第4讲四年级数学植树问题教案.docx

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第4讲四年级数学植树问题教案

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号：

年级：

课时数：

学员姓名：

辅导科目：

学科教师：

授课

类型

C不封闭路线的植树问题

C不封闭路线的植树问题

T方阵问题

授课日期时段

教学内容

【题目回顾知识内容】

1991年1月1日是星期二，

（1）该月的22日是星期几？

该月28日是星期几？

（2）1994年1月1日是星期几？

分析与解答：

（1）一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算尾不算头”的方法。

（22－1）÷7=3，没有余数，该月22日仍是星期二；（28－1）÷7=3…6，从星期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一。

（2）1991年、1993年是平年，1992年是闰年，从1991年1月2日到1994年1月1日共1096天，1096÷7=156…4，从星期三开始往后数4天，1994年1月1日是星期六。

【专题导入】“植树问题”是借于在一条路上均匀植树现象的研究，分为“两端都栽，两端都不栽，环形问题和方正问题”几种情况，在解决植树问题的过程中，侧重向学生渗透归化思想和解决复杂问题从简单入手的思想，让学生感悟到应用数学解题模型所带来的便利。

不封闭路线的植树问题。

一、专题精讲

例1：

头尾不种

学校教学楼的东侧有一段长20米的小路，学校打算在小路一侧种树。

如果每隔5米种一棵树，路的两端都不种，需要种多少棵树？

分析：

从上图可以看出，如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1，

即：

棵数=段数－1。

解：

20÷5－1=3（棵）

答：

需要种3棵树。

例2：

头尾都种

学校教学楼的东侧有一段长20米的小路，学校打算在小路一侧种树。

如果每隔5米种一棵树，路的两端都要种树，需要种多少棵树？

分析：

从上图可以看出，如果两端都种上树，那么要种的棵数应比段数多1棵，

即：

棵数=段数+1。

解：

20÷5+1=5（棵）

答：

需要种5棵树。

例3：

种头不种尾（或种尾不种头）

学校教学楼的东侧有一段长20米的小路，学校打算在小路一侧种树。

如果每隔5米种一棵树，且在路两端的其中一端也上植树，需要种多少棵树？

分析：

从上图可以看出，如果其中一端也要种上树，那么点数和段数是一一对应的关系，要种的棵数等于段数棵，即：

棵数=段数

解：

20÷5=4（棵）

答：

需要种4棵树。

例4：

两侧都种树。

在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。

求相邻两盏彩灯之间的距离。

分析与解答：

大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2=101盏，101盏彩灯把800米长的大桥分成101－1=100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。

列式：

202÷2=101（盏）

101－1=100（段）

800÷100=8（米）

答：

相邻两盏彩灯之间的距离是8米。

二、专题过关

检测题1：

城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。

这条路长多少米？

分析与解答：

题中已知栽树28棵，28棵树之间有28－1=27段，每隔6米为一段，所以这条大路长6×27=162米。

检测题2：

大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？

分析与解答：

从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：

400÷4+1=101（棵）.

检测题3:

从小熊家到小猪家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共53棵；现在改成每隔60米种一棵树．求可余下多少棵树?

分析与解答：

这题是较复杂的植树问题。

我们可以先算出从小熊家到小猪家的距离是：

45×（53-1）=2340（米）

间隔距离变化后，两地之间种树：

2340÷60+1=40（棵），

所以可余下树：

53-40=13（棵），

53-[45×（53-1）÷60+1]=13（棵）.

答：

如果改成每隔60米种一棵树，可余下13棵树。

检测题4:

阜城门桥的两边从一头起，每隔50米安装一盏路灯，两边一共安装了8盏路灯。

两头都有，桥全长多少米？

分析与解答：

我们可以把这道题看成植树问题来解决，我们可以先算出一边有几盏路灯8÷2=4（盏）

因为两端都有路灯，所以段数=灯数—1=4-1=3（棵）桥全长是50×3=150（米）

三、学法提炼

1、专题特点：

植树问题是生活中一种常见的现象，一般会出现两端都不种树、两端都种树和只种一端的情况。

2、解题方法

在一条不封闭的路线（如：

一条线段、一条折线、半圆等）上植树，有三种情况：

①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.

