版高中数学第一章立体几何初步123第2课时平面与平面垂直学案新人教B版必修2Word格式文档下载.docx

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文字语言

如果一个平面过另一个平面的________,则这两个平面互相垂直

图形语言

符号语言

a⊥α,________⇒α⊥β

知识点三 平面与平面垂直的性质定理

思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?

 

梳理 

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内________垂直于另一个平面

α⊥β,α∩β=CD,BA⊂α,BA⊥CD,B为垂足⇒BA⊥β

                   

类型一 面面垂直的判定

例1 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上,求证:

平面AEC⊥平面PDB.

反思与感悟 应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤

跟踪训练1 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°

,AC=

AA1,D是棱AA1的中点.证明:

平面BDC1⊥平面BDC.

类型二 面面垂直的性质定理及应用

例2 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.

求证:

BC⊥AB.

反思与感悟 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:

(1)两个平面垂直.

(2)直线必须在其中一个平面内.(3)直线必须垂直于它们的交线.

跟踪训练2 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°

且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.

(1)BG⊥平面PAD;

(2)AD⊥PB.

类型三 垂直关系的综合应用

例3 如图所示,△ABC为正三角形,CE⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=AC=2BD,M,N分别是AE,AC的中点,求证:

(1)DE=DA;

(2)平面BDMN⊥平面ECA;

(3)平面DEA⊥平面ECA.

反思与感悟 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的,其转化关系如下:

跟踪训练3 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:

(1)PA⊥底面ABCD;

(2)BE∥平面PAD;

(3)平面BEF⊥平面PCD.

1.下列四个命题

①垂直于同一条直线的两条直线相互平行;

②垂直于同一个平面的两条直线相互平行;

③垂直于同一条直线的两个平面相互平行;

④垂直于同一个平面的两个平面相互平行.

其中错误的命题有(  )

A.1个B.2个

C.3个D.4个

2.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(  )

A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直

B.它们两两垂直

C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直

D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直

3.如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在面ABC内的正投影H必在(  )

A.直线AB上B.直线BC上

C.直线AC上D.△ABC内部

4.如图所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=________.

5.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形,SC⊥平面ABCD,E为SA的中点.

平面EBD⊥平面ABCD.

1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的化归转化思想,其转化关系如下:

2.运用平面垂直的性质定理时,一般需要作铺助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.

答案精析

问题导学

知识点二

思考 都是垂直.

梳理 垂线 a⊂β

知识点三

思考 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直,因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直.

梳理 垂直于它们交线的直线

题型探究

例1 证明 设AC∩BD=O,连接OE,

∵AC⊥BD,AC⊥PD,PD,BD为平面PDB内两条相交直线,

∴AC⊥平面PDB.

又∵AC⊂平面AEC,

∴平面AEC⊥平面PDB.

跟踪训练1 证明 由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,

所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1⊂平面ACC1A1,

所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°

,所以∠CDC1=90°

,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,所以平面BDC1⊥平面BDC.

例2 证明 如图,在平面PAB内,

作AD⊥PB于D.

∵平面PAB⊥平面PBC,

且平面PAB∩平面PBC=PB.

∴AD⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC,

∴AD⊥BC.

又∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,又∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.

又AB⊂平面PAB,∴BC⊥AB.

跟踪训练2 证明 

(1)平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°

∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.

∴BG⊥平面PAD.

(2)由

(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD.

又BG∩PG=G,

∴AD⊥平面PBG,又PB⊂平面PBG,

∴AD⊥PB.

例3 解 

(1)取CE的中点F,连接DF,易知DF∥BC,

因为CE⊥平面ABC,

所以CE⊥BC,

所以CE⊥DF.

因为BD∥CE,所以BD⊥平面ABC,

所以BD⊥AB.

在Rt△EFD和Rt△DBA中,

因为EF=

CE=DB,DF=BC=AB,

所以Rt△EFD≌Rt△DBA,

所以DE=DA.

(2)因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN,

因为△ABC为正三角形,

所以BN⊥AC.

因为EC∩AC=C,

所以BN⊥平面ECA.

又因为BN⊂平面BDMN,

所以平面BDMN⊥平面ECA.

(3)因为M,N分别是AE,AC的中点,

所以MN綊CF綊BD,

所以四边形MNBD是平行四边形,

所以DM∥BN,

(2)知BN⊥平面ECA,

所以DM⊥平面ECA.

又因为DM⊂平面DEA,

所以平面DEA⊥平面ECA.

跟踪训练3 证明 

(1)∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.

(2)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E和F分别是CD和PC的中点,故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD.

又AD⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,

∴BE∥平面PAD.

(3)在平行四边形ABED中,由AB⊥AD可得,ABED为矩形,故有BE⊥CD.①

由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD,

∴CD⊥平面PAD,故有CD⊥PD.

再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EF∥PD,

∴CD⊥EF.②

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD⊥平面BEF.

由于CD⊂平面PCD,

∴平面BEF⊥平面PCD.

当堂训练

1.B 2.A 3.A

4.6

解析 ∵AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,∴AF∥DE.

又AF=DE,∴四边形AFED为平行四边形,故EF=AD=6.

5.证明 连接AC与BD交于O点,连接OE.

∵O为AC的中点,E为SA的中点,

∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD,

∴EO⊥平面ABCD.

又∵EO⊂平面EBD,∴平面EBD⊥平面ABCD.

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