

如图3，过点H作HN⊥AB于N，

∴∠ENH=90°，

由方法一可知：

DE=EH，∠1=∠NEH，

在△DAE和△ENH中，

∵

，

∴△DAE≌△ENH，

∴AE=HN，AD=EN，

∵AD=AB，

∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，

∴AE=BN=HN，

∴△BNH是等腰直角三角形，

∴BH=

HN=

AE．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．

7．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB=45°，点E在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH=AG，连接EH．

（1）若BC=12

，AB=13，求AF的长；

（2）求证：

EB=EH．

【分析】

（1）依据BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12

，可得等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，再根据勾股定理，即可得到Rt△ABF中，AF=

=5；

（2）连接GE，过A作AF⊥AG，交BG于P，连接PE，判定四边形APEG是正方形，即可得到PF=EF，AP=AG=CH，进而得出△APB≌△HCE，依据AB=EH，AB=BE，即可得到BE=EH．

【解答】解：

（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12

，

∴等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，

又∵AB=13，

∴Rt△ABF中，AF=

=5；

（2）如图，连接GE，过A作AF⊥AG，交BG于P，连接PE，

∵BE=BA，BF⊥AC，

∴AF=FE，

∴BG是AE的垂直平分线，

∴AG=EG，AP=EP，

∵∠GAE=∠ACB=45°，

∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE=90°，

△APE是等腰直角三角形，即∠APE=90°，

∴∠APE=∠PAG=∠AGE=90°，

又∵AG=EG，

∴四边形APEG是正方形，

∴PF=EF，AP=AG=CH，

又∵BF=CF，

∴BP=CE，

∵∠APG=45°=∠BCF，

∴∠APB=∠HCE=135°，

∴△APB≌△HCE（SAS），

∴AB=EH，

又∵AB=BE，

∴BE=EH．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：

平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．

8．（2018•玉林）如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．

（1）求证：

四边形EFNM是矩形；

（2）已知：

AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．

【分析】

（1）要说明四边形EFNM是矩形，有ME⊥CD．FN⊥CD条件，还缺ME=FN．过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．利用角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论．

（2）利用平行四边形的性