全长、棵数、株距三者之间的关系是：

　　棵数

段数

全长

株距

　　全长

株距

（棵数

）

　　株距

全长

（棵数

）

②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：

　　全长

株距

棵数；

　　棵数

段数

全长

株距；

　　株距

全长

棵数.

③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.

棵数

段数

全长

株距

.

株距

全长

（棵数

）.

全长

株距

（棵数+1）

3、注意事项

（1）解决类似的问题，要分析植树的方式是一端植、两端都植还是两端都不植，再选择正确的方法解题。

（2）生活中像植树问题的现象有很多，如：

挂灯笼、插彩旗、摆花、电线杆、缝纽扣、排路队、摆桌子等等，都可以采用这种方法进行解决。

封闭路线的植树问题

一、专题精讲

例1：

在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？

分析与解答：

这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。

240÷5=48（棵）

答：

一共要栽48棵树。

例2：

小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长1500是米，每隔3米栽种一棵树．问：

共需树苗多少株？

分析与解答：

因为圆形池塘是一个封闭的模型，所以我们直接运用公式棵数＝段数＝周长÷株距，从而有树苗：

1500÷3＝500（株）.

例3：

园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树.他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：

改为每隔5米栽一颗树.这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？

分析与解答：

这道题的关键就在之间每3米一个，已经挖的坑，和后来改成5米挖一个坑，有多少个是重复不需要挖的，那么一步一步分析如下：

（1）从第1个坑到第30个坑，共有多长？

（30—1）×3=87（米）

（2）改为“每5米栽一棵树”，有多少坑仍然有用？

87÷15=5…125+1=6（个）

（3）改为“每5米栽一棵树”，一共应挖多少个坑？

300÷5=60（个）

（4）还要挖多少个？

60—6=54（个）

二、专题过关

检测题1：

一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？

多少棵月季？

两棵月季之间的株距是多少米？

分析与解：

①在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数.②由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍.

解：

共可栽芍药花：

180÷6=30（棵）

共种月季花：

30×2=60（棵）

两种花共：

30+60=90（棵）

两棵花之间距离：

180÷90=2（米）

相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米。

答：

共可栽芍药花30棵，共种月季花60棵，两棵月季之间的株距是2米。

检测题2：

一个街心花园如右图所示．它由四个大小相等的等边三角形组成．已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花．问大三角形边上栽有多少棵花？

整个花园中共栽多少棵花？

分析与解：

大三角形三条边上共栽花：

（9×2－1－1）×3＝48（棵），中间画斜线小三角形三条边上栽花：

（9－2）×3＝21（棵），整个花坛共栽花：

48＋21＝69（棵）.

答：

大三角形边上栽有48棵花，整个花园中共栽69棵花。

检测题3:

大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长．他俩的起点和走的方向完全相同，小明的平均步长是54厘米，爸爸的平均步长是72厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下60个脚印，这个花圃的周长是多少厘米？

分析与解：

通过画图使学生明白从第一个重合点（起点）到下一个重合点之间的距离是216厘米，216÷54=4，216÷72=3，从而知在两个重合点之间，爸爸留下脚印3个，小明留下脚印4个，去掉一个重合的脚印，共留下脚印3+4—1=6（个），因为从起点到最后雪地上共留下脚印60个，所以花圃的周长是216×（60÷6）=2160（厘米）．

三、学法提炼

1、专题特点：

本专题是植树问题中的封闭路线的植树问题，这类问题的解决也需要根据非封闭路线的植树问题知识方法来解决。

2、解题方法

（1）在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.

棵数

段数

周长

株距.

（2）解植树问题的三要素

解决植树问题，首先要牢记三要素：

总路线长、间距（棵距）长、棵数．只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．

3、注意事项

解决这类问题首先要分清植树路线形成的形状是圆形、正方形还是长方形，其次要判断植树的方式，是只植一种树还是间隔种了多种树，最后再根据所学方法来解题。

植树问题中的方阵问题

一、专题精讲

例1：

军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？

还剩下多少人？

   分析与解：

如下图：

方法一：

去掉的一行一列的人数为：

7×2—1=13（人）

   剩下的人数为：

7×7—13=36（人）

  方法二：

去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即6×6=36（人）

   去掉的人数为：

7×7—6×6=13（人）

答：

要去掉13人，还剩下36人。

例2：

光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演？

分析与解：

此题刚好是例1的逆向题，根据正方形队列的特点可知：

   原每行人数=（去掉一行一列的人数+1）÷2

   即：

原来每行人数是（27+1）÷2=14（人）

   原来准备参加表演的人数：

14×14=196（人）

   答：

四年级原准备196人参加表演。

例3：

正方形舞厅四周均匀地装彩灯，如果四个角都装一盏，且每边12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？

   分析与解：

如下图：

   方法一：

从图

（1）可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：

  12×4—4=44（盏）

方法二：

按图

（2）把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：

（12—1）×4=44 （盏）

  答：

这个舞厅四周共装彩灯44盏。

例4：

小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵，共用了200个棋子，问最外边一层每边有多少个棋子？

分析与解：

   方法一：

利用相邻两层之间，每层的总数相差8的特点。

可知最外层共有棋子数：

   （200+8+8×2+8×3+8×4）÷5=56（个）

   最外层每边的棋子数：

56÷4+1=15（个）

   方法二：

如下图，把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子数为：

200÷4=50（个），每一部分每排的棋子数为：

50÷5=10（个）

   最外层每边的棋子数为：

10+5=15（个）

   列综合算式：

   200÷4÷5+5=15（个）

   答：

最外层每边有棋子15个。

二、专题过关

检测题1：

运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？

  解：

 9×9=81（人）

   （9—2）×（9—2）=49（人）

   81—49=32（人）

   答：

要减少32名运动员。

检测题2：

学校为庆祝“十一”，用盆花摆了一个中实方阵，最外一层有36盆花。

求这个方阵共有花多少盆？

 解：

  36÷4+1=10（盆）

   10×10=100（盆）

   答：

这个方阵共有花100盆。

检测题3:

有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？

   （16+2—1）×4=68（个）

   （16—2—1）×4=52（个）

   68—52=16（个）

   答：

应再增加16个圆片。

   5.解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？

一共有多少人？

（48—16）÷8+1=5（层）  （48+16）×5÷2=160（人）

   答：

这个方阵有5层，一共有160人。

三、学法提炼

1、专题特点：

日常生活中，往往需要把人或物摆成正方形的形式，如正方形的体操队列，正方形花坛周围摆花盆，插旗子，还有正方形棋盘上摆棋子等问题。

在数学上，人们通常称这类问题为方阵问题。

方阵不论哪一层,每边上的人（或物）数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。

2、解题方法

（1）四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4　　

（2）每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4+1　

（3）中实方阵的总人数（或物）=每边人（或物）数×每边人（或物）数

（4）空心方阵的总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4

3、注意事项

解方阵问题时，应注意观察方阵中行列的排列规律，分清每边人（或物）数和四周人（或物）的关系，找出巧妙的解法。

学法升华

一、知识收获

植树问题中的三种形式及其应用：

（1）非封闭路线的植树问题。

（2）封闭路线的植树问题。

（3）方正问题。

二、方法总结

1、非封闭线段上的植树问题可以分为以下三种情形：

（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，

即：

棵数=段数＋1；

（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，

即：

棵数=段数；

（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1，

即：

棵数=段数－1。

2．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，

即：

棵数=段数。

3、植树问题中的方正问题

（1）四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4　　

（2）每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4+1　

（3）中实方阵的总人数（或物）=每边人（或物）数×每边人（或物）数

（4）空心方阵的总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4

三、技巧提炼

1、分清题目所讲的植树是属于哪一种植树方法。

2、注意题型的变化和知识的灵活运用。

3、可以通过画图帮助理解题意。

课后作业

作业1：

在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这长马路有多长？

解：

这是植树问题中的两端都要植的问题，棵数—1=段数

（36-1）××8=280（米）

答：

这条马路有280米长。

作业2：

在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？

解：

这是封闭路线的植树问题，即：

棵数=段数

60×3=180（米）

答：

这个水池的周长是180米。

作业3：

在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。

求相邻两盏彩灯之间的距离。

解：

大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2=101盏，101盏彩灯把800米长的大桥分成101－1=100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。

202÷2=101（盏）

101－1=100（段）

800÷100=8（米）

答：

相邻两盏彩灯之间的距离是8米。

作业4：

一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。

每根短木条长多少米？

解：

根据题意，把长19－1=18米的木条锯了5次，可以锯成5＋1=6段，所以每根短木条长18÷6=3米。

【题目思考】

邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？